青海省海南藏族自治州高级中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

高二数学月考卷 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（    ） A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本 B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验 C．从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验 D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛 2．数据1，2，4，8，9，10的第60百分位数为（　　） A．2 B．4 C．8 D．9 3．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，，649，650．从中抽取50个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（    ） 32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78  90  56  42 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68  96  08  04 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77  89  23  45 A．007 B．253 C．328 D．860 4．某工厂生产的同一种产品中优质品、合格品和次品的数量之比分别为，若用分层抽样的方法抽取一个容量为200的该种产品，则抽到的优质品数为（    ） A．180 B．120 C．60 D．20 5．甲、乙两人独立完成某一任务的概率分别为，，若甲、乙分别去完成这项任务且相互之间不受影响，则甲完成此任务而乙没有完成此任务的概率为（      ） A． B． C． D． 6．年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前名学生分布的饼状图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（    ）    A．成绩前名的人中，高一人数比高二人数多30人 B．成绩第1-名的人中，高一人数不超过一半 C．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人 D．成绩第51-名的50人中，高二人数比高一的多 7．如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A． B． C． D． 8．若数据，，，…，的平均数为，方差为，则数据，，，…，的平均数和方差分别为（    ） A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，9 二、多选题 9．下列各对事件中，是互斥事件的是（    ） A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两名运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲，乙都没有射中目标” D．甲、乙两名运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标” 10．已知随机事件A和B，若，，则下列结论正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B． C．若，则 D．若，则 11．2024年巴黎奥运会中男单八进四中樊振东逆转张本智和挺进男单四强，体现了中国体育健儿顽强的意志品质与拼搏精神，其7场的得分分别为2，9，11，11，4，11，11，则这组数据的（   ） A．极差为9 B．中位数为11 C．平均数大于9 D．30%分位数为9 三、填空题 12．已知A、B是独立事件，，，则 . 13．为了解网课学习效果，组织了一次网上测试．并利用分层抽样的方法从高中3个年级的学生中随机抽取了150人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生 人． 14．如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简： ， ， ．    四、解答题 15．已知一组样本量为10的样本数据如下： 37  39  45  48  49  51  52  55  61  63 (1)求这组数据的平均数和标准差； (2)求这组数据的20%和75%分位数； 16．已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响． (1)求甲、乙、丙都通过测试的概率； (2)求甲未通过且乙、丙通过测试的概率； (3)求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率． 17．为进一步增强学生的疫情防控意识，友实学校组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)试估计这100人的问答成绩的中位数和平均数（结果保留整数）； (3)用分层抽样的方法从问答成绩在[70，100]内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在[70，80），[80，90），[90，100]内应各抽取多少人？ 18．在甲、乙两个盒子中分别装有编号为1，2，3，4 的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出一个球，每个球被取出的可能性相等. (1)请列出所有可能的结果； (2)求取出的两个球的编号恰为相邻整数的概率； (3)求取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4的概率. 19．某中学举行了一次“环保知识竞赛”， 全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 组别 分组 频数 频率 第1组 [50，60） 8 0 16 第2组 [60，70） a ▓ 第3组 [70，80） 20 0 40 第4组 [80，90） ▓ 0 08 第5组 [90，100] 2 b 合计 ▓ ▓ （1）求出的值； （2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动 （ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； （ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B A D A C AC BC 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据题意，结合简单的随机抽样的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】简单随机抽样的定义：设一个总体中含有N个个体，从中逐个抽取个个体作为样本，每个个体被抽取的概率是均等的. 对于A中，根据简单的随机抽样的定义，从无限多个个体中抽取100个个体作为样本不满足简单的随机抽样的定义，所以A不符合题意； 对于B中，根据简单的随机抽样的定义，80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验，满足简单的随机抽样的条件，所以B符合题意； 对于C中，根据简单的随机抽样的定义，从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验，不满足简单的随机抽样的定义，所以C不符合题意； 对于D中，根据简单的随机抽样的定义，从56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，不满足简单的随机抽样的定义，所以D不符合题意. 故选：B. 2．C 【分析】根据百分位数的定义计算即得. 【详解】将数据按照从小到大排列：1，2，4，8，9，10， 因，可知应是第四个数，即. 故选:C． 3．A 【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次，读取到第4个即可. 【详解】从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数为253，第二个数是313， 第三个数是457，下一个数是860，不符合要求， 下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复， 第四个是007，故A正确. 故选：A. 4．B 【分析】利用分层抽样的抽样比计算即得. 【详解】依题意，抽到的优质品数为. 故选：B 5．A 【分析】利用相互独立事件概率公式求解即可. 【详解】依题意，甲、乙分别去完成这项任务相互独立，则甲完成此任务而乙没有完成此任务的概率为， 故选：A. 6．D 【分析】求得前名的人中，高一人数和高二人数判断选项A；求得成绩第1-名的人中，高一人数判断选项B；求得成绩第1-50名的50人中，高三最多有多少人判断选项C；求得成绩第51-名的50人中，高二人数与高一人数的关系判断选项D. 【详解】由饼状图，成绩前名的人中，高一人数比高二人数多 (人).故选项A判断正确； 由条形图知，成绩第1-100名的人中，前和后人数相等， 因此高一人数为，故选项B判断正确； 成绩第1-50名的50人中，高一人数为, 因此高三最多有32人. 故选项C判断正确； 成绩第51-名的50人中，高二人数无法确定，故选项D判断错误. 故选：D 7．A 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 8．C 【分析】利用，即可得出． 【详解】∵，，，…，的平均数为5， ∴， ∴. ∵，，，…，的方差为2， ∴，，，…，的方差是.故选C. 【点睛】本题考查了随机变量的均值与方差公式，，属于基础题． 9．AC 【解析】根据互斥事件的定义逐个分析即可. 【详解】A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件, B中,甲、乙各射击一次,甲射中10环,且乙射中9环时,“甲射中10环”与“乙射中9环”同时发生,二者不是互斥事件； C中,甲、乙各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生,二者是互斥事件； D中,甲、乙各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”可能会同时发生,二者不是互斥事件. 故选：AC. 【点睛】本题主要考查了互斥事件的辨析,属于基础题型. 10．BC 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件判断A；比较大小判断B；利用事件关系判断C；利用概率的基本性质判断D. 【详解】对于A，A与B相互独立，，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，由，得，而， 因此，D错误. 故选：BC 11．ABD 【分析】A选项，根据极差定义得到A正确；B选项，将数据从小到大排序，由中位数定义得到B正确；C选项，利用平均数公式得到C错误；D选项，将数据从小到大排序，由百分数得到答案. 【详解】A选项，极差为，A正确； B选项，7场的得分从小到大排序为2，4，9，11，11，11，11， 从小到大，选择第4个数据作为中位数，即11，B正确； C选项，平均数为，C错误； D选项，7场的得分从小到大排序为2，4，9，11，11，11，11， ，故选取第3个数据作为30%分位数，即9，D正确. 故选：ABD 12． 【分析】根据公式和，即可求出． 【详解】∵为两个独立事件，∴， ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 13．3000 【解析】先求出高三年级抽取的人数为60人，由分层抽样的性质可得答案. 【详解】由已知高三年级抽取的学生人数为：人. 设该校高中的学生总数为，则，解得 所以该高中共有学生3000 故答案为：3000 14． 【分析】根据向量的线性运算即可. 【详解】； ； ； 故答案为：；；. 15．(1)50，8； (2)42，55 (3)49，50 【分析】（1）由平均数和标准差计算公式即可求解； （2）由百分位数的计算公式即可求解； （3）由即可求解； 【详解】（1）平均数， 方差， 所以标准差为8 （2），所以20%分位数为， ，所以分位数是第8个数，为55， （3）第一组：， 第二组：， 所以， . 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用独立事件的乘方公式及对立事件概率求法求各对应事件的概率. 【详解】（1）甲、乙、丙都通过测试的概率为. （2）甲未通过且乙、丙通过测试的概率为. （3）甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为. 17．(1) (2)73，72 (3)12，10，2 【分析】（1）由各小矩形的高之和为0.1求解； （2）利用中位数和平均数的定义求解； （3）由比例求解. 【详解】（1）； （2）因为， 所以，所以中位数为； 平均数为； （3）因为， 所以在[70，80），[80，90），[90，100]内应各抽取： ，，. 18．(1)答案见解析； (2)； (3). 【分析】（1）列举法写出所有基本事件即可； （2）求出满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求解； （3）求出满足两个球的编号之和与编号之积都不小于4的事件的个数，利用古典概型求解. 【详解】（1）从甲、乙两个盒子中各取出一个球，所有可能的结果为： ，，，，，，，，，，，，，，，，共16种情况. （2）设“取出的两个球的编号恰为相邻整数”为事件， 事件的所有可能的结果为：，，，，，，共6种情况， ∴. （3）设“取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4”为事件， 事件的所有可能的结果为：，，，，，，，，，，，共11种情况， ∴. 19．（1）．（2）（ⅰ）．（ⅱ） 【详解】（1）由题意可知，． （2）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为，第5组共有2人，记为． 从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有， 共15种情况．                   设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件， 有，共9种情况． 所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是． （ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件，有共7种情况． 所以随机抽取的2名同学来自同一组的概率 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $