3.4函数的应用（一）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数模型解决实际问题核心知识点，系统整合一次函数、二次函数、幂函数及分段函数模型，以“审题—建模—解模—还原”四步流程为学习支架，衔接3.1函数概念、3.2性质及3.3幂函数知识，作为第三章收尾，为后续函数应用及高考应用题奠基。 资料特色在于分层设计适配不同班级，聚焦自变量范围、二次函数最值等易错点，归纳分段计费、二次函数最值等题型。通过个税计算、汽车里程表等实例，培养学生用数学眼光抽象模型、用数学思维分析性质、用数学语言表达结论的核心素养。课中辅助教师把握教学重点，课后助力学生通过精练和易错点分析查漏补缺。

3.4　函数的应用（一） 讲义（教师用） 人教A版必修第一册　第三章　函数的概念与性质 一、课标要求与教材位置 课程标准的要求是：会用一次函数、二次函数、幂函数等模型解决简单的实际问题，体会建立函数模型解决问题的过程与方法。落到课堂上就是两件事——把一段文字或一张图翻译成函数解析式（含实际范围），再用前面学过的性质（单调性、最值）把问题解决掉，最后用实际语言作答。 教材位置在人教A版必修第一册第三章 3.4 节，教材第 93—96 页，安排 1 个课时。教材开头一句话交代了定位：我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系，下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法。所以本节不是新知识，是把 3.1 的函数概念与表示、3.2 的三个性质、3.3 的幂函数一起拿出来用。 本节是第三章的收尾。前面三节造工具：3.1 讲清楚什么是函数、怎么表示（其中就有分段函数）；3.2 讲单调性、最值、奇偶性；3.3 讲幂函数。本节两道例题分别接着 3.1.2 例 8（个税）和 3.1.2 例 5（分段函数）往下走，练习与习题里的刹车距离、矩形面积、成本利润、阶梯水价，用的分别是幂函数、二次函数、一次函数模型。 三年里的位置：本节是"函数应用"这条线的第一站。第四章 4.5 还有"函数的应用（二）"（零点与二分法、指数对数模型），必修二和选择性必修里的实际问题都沿用同一套流程。高考里应用题多以解答题第一或第二道出现，考的就是建模＋求最值这两步，分段函数的应用题几乎每年都有省市在考。 二、知识精讲 （一）用函数模型解决实际问题的四步 这四步是本节的骨架，要写在黑板上，每道题都对照着走一遍。 第一步　审题　读清楚问的是什么，找出变量，确定谁是自变量、谁是因变量。有表格的先看表格，有图象的先读图象（横轴表示什么、纵轴表示什么、有几段）。 第二步　建模　写出函数解析式，并且写出自变量的实际取值范围。范围不是可有可无的装饰——半径要为正、件数是正整数、时间在给定区间内，漏了就会算出不合实际的答案。 第三步　解模　用函数的性质求解：求最值就配方或用单调性，求某个值就代入，比较就用单调性。这里用到的全是 3.2、3.3 的工具。 第四步　还原　把数学结论翻译回实际问题，写出答语。教材例 1 最后写的是"小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为 2752 元"，不是"y＝2752"。 学生最常丢分的是第二步的范围和第四步的答语，这两处要反复盯。 （二）三类常用的函数模型 一次函数模型　y＝kx＋b。用于匀速运动的路程、固定成本加单位成本的总成本、销售收入与销量。特点是"每增加一个单位，量的变化是固定的"。 二次函数模型　y＝ax²＋bx＋c。用于面积、利润、抛物运动。求最值靠配方，但必须先看对称轴在不在实际范围里——这是本节最大的坑。 幂函数与反比例模型　y＝k。"成正比"是 y＝kx，"与……的平方成正比"是 y＝kx²，"与……的四次方成正比"是 y＝kx⁴，"成反比"是 y＝。这类题一律用待定系数法：先设模型，再代一组数据求出 k。 （三）分段函数模型 实际问题里"分档""分段""超过……的部分"这些字眼，一出现就是分段函数。常见的有出租车计费、阶梯水价电价、个人所得税、分时段的速度与路程。 写分段函数模型要注意三件事： 1．分段点在哪里，由题目的"档"决定，每一档写一段； 2．每段的解析式要单独算，特别是"超过部分才按新价格算"的阶梯型，不能整体乘新价格； 3．分段点归到哪一段要交代清楚（用 ≤ 还是 ＜），各段的定义域合起来正好是整个实际范围，不重不漏。 求分段函数的值：先看自变量落在哪一段，再代那一段的解析式。求分段函数的最值：各段分别求，再把各段的结果比较，取总的最大（小）者。 （四）图象在应用题里的作用 教材例 2 的解答过程后面有一句话：本题的解答过程表明，函数图象对分析和理解题意很有帮助，因此我们要注意提高读图能力。读图要读三样东西——两条坐标轴各表示什么量（连同单位）、图象分成几段、每一段是什么形状（水平线段表示这个量不变，斜线段表示匀速变化）。 还有一类问法是"图中阴影部分的面积表示什么"。速度—时间图里，矩形的面积＝速度×时间＝路程，这是例 2 第（1）问的全部道理。 （五）教材例题 例1（教材第 93 页）　设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与 3.1.2 例 8 相同，全年综合所得收入额为 x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为 y（单位：元）。（1）求 y 关于 x 的函数解析式；（2）如果小王全年的综合所得由 117600 元增加到 153600 元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 背景回顾（3.1.2 例 8）：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数；应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除。基本减除费用（免征额）为每年 60000 元。小王的社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是 8％、2％、1％、9％，专项附加扣除 9600 元，其他扣除 560 元。 3.1.2 例 8 已经得到 y 关于应纳税所得额 t 的解析式③：当 0≤t≤36000 时 y＝0.03t；当 36000＜t≤144000 时 y＝0.1t－2520；当 144000＜t≤300000 时 y＝0.2t－16920；当 300000＜t≤420000 时 y＝0.25t－31920；当 420000＜t≤660000 时 y＝0.3t－52920；当 660000＜t≤960000 时 y＝0.35t－85920；当 t＞960000 时 y＝0.45t－181920。 分析：根据公式②可得应纳税所得额 t 关于综合所得收入额 x 的解析式 t＝g(x)，再结合 y＝f(t) 的解析式③，即可得出 y 关于 x 的函数解析式。 解：（1）由个人应纳税所得额计算公式，可得 　　t＝x－60000－x(8％＋2％＋1％＋9％)－9600－560＝0.8x－70160。 　令 t＝0，得 x＝87700。 　根据个人应纳税所得额的规定可知，当 0≤x≤87700 时，t＝0。所以应纳税所得额 t 关于综合所得收入额 x 的函数解析式为：当 0≤x≤87700 时 t＝0；当 x＞87700 时 t＝0.8x－70160。 　结合③可得： 　当 0≤x≤87700 时，t＝0，所以 y＝0； 　当 87700＜x≤132700 时，0＜t≤36000，所以 y＝t×3％＝0.024x－2104.8； 　当 132700＜x≤267700 时，36000＜t≤144000，所以 y＝t×10％－2520＝0.08x－9536； 　当 267700＜x≤462700 时，144000＜t≤300000，所以 y＝t×20％－16920＝0.16x－30952； 　当 462700＜x≤612700 时，300000＜t≤420000，所以 y＝t×25％－31920＝0.2x－49460； 　当 612700＜x≤912700 时，420000＜t≤660000，所以 y＝t×30％－52920＝0.24x－73968； 　当 912700＜x≤1287700 时，660000＜t≤960000，所以 y＝t×35％－85920＝0.28x－110476； 　当 x＞1287700 时，t＞960000，所以 y＝t×45％－181920＝0.36x－213492。 　（2）根据上式，当 x＝153600 时，y＝0.08×153600－9536＝2752。 　所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为 2752 元。 教学提示：这道题看着吓人，其实是两个分段函数的复合。教学处理有三点。一是不要一开始就抄那八行解析式，先把 t＝0.8x－70160 这一步算出来，让学生明白"收入 x 与应纳税所得额 t 是一次关系"。二是分段点的换算要示范一次：t＝36000 对应 x＝(36000＋70160)÷0.8＝132700，其余六个分段点让学生分组算，每组一个。三是第（2）问只用一段，先判断 153600 落在哪一段（132700＜153600≤267700），再代。普通班可以只做第（2）问和前三段。 例2（教材第 94 页）　一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率 v（单位：km/h）与时间 t（单位：h）的关系如图 3.4－1 所示。（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 s（单位：km）与时间 t 的函数解析式，并画出相应的图象。 （图 3.4－1 的信息：在时间段 [0，1)、[1，2)、[2，3)、[3，4)、[4，5] 内的平均速率分别为 50 km/h、80 km/h、90 km/h、75 km/h、65 km/h。） 分析：当时间 t 在 [0，5] 内变化时，对于任意的时刻 t 都有唯一确定的行驶路程与之相对应。根据图象，在五个时间段内行驶的平均速率不同，因此在每个时间段内行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述。 解：（1）阴影部分的面积为 50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360。 　　阴影部分的面积表示汽车在这 5 h 内行驶的路程为 360 km。 　（2）根据图 3.4－1，有： 　　当 0≤t＜1 时，s＝50t＋2004； 　　当 1≤t＜2 时，s＝80(t－1)＋2054； 　　当 2≤t＜3 时，s＝90(t－2)＋2134； 　　当 3≤t＜4 时，s＝75(t－3)＋2224； 　　当 4≤t≤5 时，s＝65(t－4)＋2299。 　　这个函数的图象是一条折线（图 3.4－2），五段依次上升，斜率分别是 50、80、90、75、65。 教学提示：三处要讲。一是每段的起点读数怎么来的——上一段末的读数就是下一段的起点，2004＋50＝2054，2054＋80＝2134，2134＋90＝2224，2224＋75＝2299。二是每段写成 s＝v(t－a)＋s₀ 的形式，比直接写 s＝vt＋b 更容易看出实际意义。三是画图时五段的斜率不同但都为正，图象是连续上升的折线，不是阶梯。教材在例 2 后特别写了一句：函数图象对分析和理解题意很有帮助，要注意提高读图能力；另外本题用到了分段函数，解决现实问题时经常会用到这类函数。这句话要读给学生听。 （六）教材练习与习题 练习1（第 95 页）　若用模型 y＝ax² 描述汽车紧急刹车后滑行的距离 y（单位：m）与刹车时的速率 x（单位：km/h）的关系，某种型号的汽车在速率为 60 km/h 时紧急刹车后滑行的距离为 20 m。在限速为 100 km/h 的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为 50 m，那么这辆车是否超速行驶？ 解：由 20＝a×60² 得 a＝，所以 y＝（x＞0）。 　令 y＝50，得 x²＝9000，x＝30≈94.9。 　因为 94.9＜100，所以这辆车没有超速行驶。 练习2　某广告公司要为客户设计一幅周长为 l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？ 解：设矩形的一边长为 x m，则另一边长为 (－x) m，其中 0＜x＜。 　面积 S＝x(－x)＝－x²＋x＝－(x－)²＋。 　对称轴 x＝ 在区间 (0，) 内，所以当 x＝ 时 S 取得最大值 。 　此时另一边长也是 ，即设计成边长为 m 的正方形时面积最大，最大面积为 m²。 练习3　某公司生产某种产品的固定成本为 150 万元，每件产品的可变成本为 2500 元，每件产品的售价为 3500 元。若所生产的产品全部销售出去，（1）设总成本为 y₁（万元）、单位成本为 y₂（万元）、销售总收入为 y₃（万元）、总利润为 y₄（万元），分别求出它们关于总产量 x（件）的函数解析式；（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析。 解：（1）先统一单位：2500 元＝0.25 万元，3500 元＝0.35 万元。 　　y₁＝150＋0.25x（xN*）；y₂＝＝＋0.25（xN*）； 　　y₃＝0.35x（xN*）；y₄＝y₃－y₁＝0.1x－150（xN*）。 　（2）y₁、y₃、y₄ 的图象都是射线（离散的点落在射线上），y₂ 的图象是反比例型的曲线。 　由 y₄＝0.1x－150＝0 得 x＝1500。所以产量不足 1500 件时公司亏损，等于 1500 件时不亏不盈，超过 1500 件后开始盈利，且产量每增加 1 件利润增加 0.1 万元。 　由 y₂＝＋0.25 递减可知，产量越大单位成本越低，但永远高于 0.25 万元。 习题3.4 第1题　某人开汽车以 60 km/h 的速率从 A 地到 150 km 远处的 B 地，在 B 地停留 1 h 后，再以 50 km/h 的速率返回 A 地。把汽车与 A 地的距离 x（单位：km）表示为时间 t（单位：h）的函数；再把车速 v（单位：km/h）表示为时间 t 的函数，并分别画出这两个函数的图象。 解：去程用时 150÷60＝2.5 h，停留到 t＝3.5 h，返程用时 150÷50＝3 h，到 t＝6.5 h。 　距离：当 0≤t≤2.5 时 x＝60t；当 2.5＜t≤3.5 时 x＝150；当 3.5＜t≤6.5 时 x＝150－50(t－3.5)。 　车速：当 0≤t≤2.5 时 v＝60；当 2.5＜t≤3.5 时 v＝0；当 3.5＜t≤6.5 时 v＝50。 　x 的图象是先上升的线段、再水平的线段、再下降的线段；v 的图象是三条水平线段（阶梯状）。 习题3.4 第3题　某城市对居民生活用水实行"阶梯水价"：每户每月不超过 12 m³ 的部分 3 元/m³，超过 12 m³ 但不超过 18 m³ 的部分 6 元/m³，超过 18 m³ 的部分 9 元/m³。若某户居民本月交纳的水费为 48 元，求此户居民本月用水量。 解：设本月用水量为 w m³，水费为 y 元。 　当 0≤w≤12 时，y＝3w，此时 y≤36； 　当 12＜w≤18 时，y＝36＋6(w－12)＝6w－36，此时 36＜y≤72； 　当 w＞18 时，y＝36＋36＋9(w－18)＝9w－90。 　因为 36＜48≤72，所以用水量落在第二段：6w－36＝48，解得 w＝14。 　所以此户居民本月用水量为 14 m³。 三、概念辨析与易错点 1．不写自变量的实际范围。半径、边长、时间、件数都有天然的限制，写解析式时必须跟上范围。练习 2 里若不写 0＜x＜，就没法说明对称轴在区间内。 2．二次函数直接把顶点当最值。对称轴不在实际范围内时，最值在端点取得。教材第二课时讲过这一条，应用题里更容易忘，因为范围藏在题目文字里。 3．阶梯计费整体乘新价格。用水 14 m³ 的水费不是 14×6＝84 元，而是前 12 m³ 按 3 元、超出的 2 m³ 按 6 元，共 36＋12＝48 元。"超过……的部分"这几个字是关键。 4．单位不统一。练习 3 里成本是万元、可变成本是元，必须先换算成同一单位再列式。速率 km/h 与时间 h 配套，若时间用分钟就要先化。 5．分段点重复或遗漏。写成"0≤t≤1"和"1≤t≤2"两段都含 t＝1，就不是函数了；写成"0≤t＜1"和"1＜t＜2"又漏掉了 t＝1。 6．不写答语。算出 y＝2752 之后要写"小王全年需缴纳个税 2752 元"。应用题的最后一句必须回到实际。 7．忽略精确度要求。题目说"精确到 0.1 m"就要保留一位小数，说"精确到 1 cm³/s"就取整。 8．把"成正比"写成"成反比"或漏写比例常数。"与半径的四次方成正比"是 v＝kr⁴，k 要用给定的一组数据算出来，不能凭空取 1。 四、题型归纳 题型一　分段计费模型 例　某市出租车收费标准：起步价 8 元（含 3 km），超过 3 km 但不超过 10 km 的部分每公里 2 元，超过 10 km 的部分每公里 3 元。（1）写出车费 y（元）关于路程 x（km）的函数解析式；（2）某乘客付费 32 元，求他乘车的路程。 解析：（1）当 0＜x≤3 时，y＝8； 　　当 3＜x≤10 时，y＝8＋2(x－3)＝2x＋2； 　　当 x＞10 时，y＝8＋14＋3(x－10)＝3x－8。 （2）先定位：x＝10 时 y＝22，所以 32＞22 说明路程超过 10 km，用第三段。 　由 3x－8＝32 得 x＝≈13.3，即乘车路程约为 13.3 km。 方法点拨：两个固定动作——每一段用"前面各段的费用之和＋本段单价×本段里程"来写；已知费用反求自变量时，先算出各分段点处的函数值，判断落在哪一段，再解方程。 题型二　二次函数模型求最值 例　某商品每件成本 30 元，当售价为 x 元（30≤x≤60）时，每天的销量为 (160－2x) 件。求每天利润最大时的售价与最大利润。 解析：每件利润 (x－30) 元，销量 (160－2x) 件，所以 　　W＝(x－30)(160－2x)＝－2x²＋220x－4800，30≤x≤60。 　配方得 W＝－2(x－55)²＋1250，对称轴 x＝55 在区间 [30，60] 内， 　所以当 x＝55 时 W 取得最大值 1250。 　答：售价定为 55 元时每天利润最大，最大利润为 1250 元。 方法点拨：利润＝（售价－成本）×销量，先把这个关系写清楚再化简。配方后一定要检查对称轴在不在给定范围内：在里面就取顶点，不在就取离对称轴近的那个端点。 题型三　幂函数（正比、反比）模型与待定系数法 例　在固定压力差下，气体通过圆形管道的流量 v（单位：cm³/s）与管道半径 r（单位：cm）的四次方成正比。已知半径为 3 cm 时流量为 400 cm³/s。（1）求 v 关于 r 的解析式；（2）求半径为 5 cm 时的流量（精确到 1 cm³/s）。 解析：（1）设 v＝kr⁴（k 为比例常数，r＞0）。 　　由 400＝k×3⁴＝81k 得 k＝，所以 v＝（r＞0）。 　（2）r＝5 时，v＝×625＝≈3086（cm³/s）。 方法点拨："成正比"就设 y＝k，n 由题目文字决定（平方、立方、四次方），k 由一组数据定出来。这一步是 3.3 待定系数法的原样搬用，只是换了实际背景。别忘了自变量的实际范围。 题型四　读图建模 例　某公共汽车线路的收支差额 y（单位：元）关于乘客量 x（单位：人）的图象是一条射线，起点在 y 轴负半轴上的点 A，与 x 轴交于点 B。（1）说明点 A、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义；（2）若要扭亏为盈，把图象向上平移或把射线变陡，分别对应什么措施？ 解析：（1）点 A 的纵坐标是没有乘客时的收支差额，为负数，表示线路的固定支出（成本）；点 B 是收支差额为零的点，横坐标表示不亏不盈时所需的乘客量；射线 AB 上的点表示乘客量与收支差额的对应关系，B 左边亏损、右边盈利。 （2）图象整体上移（点 A 上移、斜率不变），表示在票价不变的前提下降低了固定成本；射线变陡（点 A 不动、斜率变大），表示提高了票价，每位乘客带来的收入增加了。 方法点拨：读图三问——两轴各表示什么？特殊点（与坐标轴的交点、折点）的实际意义是什么？图象的升降和陡缓分别对应什么？把这三问答完，题目基本就答完了。 题型五　★分段函数模型的最值（拔高） 例　要建造一个容积为 1200 m³、深为 6 m 的长方体无盖蓄水池，池壁造价 95 元/m²，池底造价 135 元/m²。设池底一边长为 x m，求总造价 y 关于 x 的解析式，并问如何设计能使总造价最低，最低是多少？ 解析：由容积与深度得池底面积为 1200÷6＝200 m²，所以池底另一边长为 m（x＞0）。 　池底造价 200×135＝27000 元； 　池壁面积为 2(x＋)×6＝12(x＋) m²，池壁造价为 1140(x＋) 元。 　所以 y＝27000＋1140(x＋)（x＞0）。 　由 3.2 第一课时的结论，函数 x＋ 在 (0，) 上递减、在 (，＋∞) 上递增， 　所以当 x＝＝10≈14.1 时 y 最小，此时 y＝27000＋1140×2＝27000＋22800≈59245（元）。 　答：把池底设计成边长约 14.1 m 的正方形时总造价最低，约为 5.92 万元。 方法点拨：这类题的模型是 y＝a(x＋)＋b，也就是 3.2 里练过的对勾型函数。先用"容积÷深度＝底面积"把两条边的关系写出来，再把造价分成池底与池壁两部分。最值靠单调性，不必用不等式。优生班要求会写全过程，普通班只要求会写出解析式。 五、附：常见书写错误例析 1．解析式后面不跟自变量范围。分段函数尤其要写全每段的范围。 2．分段函数写成一行流水账，不分行、不写"当……时"。 3．最后只写数字不写单位、不写答语。 4．把"约等于"写成"等于"。取近似值的地方要用 ≈。 5．用图象说明结论时不标出关键点的坐标（如与坐标轴的交点、折点）。 六、与考试的对应 月考的固定考法：一道选择或填空考分段计费（出租车、水电费、快递费），给费用反求用量；一道填空考二次函数模型的最大利润；一道解答题考建模＋求最值，通常是面积或利润，第（1）问写解析式并注明范围，第（2）问求最值。评分点分布得很清楚：解析式（含范围）占一半分，求最值占一半分，答语通常占 1 分。 高考层面，函数应用题一般作为解答题的第一或第二题出现，模型不会超出一次、二次、分段、反比这几类，难点在读懂题意和写清范围。到第四章学了指数函数、对数函数之后，模型库会扩大，但流程完全一样：审题—建模—解模—还原。本节要把这条流程练成习惯。 七、教学提醒 1．本节是应用课，讲授要少、动手要多。四步流程写在黑板上，每道题都让学生先说"自变量是谁、范围是什么"，再动笔。 2．例 1 篇幅长，不要逐段板书。建议先算 t＝0.8x－70160，再让六个小组各算一个分段点的换算，最后拼成完整解析式；普通班只做第（2）问所在的那一段。 3．例 2 一定要让学生自己画图象，画完再问"为什么是折线不是阶梯"——因为里程表读数是连续增加的，速度才是阶梯状的。这一问能问出学生是否真的理解了两个量的区别。 4．两班分层：优生班完成题型五（蓄水池造价）和习题 3.4 第 4 题的读图；普通班把重心放在分段计费与二次函数最值这两类上，题型五只要求写出解析式。 5．当堂过关项：口答四步流程；写出一个阶梯计费的分段函数；由 y＝ax² 与一组数据求出 a 并回答实际问题。 6．本节讲完第三章结束。建议用一节自习把 3.1—3.4 的错题过一遍，再进第四章指数函数与对数函数。 八、题型精练（附详解） （一）选择题 1．某电信公司的收费标准：月租费 20 元，通话时间不超过 100 分钟的部分免费，超过 100 分钟的部分每分钟 0.2 元。某用户某月话费 32 元，则他这个月的通话时间为（　　） 　A．60 分钟　　B．100 分钟　　C．160 分钟　　D．200 分钟 2．一物体的运动路程 s（单位：m）与时间 t（单位：s）满足 s＝kt²。已知 t＝2 时 s＝8，则 t＝5 时 s＝（　　） 　A．20 m　　B．25 m　　C．50 m　　D．100 m 3．某商品每件成本 40 元，售价为 x 元（40≤x≤80）时每天销量为 (200－2x) 件，则每天利润最大时的售价是（　　） 　A．60 元　　B．70 元　　C．75 元　　D．80 元 4．某工厂的日产量 x（件）与成本 y（元）满足 y＝＋10，则日产量越大，单位产品分摊的固定成本（　　） 　A．越大　　B．越小　　C．不变　　D．无法判断 5．一辆汽车前 2 h 以 60 km/h 匀速行驶，停车休息 1 h，再以 80 km/h 行驶 1 h。行驶总路程为（　　） 　A．140 km　　B．180 km　　C．200 km　　D．240 km （二）填空题 6．用一段长 40 m 的篱笆围成一个矩形菜园，菜园的最大面积是＿＿＿＿＿ m²。 7．某地阶梯电价：每月不超过 200 度的部分 0.5 元/度，超过 200 度的部分 0.7 元/度。某户本月电费为 156 元，则本月用电＿＿＿＿＿度。 8．某种商品的价格 p（元）与需求量 q（件）满足 q＝，则价格从 20 元涨到 30 元时，需求量减少了＿＿＿＿＿件。 （三）解答题 9．某快递公司的收费标准：不超过 1 kg 的部分收 8 元，超过 1 kg 但不超过 5 kg 的部分每千克加收 3 元，超过 5 kg 的部分每千克加收 2 元。（1）写出费用 y（元）关于重量 x（kg）的函数解析式；（2）某件快递收费 26 元，求它的重量。 10．某农场计划用 200 m 的围栏靠一面墙围成一个矩形养殖区（墙足够长，墙一侧不用围栏）。（1）设垂直于墙的一边长为 x m，写出养殖区面积 S 关于 x 的函数解析式并注明范围；（2）求 S 的最大值及此时的边长。 11．某公司固定成本 80 万元，每生产 1 件产品的可变成本为 0.3 万元，售价为 0.5 万元/件，产品全部售出。（1）求总利润 W（万元）关于产量 x（件）的解析式；（2）产量至少为多少件时公司开始盈利？ 12．★某容器的容积为 900 m³，深 9 m，底面为矩形，一边长为 x m。已知池底造价 120 元/m²、池壁造价 80 元/m²。（1）写出总造价 y 关于 x 的解析式；（2）求总造价的最小值。 详解 1．C。设通话 t 分钟。当 0≤t≤100 时话费为 20 元；当 t＞100 时话费 y＝20＋0.2(t－100)。 　因为 32＞20，所以通话时间超过 100 分钟，由 20＋0.2(t－100)＝32 得 0.2(t－100)＝12，t－100＝60，t＝160。 　选 A 是把 12÷0.2 直接当成答案，忘了加回 100 分钟；选 D 是把免费部分也算了钱。 2．C。由 8＝k×2²＝4k 得 k＝2，所以 s＝2t²，t＝5 时 s＝2×25＝50 m。 　选 A 是把 s 与 t 当成了正比例关系（8÷2×5＝20）——"与时间的平方成正比"不能按比例直接放大。 3．B。W＝(x－40)(200－2x)＝－2x²＋280x－8000＝－2(x－70)²＋1800。 　对称轴 x＝70 在 [40，80] 内，所以售价 70 元时利润最大（最大利润 1800 元）。 4．B。y＝＋10 中， 是固定成本分摊的部分，它在 (0，＋∞) 上单调递减，所以日产量越大分摊越少。这就是练习 3 里"单位成本随产量增大而降低"的道理。 5．C。分三段：前 2 h 行驶 60×2＝120 km；中间 1 h 停车，路程增加 0；最后 1 h 行驶 80 km。总路程 120＋0＋80＝200 km。 　选 D 是把停车的 1 h 也按 60 km/h 算了。 6．100。设一边长 x m，则另一边长 (20－x) m，0＜x＜20，面积 S＝x(20－x)＝－(x－10)²＋100。 　对称轴 x＝10 在区间内，最大面积为 100 m²（围成边长 10 m 的正方形）。注意周长 40 对应两边之和为 20，不是 40。 7．280。设用电 w 度。当 0≤w≤200 时 y＝0.5w≤100；当 w＞200 时 y＝100＋0.7(w－200)。 　因为 156＞100，所以 w＞200，由 100＋0.7(w－200)＝156 得 0.7(w－200)＝56，w－200＝80，w＝280。 8．10。p＝20 时 q＝30，p＝30 时 q＝20，需求量减少 30－20＝10 件。 9．（1）当 0＜x≤1 时，y＝8； 　　当 1＜x≤5 时，y＝8＋3(x－1)＝3x＋5； 　　当 x＞5 时，y＝8＋12＋2(x－5)＝2x＋10。 　（2）先定位分段点：x＝1 时 y＝8，x＝5 时 y＝20。因为 26＞20，所以重量超过 5 kg， 　　由 2x＋10＝26 得 x＝8。所以这件快递重 8 kg。 10．（1）垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的一边长为 (200－2x) m， 　　由 x＞0 且 200－2x＞0 得 0＜x＜100， 　　所以 S＝x(200－2x)＝－2x²＋200x（0＜x＜100）。 　（2）配方得 S＝－2(x－50)²＋5000，对称轴 x＝50 在区间 (0，100) 内， 　　所以当 x＝50 时 S 取得最大值 5000。 　　答：垂直于墙的一边长 50 m、平行于墙的一边长 100 m 时面积最大，最大面积为 5000 m²。 　　（本题的坑是"靠墙"：只围三条边，围栏总长是 2x＋(另一边)＝200，不是 2x＋2y＝200。） 11．（1）总成本为 (80＋0.3x) 万元，销售收入为 0.5x 万元， 　　所以 W＝0.5x－(80＋0.3x)＝0.2x－80（xN*）。 　（2）由 W＞0 得 0.2x－80＞0，x＞400。 　　因为 x 是正整数，所以产量至少为 401 件时公司开始盈利。 　　（x＝400 时 W＝0，不亏不盈，问"开始盈利"要取 401；若问"不亏损"则取 400。这两问的区别要看清。） 12．（1）底面积为 900÷9＝100 m²，所以底面另一边长为 m（x＞0）。 　　池底造价 100×120＝12000 元； 　　池壁面积为 2(x＋)×9＝18(x＋) m²，造价为 1440(x＋) 元。 　　所以 y＝12000＋1440(x＋)（x＞0）。 　（2）函数 x＋ 在 (0，10) 上单调递减、在 (10，＋∞) 上单调递增， 　　所以当 x＝10 时取得最小值 20，此时 y＝12000＋1440×20＝40800。 　　答：把底面设计成边长 10 m 的正方形时总造价最低，最低造价为 40800 元。 学科网（北京）股份有限公司 $