3.2.1 单调性与最大（小）值 讲义 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 3.2.1 单调性与最大（小）值 知识归纳与题型总结 考点01 函数的单调性 1．单调递增、单调递减 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. 2．函数的单调性及单调区间 (1)当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. (2)如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 3．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)； a<0时，单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞). 二次函数y=a(x-m)2+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(-∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)； a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(-∞,m]. 4．单调函数的运算性质 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的单调性. (3)若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时，f(x)与具有相同的单调性. (4)若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. (5)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 (6)当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). 5．复合函数的单调性 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 考向01 定义法判断或证明函数的单调性 【例1】已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)求函数在上的最大值． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 又，则，， 又，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增，证毕． (3) 【分析】（1）根据分母不能为即可求出的定义域； （2）根据函数单调性的定义即可证明； （3）结合（2）中函数的单调性即可求解． 【详解】（1）由函数，则，即， 所以函数的定义域为． （2）略 （3）结合（2）有在上单调递增， 则在上也单调递增， 所以函数在上的最大值为． 考向02 求函数的单调区间 【例2】函数的单调递减区间是______. 【答案】 【分析】通过分段去绝对值的方式分析该函数的单调性，从而得解. 【详解】当时，，因此，这是斜率为1的一次函数，在该区间上单调递增； 当时，，因此，这是斜率为-1的一次函数，在该区间上单调递减. 因此函数的单调递减区间是. 考向03 根据函数的单调性求参数值 【例3】（1）用单调性定义证明函数在区间上是减函数； （2）已知函数（）在区间上是增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）任取，，且＜， 则 ，，，，， ，即，在区间上是减函数； （2） 【分析】（1）根据函数单调性的定义，直接按步骤证明即可； （2）对二次项系数进行分类讨论，根据各自函数的性质，分别求出函数在区间上是增函数时的的取值，从而得出的取值范围. 【详解】（1）略 （2）①当时，函数为，因为，所以一次函数在上是增函数； ②当时，二次函数开口向上，其对称轴是， 在上是增函数，，即，； ③当时，二次函数开口向下，显然无法满足在上是增函数，不合题意， 综上所述，实数的取值范围是. 考向04 根据图象判断函数单调性 【例4】已知函数的图象如下，则函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得的定义域，根据二次函数的性质，结合复合函数单调性的求法，即可求解. 【详解】因为定义域为， 令，则，即，解得， 所以函数的定义域为， 由题可知在上单调递减， 因为为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数单调性原则：同增异减，可得的单调递增区间为. 考向05 复合函数的单调性 【例5】函数在上单调递减，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用复合函数“同增异减”的单调性判定规则，将外层指数函数的递增属性作为切入点，把原函数在指定区间的递减要求转化为内层二次函数的对称轴需满足区间边界条件，快速推导出的取值范围. 【详解】外层函数为指数函数，内层二次函数为. 由于外层函数在全体实数域上是单调递增函数， 因此复合函数的单调性完全由内层函数的单调性决定. 在上单调递减，等价于要求内层二次函数在上单调递减. 二次函数的开口向下，它的单调递减区间是对称轴的右侧，即. 要让是单调递减区间的子集，即： ，解得， 即的取值范围为. 考向06 根据解析式直接判断函数的单调性 【例6】（多选）下列函数中，值域为的是（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】BCD 【详解】选项A：的值域为，选项A错误； 选项B：在上单调递增，， ，的值域为； 选项C：在上单调递增，，， 的值域为； 选项D：在单调递减，在上单调递增， 又，，， 的值域为. 考向07 比较函数值的大小关系 【例7】已知函数是的减函数，则下列各大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用函数单调性定义求解. 【详解】A中，，故，A正确； B中，，故，B错误； C中，，故，C错误； D中，，故，D错误； 考向08 根据函数的单调性解不等式 【例8】已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若函数定义域为时，证明函数在定义域内单调递增，并求满足的实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明：由于，，且， 则， 因为，所以， 所以，即，故在上单调递增； 实数的取值范围：． 【分析】（1）利用恒等式通过消元思想求解； （2）利用函数的单调性的定义证明即可；并利用函数的单调性求解不等式即可． 【详解】（1）由可得：， 两式消去可得：． （2）因为函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为． 【对点1】已知函数 (1)根据定义证明：函数在单调递减； (2)若不等式对一切实数都成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明：任取， ，      因为，所以，，，，      所以，即，故函数在单调递减： (2) 【分析】（1）由定义法进行函数的单调性的证明； （2）转化为二次不等式恒成立问题求解． 【详解】（1）略 （2）因为函数的定义域为，且分母， 所以原不等式可转化为，恒成立，      设，若函数值恒大于0， 当时，，则函数值不是恒大于0， 当时，要使函数值恒大于0， 所以二次函数图象开口向上，与轴无交点， 所以，且，      所以． 【对点2】已知，函数，（1）若，则的单调递增区间是______. （2）若对任意实数，方程有解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】（1）分类讨论，结合一次函数、二次函数的图象即可写出的单调增区间； （2）根据题意可得的值域为，因为时，，故时，的最小值小于等于即可. 【详解】如图1所示，若，则 ， 当时，，开口向上，对称轴，在单调递增； 当时，无单调增区间； 综上所述，若，则的单调增区间为. （2）对任意实数，方程有解，的值域为， 时，在上单调递减， ，此时， 若的值域为，则时，的最小值小于等于. 开口向上，对称轴为，如图2所示， ①当时，在单调递减，， 此时只需，解得，结合得； ② 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，此时只需， 解得，结合得 综上所述：的取值范围为，即的取值范围为. 【对点3】若函数与在区间上都是单调递减的，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是开口向下的二次函数，对称轴是，在上单调递减； ，当，即时，在上单调递减. 若和在区间上单调递减，则，同时满足，则a的取值范围是. 【对点4】设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】利用函数的定义域可对选项，，作出判断；根据与在定义域内的某个区间上单调性相反，可判断选项. 【详解】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 【对点5】（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则函数的递增区间为 B．若，则函数的值域为 C．若的值域为，则的取值范围为 D．若的定义域为，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】对于A，利用复合函数单调性即可判断，对于B由即可判断，对于C令，则，根据的情况，分类讨论即可判断，对于D，由对恒成立，根据的情况，分类讨论即可判断. 【详解】对于A，若，，令， 由得或， 则函数的定义域为， 在单调递增，且在单调递增， 所以函数的递增区间为，故A错误； 对于B，由，所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，若的值域为，令，则， 当时，，解得，满足题意， 当时，，所以， 当时，不满足题意，所以，故C正确； 对于D，若的定义域为，则对恒成立， 当时，，不满足题意， 当时，，所以，故D错误. 【对点6】若函数在上的值域是，则实数的值为_________． 【答案】/ 【详解】因为函数在区间上是增函数，值域为， 则，即，解得． 【对点7】设，如果，且，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，其图象如图： 由图可知，在上单调递减，在上单调递增. 时，，则，； ，. 由，得； ，得. 与2的大小无法确定.. 【对点8】（多选）已知函数的定义域为，若，，，且当时，，则（    ） A． B．， C．在上单调递增 D． 【答案】BC 【分析】利用赋值法判断AB，根据单调性定义判断C，将转化为， 再结合单调性等价于，通过解二次不等式判断D. 【详解】选项A，令，，代入得：，即； 又因为当时，，所以，因此，A错误； 选项B，令，则， 代入得：， 即，变形得； 因为，所以，故； 又，所以，，B正确； 选项C，任取、，且，则， 令，，代入得：； 因为，故，所以， 即时，故在上单调递增，C正确； 选项D，由可得， 则， 所以原不等式等价于； 又，且在上单调递增，所以， 又，故对任意恒成立，不等式无解， D错误. 考点02 函数单调性的判断 1．函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法； (3)利用已知函数的单调性. 2．复合函数单调性的判断方法 复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 考点03 函数的最值 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 考向01 利用函数单调性求最值或值域 【例1】已知，，则的最小值为__________． 【答案】3 【详解】当时，，此时； 当时，，此时； 当时，， 综上所述，的最小值为3. 考向02 根据函数的最值求参数 【例2】已知在处取得最小值，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】首先变形函数后，再利用基本不等式求最小值，即可求. 【详解】， 因为，所以， 当时等号成立，即时，的最小值为2， 所以当时，的最小值为，即. 考向03 复合函数的最值 【例3】设定义在上的函数，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】令，，分析的单调性，即可求得的最小值，即的最小值. 【详解】令，. 设， . 因为，所以，所以，所以，即. 所以在上单调递增，所以． 故答案为：. 考向04 判别式法求最值 【例4】已知正数，满足，则的最大值是__________. 【答案】/ 【分析】通过 “变量替换（比值法）” 将二元问题转化为一元函数的最值问题，然后由“判别式法”求得最大值. 【详解】设，即， 则， ∵关于的二次三项式的判别式，即恒成立， ∴， 则，， ∴， 令，则，方程一定存在正根， 则， 即，解得， 当时，方程整理为即，符合题意， ∴的最大值为. 故答案为：. 考向05 分段函数的值域或最值 【例5】已知函数且． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题基于分段函数的定义域分段规则，先通过复合函数求值求解参数，再分类讨论求解中的取值，最后分别计算两段函数的值域取并集得到的值域. 【详解】（1）因为，代入对应的解析式得. 由于，将代入对应的解析式得. 由题设，列方程，解得. （2）由（1）得分两类讨论： ① 当时，，解得，即或. 结合的约束，舍去，得； ② 当时，，解得，不满足的约束，舍去. 综上，. （3）分别求解两段函数的值域后取并集： ① 当时，，由平方的非负性得，故， 即该段值域为； ② 当时，为单调递减一次函数，当时， 故，即该段值域为. 因此的值域为两段值域的并集，即. 考向06 根据值域求参数的值或者范围 【例6】已知，函数，若的定义域和值域的交集为空集，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先求出时，的值域，缩小的取值范围；结合的对称轴及的定义域和值域的交集为空集对的取值分类讨论，再确定的取值范围即可． 【详解】， 因为，则，，所以， 要使的定义域和值域的交集为空集，则， 当时，，此时的定义域与值域的交集不是空集， 所以， 当时，在上单调递减，， 由的定义域和值域的交集为空集，可得，解得或， 所以， 综上，实数的取值范围是． 考向07 根据分段函数的值域（最值）求参数 【例7】（多选）下列命题正确的有（　　） A．函数定义域，值域，则满足条件的有3个 B．是成立的必要不充分条件 C．若函数，且，则实数的值为 D．若的值域为，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】利用函数的定义判断选项A；利用集合间的包含关系判断选项B；利用换元法求函数解析式判断选项C；将原问题转化为两段函数值域的并集为全体实数问题，对参数分类讨论进而求解参数范围判断选项D． 【详解】对于A，，解得，所以定义域或，故A正确； 对于B，集合的分子为全体整数， 集合的分子为全体奇数， 故是的真子集，故B正确； 对于C，令，则，， 所以， ，解得，故C错误； 对于D，若的值域为： 当时，时的值域无法覆盖全体实数，时为常数， 时为，不满足； 当时，段单调递增，值域为； 若，段的最小值为，需，得； 若，段的最小值为，此时恒成立， 综上可得，故选项D正确． 【对点1】已知函数． (1)设方程的解分别为，，若，求实数a的值； (2)若对，恒成立，求实数a的取值范围； (3)当时，y的最小值为3，求实数a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用一元二次方程根的判别式及韦达定理求解. （2）利用一元二次不等式恒成立列式求解. （3）按二次函数图象对称轴与区间关系分类求出最小值，进而列式求出值. 【详解】（1）方程的解分别为，则， 解得或，且，由，得，解得， 所以实数a的值为. （2），不等式恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围是. （3）函数的图象对称轴为直线， 当，即时，原函数在上单调递增，则当时，，无解； 当，即时，原函数在上单调递减，则当时，舍去； 当，即时，，，则, 所以实数a的值为4. 【对点2】给定一个函数，设函数的最大值为，求的最小值． 【答案】 【分析】先根据的几何意义得到，再根据的几何意义得到其最小值. 【详解】函数的几何意义是数轴上点到点的距离， 在闭区间上，绝对值函数的最大值一定出现在区间的两个端点处. ，， 因此在区间上的最大值. 代表取到、两个距离中的较大值， 要让这个较大距离最小，应取在和的中点处，即， 此时，，两个距离相等， 即的最小值为. 【对点3】已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用置换求出，换元法研究的最大值. 【详解】因为，① 用置换得，② ①-②得. 设当时， 当时，可转化为函数， 又因为， 所以当时，，， 当时，，， 所以当，即时，取得最大值， 对应地，当时，取得最大值. 综上，函数的最大值为， 故选：A. 【对点4】（多选）已知函数满足，，且，则（   ） A． B． C．函数的最小值为 D．函数的最大值为 【答案】BC 【分析】利用赋值法计算可得，再令以及可得A错误，B正确；结合可求得，利用判别式法可求得其值域，可判断C正确，D错误． 【详解】对于A，令，得，因为，所以，A错误． 对于B，令，得， 因为，所以， 令，得，所以，B正确． 令，得， 所以，所以， 由可知，整理得． 当时，； 当时，，解得， 所以y的取值范围为， 故函数的最小值为，最大值为，C正确，D错误． 故选：BC 【对点5】已知函数，.记，，则的最大值与的最小值的差为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析的正负区间，从而得出在各区间的函数解析式，结合，，利用函数的单调性求解 的最大值与 的最小值即可. 【详解】由题意可得，， 故当或时，， 当时，， 故当或时，， 当时，， 又对称轴为，开口向上，对称轴为，开口向下， 且，， 综上有当时，为增函数， 当时，为减函数， 当时为减函数， 故最大值为； 当时，为减函数， 当时，为减函数， 当时为增函数， 故最小值为. 故 的最大值与 的最小值的差为 . 【对点6】设函数的定义域与值域都是，且单调递增，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用单调递增函数的“保序性”双向推导集合包含关系，直接得出. 【详解】先设，由元素与集合的关系可得，即， 再设，同理可得，即，即可得． 设，则，则 ，即，即， 设，则，不妨设，则， 当时，因为函数为单调递增函数，则 ，即，与已知矛盾， 当时，因为函数为单调递增函数，则 ，即，与已知矛盾， 当时，因为函数为单调递增函数，则 ，即，与已知相符， 综上可得，即，即，即， 即. 【对点7】已知函数存在最大值，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数有最大值，结合一次函数、二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当时，当时，， 当时，， 要使函数存在最大值，则，解得：， 当时，当时，， 当时，， 要使函数存在最大值，则，解得：，由于，此时无解， 综上：a的取值范围是 一、单选题 1．已知函数，若函数的值域是，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，对称轴为，则； 当时，， 若，则，符合题意； 若，则，则，得； 若，则，符合题意； 综上，实数的取值范围是. 2．函数，（a为常数），在定义域上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先明确分段函数单调递减的条件，然后分析二次函数和反比例函数的单调性，最后再考虑分段点处的函数值衔接：结合三个条件即可求出的范围. 【详解】分段函数在定义域上整体单调递减，需要同时满足三个条件： 第一段二次函数在上递减： 是开口向上的抛物线，对称轴为， 要使其在单调递减，需，得； 第二段反比例函数在上递减： 是反比例函数，要在时单调递减，需系数； 两段在衔接点处满足递减的连续性： 即处左侧的函数值不小于右侧的函数值： 代入得，化简得，即. 联立三个条件得. 3．已知函数的定义域和值域均为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数的定义域为，确定一元二次不等式的解集为，确定的符号，以及一元二次方程的两个根，根据韦达定理建立，与的关系；再结合的值域为，得到二次函数在上的最大值为4，利用二次函数的性质求出参数，，的值；代入分式不等式，求解得到解集. 【详解】函数的定义域为， 一元二次不等式的解集为； ，和是一元二次方程的两个根； ，解得，. 函数的定义域和值域均为， 二次函数在上的取值范围为. 得二次函数的对称轴为； 又，，当时，取得最大值，即，解得. . 将，代入不等式，得，整理得； ，解得，即不等式的解集为. 4．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论分段函数单调递减，再考虑衔接点然后合并区间. 【详解】在时，要求递减，； 在时，要求递减，对称轴，要保证区间在对称轴右侧，则； 再考虑衔接点，. 结合三个条件，可得. 5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数是增函数 D．当时， 【答案】D 【分析】根据的定义，直接计算可判断A；根据题意，得到可判断B；举反例可判断C；根据题意，得到可判断D. 【详解】对于A，根据题意，，故A错误； 对于B，根据题意，有，即，所以的值域为，故B错误； 对于C，根据题意，，，即，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 6．对于实数，，定义符号，其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求两条直线的交点把定义域分段，再在每一段上写出对应的表达式，由各段的单调性求最大值. 【详解】由的定义知，取与中较小的那个. 令得，此时两个式子的值都为. 当时，，故， 它在上单调递增，最大值为； 当时，，故， 它在上单调递减，最大值也为. 所以该函数的最大值为. 7．已知定义在上的函数，当时，函数的图象与轴围成的图形面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析给定函数的性质并求出，再由函数在与的图象关系，求出即可 【详解】当时，，当时，， 在上的最大值为，，； 当时，，，当时，， ，在上的最大值为，； 函数的图象如图： 函数在上的图象每点横坐标、纵坐标分别是函数在 上的图象每点横坐标的2倍、纵坐标的， 而函数在上的图象与轴围成的图形是三角形，相邻两个三角形， 后一个三角形的底边长及高分别为相邻前一个三角形底边长的2倍及高的，则，， 所以. 二、多选题 8．（多选）已知，则下列结论正确的是（     ） A．最小值为 B．的最小值为 C．最大值为 D．无最大值 【答案】AC 【分析】选项AC利用均值不等式可以求解；选项B注意取值范围利用函数性质判断；选项D对根号部分利用均值不等式放缩判断有最大值. 【详解】选项A，由得，，且， 则， 因为，，所以， 故，当且仅当，即，解得时取等号. 所以最小值为，A正确. 选项B，越接近，接近，接近，无最小值，B错误. 选项C，设，则，且， 由均值不等式，，当且仅当即时取等号. 所以，得，即的最大值为，C正确. 选项D，由得，由（）变形得， 于是, 所以，当且仅当即时取等号. 所以该式有最大值，D错误. 9．（多选）下列说法中正确的有（     ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数和函数表示同一个函数 C．函数的值域为 D．函数满足，则 【答案】ACD 【详解】选项A：抽象函数的定义域为，则中的取值范围需满足， 解得，即的定义域为，A正确； 选项B：的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是同一个函数，B错误； 选项C：函数定义域为，令，则，代入得， 该函数在上单调递增，时取最小值3，故值域为，C正确； 选项D：已知①，将替换为得②， 联立①②消去，解得，D正确. 10．（多选）设为常数且，若对任意，不等式恒成立，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由二次函数的开口方向确定A项，令，得，进行判断选项． 【详解】当时，得， 由不等式恒成立，得恒成立， 当时，开口向下，不能保证恒成立，故，故A项正确； 令， 由，得， 由不等式恒成立， 当时，得，故恒成立， 当时，得，故恒成立， 故，得，故B项错误； 当时，得， 取，得，故C项错误； ，等号成立时，，故D项正确． 三、填空题 11．已知函数，若对定义域内任意，恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】按照分段情况讨论，每段内保证成立，求出的范围，最后取两段结果的交集. 【详解】当时，， 所以，即， 对恒成立，即， 又，当且仅当，即时取等号， ，即； 当时，，即对成立， 当时，上式成立； 当时，有，解得，所以或， 所以； 综上，的取值范围为. 12．已知集合，，若函数满足：，，当时都有，则符合条件的函数共有__________个． 【答案】 【分析】根据的取值是否相等，结合函数单调性，进行分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，集合为函数的定义域，集合为函数的值域， 又，，当时都有， 即，其中， （1）都相等，即，可分别等于、、、， 共有种情况； （2）恰有两个相等，即或， 若， 当时，的取值有种情况， 当时，的取值有种情况， 当时，的取值有种情况， 若， 当时，的取值有种情况， 当时，的取值有种情况， 当时，的取值有种情况， 所以，恰有两个相等，共有种情况； （3）均不相等，即， 共有，，或，，或，，或，，，即共有种情况； 综上所述，符合条件的函数共有种情况. 13．已知函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】这是一道"任意—存在"型的恒成立问题，核心转化是： 。解题关键在于先对参数 与1的大小关系分类讨论，分别确定两个函数的单调性和区间端点值，再让 的左右端点分别落在 的值域范围内列不等式求解。 【详解】对任意 ，总存在 使 ，即 的值域是 值域的子集。 当 时， 单调递减，； 当 时，，值域为 ； 当 时， 单调递增，。 ，。 当 时， 单调递增，； 当 时，，值域为 ； 当 时， 单调递减，（均为负值）。 （1）：需 即 结合 ，得 。 （2）： 值域 ， 值域 ，不满足包含关系，舍去。 （3）： 值域恒为负，而 ，需 即 ，与 矛盾，无解。 综上，实数 的取值范围是 。 14．已知函数，若对于任意的实数，均存在以，，为三边边长的三角形，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由条件转化为，再，和三种情况讨论函数的最值，即可求解. 【详解】由条件可知，对任意的实数，均有， 即， 当时，，， 当时，在区间单调递增， 当，得， 当时，函数的最大值为，最小值为，满足， 当时，，函数的最大值为，最小值为， 若，即，解得：，即， 所以当时，满足条件的的取值范围是， 当时，在区间单调递减，， 当，得，即时，函数的最小值为6，最大值为10，满足， 当时，得，函数的最大值为10，最小值为， 当时，，得，得，即， 所以当时，的取值范围是 当时，，，函数的最大值为，最小值为，满足， 综上可知，的取值范围是. 15．已知函数，定义：闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间，存在，，则实数的最小值为________． 【答案】4 【分析】该开口向上的二次函数，分区间在对称轴同侧、跨过对称轴两类，分别求出长度为1区间上函数最值差的不等式，取约束条件确定参数范围. 【详解】对于， 函数图像抛物线开口向上，对称轴为， ∵，根据二次函数的对称性不妨设，则有： ①当时，在上单调递增， 可得 ， ∴，得 ②当时， 在上单调递减，在上单调递增， 结合，可得函数在区间上的最大值为 ，最小值为 ， 可得， ∵，有，，∴，. 综上可得，正数最小值为4. 四、解答题 16．设，，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若的图象始终在的图象上方，求实数的取值范围； (3)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出的解析式后根据二次函数的性质可求值域； （2）根据判别式恒为负可求参数的取值范围； （3）由题设可得在上的值域为的子集，根据最大值小于等于9可求参数的取值范围. 【详解】（1）时，， 故， ， 当时，； 当时，， 故的值域为. （2）的图象始终在的图象上方即为， 故对任意恒成立， 故，故，而， 故. （3）， 因为对任意，总存在，使得成立， 故在上的值域为的子集， 因为，故，故， 所以，解得. 17．已知函数，． (1)，用表示，中的较小者，记作，作出的图象，并写出的单调递增区间； (2)设，，求的最小值． 【答案】(1)的图象为 的单调递增区间为：和. (2)8 【分析】（1）分析函数，中的较小者，分段画出函数的图象,进而利用函数图象求解单调递增区间； （2）由（1）求得函数的解析式，使用基本不等式求解最小值. 【详解】（1）， 当时，令，即，，则； 当时，令，即，解得或， 则 图象如下： 由图可知的单调递增区间为：和； （2），，令，则， ，当时等号成立， 所以当时，取到最小值为8. 18．已知函数，． (1)求在上的最小值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）小问求出函数的对称轴，分类讨论，以及三种情况； （2）小问换元法，令，将恒成立转化成恒成立，求的最大值即可. 【详解】（1）函数，，开口向上，对称轴， 在上，当，即时，函数单调递增， 所以； 当，即时，函数单调递减， 所以； 当，即时，函数在上先减后增， 所以； 综上所述：. （2）若，，即， 可得，可得， 即， 令， 设，，令，可得， 则在上，单调递减，在上，单调递增， 又因为，， 所以， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围为． 19．已知二次函数，且关于的不等式的解集是． (1)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (2)设，且对任意，都有，求实数的最小值 (3)若关于的不等式在上有且仅有三个整数解，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据不等式恒成立等价于在上恒成立，再分类讨论研究参数的范围； （2）问题化为求的最小值为函数的值域跨度，结合对勾不等式求函数的值域，即可得； （3）不等式化为，结合二次函数的性质及分类讨论，研究解集中的元素，列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设的解集为，即是方程的两个根， 所以，，即， 不等式在上恒成立， 即， 即在上恒成立， 当时，不等式为，恒成立， 当时，得，即， 要使该不等式恒成立，只需时， 对于，在上单调递增，最大值为，则， 对于，由对勾函数性质可知（当且仅当时取等号），所以最小值为，则， 综上所述，实数的取值范围是； （2）已知， 对任意，都有等价于， 即的最小值为函数的值域跨度， 当时，， 当时，得， 当时，，所以， 当时，，所以， 因此，的值域为，则的最大值为， 故实数的最小值为； （3）不等式在上有且仅有三个整数解， 即 ， 令开口向上，对称轴为，与轴交点为和， 当时，； 当时，， 若，不等式为，无解，不符合题意， 若，不等式等价于，所以解集必包含在的区间内，即解集包含在， 由于这两个区间都是无限区间，包含无穷多个整数解，不可能只有三个，不符合题意， 若，不等式等价于，因为，所以解集必定是的一个子集， 要使解集有且仅有三个整数解，结合对称轴和区间，这三个整数解只能是， 因此，解集必包含，且不能包含和， 即需要满足且，而，， 所以，即，得， 综上所述，实数的取值范围是. 20．，分别用和表示，中的较大者和较小者，记为，． (1)若函数，． ①求的值； ②已知函数，求的值域． (2)已知函数，当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据定义求解即可； ②求出的解析式，根据二次函数及一次函数的性质求解即可； （2）由题可得，其中，，结合二次函数、一次函数及恒成立，可得，求解即可. 【详解】（1）①由题， ， 所以； ②当时，， 当时，． 所以， 由，解得或； 由，解得， 所以， 所以时，单调递减，所以； 当时，，则； 当时，单调递增，， 所以的值域为． （2）令， 解得，， 所以． 因为，所以， 因为， 即在上恒成立， 又因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 又因为在上单调递减，最大值为， 所以， 所以的取值范围为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 3.2.1单调性与最大（小）值知识归纳与题型总结 思 维 单调递增、单调递减 函数的单调性及单调区间 图数的单调性 常见函数的单调性 单调函数的运算性质 复合函数的单调性 函数单调性的判断方法 单调性与最大（小值 函数单调性的判断 复合函数单调性的判断方法 函数的最大（小）值 函数的最大（小）值 利用函数单调性求最值的常用结论 函数的最值 单调性法 求函数最值的三种基本方法 图象法 基本不等式法 培 考点01函数的单调性 考点梳理 1. 单调递增、单调递减 名称 定义 图形表示 几何意义 般地，设函数x)的定义域为I, 函数x)在区间 区间DCI:如果x1,x2∈D,当x1< 单调递增 D上的图象从左 x时，都有x)下x),那么就称函 到右是上升的 数)在区间D上单调递增 1/17 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 y=f(x) f(2) ifx)i X1 X2 x 一般地，设函数x)的定义域为I, y=f(x) 函数w)在区间 区间DCI:如果x1,∈D,当1< 单调递减 D上的图象从左 x时，都有x)Px),那么就称函 Fx)Rx2) 到右是下隆的 数)在区间D上单调递诚 2.函数的单调性及单调区间 (1)当函数x)在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（域）函数 (2)如果函数yfx)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在这一区间具有 (严格的)单调性，区间D叫做yfx)的单调区间 3.常见函数的单调性 函数 单调性 次函数=+b P0时，在R上单调递增： (a0) KO时，在R上单调递减 反比例函数 >0时，单调递减区间是(-o,0)和(0，+o): K0时，单调递增区间是(-o,0)和(0，+oo). y=2a≠0) 二次函数y一(x-m2+n P0时，单调递减区间是(o,川，单调递增区间是[m,+o): (ca0) K0时，单调递减区间是[m,+oo),单调递增区间是(oo,川， 4.单调函数的运算性质 若函数x),g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)x)与x)+C(C为常数)具有相同的单调性， 2/17 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 (2)若a为常数，则当心0时，fx)与ax)具有相同的单调性；当K0时，)与afx)具有相 反的单调性。 a (3)若)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当心0时，与f(?具有相反的单调性；当 a a<0时，)与f()具有相同的单调性 ④若)≥0，则)与√f(田具有相同的单调性 (⑤)在x),w)的公共单调区间上，有如下结论： n) g(x) x)+g(x) fx)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 (6)当x),g)在区间D上都是单调递增（减）的，若两者都恒大于零，则)g()在区间D 上也是单调递增（减）的：若两者都恒小于零，则x)g()在区间D上单调递减（增 5.复合函数的单调性 对于复合函数fg(x),设t=g(x)在(ab)上单调，且yf()在(g(a),g(b))或(g(b), g(a)上也单调 g(x) y-n) y-fg(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 典例引领 考向01 定义法判断或证明函数的单调性 f(x)=2x-1 【例1】已知函 x+1 (1)求函 f(x)的定义域： 3/17 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 2判斯函数（因在1+切 上的单调性，并用函数单调性的定义证明： 求丽数)在B,习上的最大值 考向02求函数的单调区间 【例2】函数 f(x)=x-2 的单调递减区间是 考向03根据函数的单调性求参数值 f(a)=x+ 【例3】(1)用单调性定义证明函数 x在区间(0,1)上是减函数： (2已知西数国倒=m2+兮+4(aeR)在区同2网)上是增堡数，求实数，的取位 范围。 考向04根据图象判断函数单调性 【例幻已知函数’=的图象如下，则函数”=1-) 的单调递增区间为 A.(0) c.（,0) 4/17 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 考向05复合函数的单调性 【例5西数(=e在B,四)上单调道减，则a的取值范国是 考向06根据解析式直接判断函数的单调性 [0,4] 【例6】（多选）下列函数中，值域为的是() A.f(x)=-x2+4 B.f(x)=x-1 xe[.5] c.f(y=vx+2xe[-2,14 p.f(x)=r-2x∈[0,6 考向07比较函数值的大小关系 【例】已知函数()是(0，+∞)的减函数，则下列各大小关系正确的是() A.f(-1.2)>f① B.f(3)<f(π) c.f(a-1)<f(a) 。.f-x+小f 考向08根据函数的单调性解不等式 【斜已知商数病+/）-4+是 求（的解折式 2若函数（四定义域为，+0）时，证明函数因在定义域内单调递增，并求满足 f(m2-m-l)<f11-2m 的实数m的取值范围。 对点提升 【对点】已知函数四安4 5/17 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 (a根据定义证明：函数f(因在2，+o） 单调递减： 包若不等式)kb对一切实数‘都成立，求b的取值范围。 x2+x,x≤c f(x)= 【对点2】已知c∈R'函 2x+,>C,(1)若c=0,则f()的单调递增区 间是 （2)若对任意实数b,方程（四）=b有 ”有解，则实数C的取值范围是一 【对点引若西数因r+a与8-2 x-2a在区间(L2)上都是单调递减的，则a 的取值范围是() 。 。〔 D 1 V= 【对点4】设定义在-1，]小上的函数y=f()的图像如图所示，则关于函数f(x)的单 调区间表述正确的是() 12 3567 A.在川上单调递减 B在0上单调递减，在L3)上单 调递增 C.在5刃上单调递减 D.在B,5)上单调递增 【对点5】（多选）已知函数f()=Va2-2x-3 则下列结论正确的是() 6/17 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 A.若a=1,则所数f四的递增区间为，+切) B.若a=,则函数f的值歧为[0，+w) c.若f(的值域为0，+切) 则的取值范围为0，+) D.若f()的定义域为R,则a的取值范围为 则实数a的值为. 【对点刀设f倒-2-刊，如果a<b<,且fa>f(e>f) 则有() A.2+2<2 B.2+2<1 C.2+2>1 0 2+2>2 【对点8】（多选）已知函数()的定义域为R,若x,y∈R,f(x+y)=f()fOy), 且当x>0时，f>1,则() A.f0)=0 B.x∈R,f(x)>0 f(o-a)< C.f(x)在R上单调递增 D.f(2a-4) 考点02函数单调性的判断 考点梳理 1.函数单调性的判断方法 (1)定义法： (2)图象法： (3)利用已知函数的单调性。 7/17 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 2.复合函数单调性的判断方法 复合函数y=g)的单调性应根据外层函数y=)和内层函数仁g(x)的单调性判断，遵 循“同增异减”的原则. 考点03函数的最值 考点梳理 1.函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 一般地，设函数=x)的定义域为I,如果存 在实数M满足： 函数的最大值对应图象最 函数的最大值 I)Hx∈1，都有x)≤M 高点的纵坐标 (2)月x∈1，使得xo)广M 那么，我们称M是函数y一x)的最大值 一般地，设函数y=x)的定义域为I,如果存 在实数满足： 函数的最小值对应图象最 函数的最小值 (I)Hx∈1，都有x)≥： 低点的纵坐标. (2)3x∈1，使得fxo)=L. 那么，我们称m是函数y式)的最小值 (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数yfx)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数 yfx),x∈[a,c]在x=b处有最大值fb),如图(1)所示： ②如果函数y=fx)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数yfx), x∈[a,c]在x=b处有最小值fb),如图(2)所示. 8/17 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 NH fb) y↑ fa) f(c) f(c) f(a) fb) 0 b 0 (1) (2) 2.求函数最值的三种基本方法： ()单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值， (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式 求出最值， 典例引领 考向01利用函数单调性求最值或值域 【例)已知'=K-2+x-5,xeR,则'的最小值为 考向02 根据函数的最值求参数 【例2】已知)=x+十5+4(x>列在=口处取得最小值，则m的值为() A.-4 B.-3 C.1 D.5 考向03复合函数的最值 【例3】设定义在R上的函数f四=P+50++30,则/的最小值是 2025 考向04判别式法求最值 【例打己知正数m,n满足m-V3m+m2=1 ,则 3m2-mm的最大值是 9/17 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 考向05分段函数的值域或最值 amx2-1,x≤1 【例5】已知函数)= -x-3,x>1且f(f(2)=24 (1)求a的值： 2)若(6)=8 求b的值： 3)求) 的值域 考向06根据值域求参数的值或者范围 函数(x) ts0 3x-4 【例6】己知 a>0 (K-2,0<x≤a:若f)的定义域和值域的交集为空集， 则实数a的取值范围是 考向07根据分段函数的值域（最值）求参数 【例7】（多选）下列命题正确的有() A函数f()=x B={4 定义域4cR,值域 ,则满足条件的 有3个 成立的必要不充分条件 C.若函数 +)=2+日，且o=4,则实数m的值对6 0.者f) ar+3,x<2 1 2-2cr+2a,x≥2的值域为R,则a的取值范围为4，+o◆ 对点提升 【对点】已知函数y=r-c+a+3 10/17 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 1+1=2 (1)设方程y=0的解分别为，，若戈，求实数a的值： (2)若对x∈R,y≥0恒成立，求实数a的取值范围： (3)当1≤x≤4时，y的最小值为3，求实数a的值. 「。3 f(x)=x+x∈0，g 【对点2】给定一个函 2 设函数的最大值为8(0，求8（的最小 值. 【对点3】已知函数f)的定义域为R,且f()+f0-)+1=0,则函数f)的最大值 为() 1 A.3 B.1 C.2 D.3 【对点幻《多选)已知西数f(因清足yeR,f(国)儿+)+”，且 f(1)≠0 ,则() A.f(0)=0 8.f()=2 f(x) 1-5 f(x) 1+√2 c.函数”2+2的最小值为4 y= D.函数x2+2的最大值为4 【对点5已知数f6国=-2a+1r+a,8()=-+2a-lr-+2.记 H(-f+8)sH.-+se创r)-8创 2 2 ,则H(x)的最 大值与，（的最小值的差为（） A.-4 B.4 C.a2-a+4 D.a2+a+8 11/17 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 【对点6】设函数y=(四)的定义域与值域都是R,且单调递增， A={x f(x)=x),B={xf(f(x))=x) 则() A.ASB B.BSA C.A=B D.A∩B≠☑ 3x+a,x<a f(x)= 【对点7】已知函 4x-x2,x≥a存在最大值，则a的取值范围是() A.0 8.0,2 C.[1+o) D.（0, 能力提升 一、单选题 [-x2+2x+3,x<2 f(x)={ 1.已知函数 ,x≥2 ，若函数f(x)的值域是(-∞，4，则实数m的取值范 围是() 4.（-∞，6 B.(0,8] c.[0,6] D.（∞，8] x2-ax+5,0<x≤1 2函数 r,x>1 ,(a为常数)，在定义域上单调递减，则a的取值范 围为() A.0≤a≤3 B.2≤a≤3 C.a≥2 D.a>0 三.已知睡数了回=广+加+e的定义线和位威均为0引则关于的不等式>办的 解集为() 12/17 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 （别 B.(（-2,-) c.(-u号+ D.（-0,-2)U(-l,+o) 已商-仁1地R的装京性() A 。( 03 。[别 5,高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基 米德、牛顿并列为世界三大数学家。，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR,用冈表 示不超过*的最大整数，则=闪称为病斯函数，B24]3.【15]-2若 f()=x- 则下列说法正确的是() A.f(x+I)-f(x)=1 B.函数的值球为D,] C.函数是增函数 D.当2024≤x<2025时，f()=x-2024 6.对于实数a,6,定义符号i血a,其意义为：当a>办时，mma=b:当a<b 时， mima,b=a.例如：mim-21以=-2，若关于的函数y=mi血Bx-l-+2,则该 函数的最大值为() 5 A.1 C.2 D.4 13/17 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 4-8x-1sxs2 7.已知定义在 上的函数fx) 1 当 时，函 [l,+o∞) fx>2 xe[2",2"](neN 数 Sn S1+S2+…+Sn= 的图象与轴围成的图形面积为”，则 () A.2 B.2n C.2m+1-2 D.n2+n 二、多选题 8.(多选)己知0<x<2,则下列结论正确的是() 1,9 A.x十2-x最小值为8 二十 B.x+ x-2的最小值为0 C.vx+- 最大值为2 D.+V4-2元 无最大值 9.(多选)下列说法中正确的有() _13 A.若函数f(x)的定义域为-2,2，则函数f(2x-)的定义域为L22 息感数 x和函数8()=x表示同一个函数 C.函数f(=x+2F+ 的值域为B+o) 0.函数f冈满起f-2(对小-=2x-1,则/-号x+1 10,(多选)设a,6c为常数且a≠0，若对任意x2-2,不等武(r+x+c-2列20恒 成立，则() A.a>0 B.b=0 C.c≥-1 D.a -c≥4 14/17 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 三、填空题 11. 已知函数f()- x2+2m+l,-3<x<-1 am+2, -1<x<1，若对定义域内任意x,f(x)>-2恒成立， 则a的取值范围是 12.已知集合 =123.B=L2,34号， 若函数/：A→ B满足：，名∈A,当< 时都有)小sfs) 则符合条件的函数共有 个 18已加弱数闲-0≤x≤2)，同数8)=(m-)0≤x≤2列，若对行查的 e习总存在2习，使得)=g ，则实数m的取值范围是 [x2-2x+7,0≤x≤3 14.己知函数 (x)= ax-3a+- 5,3<x≤9，若对于任意的实数，，50,9，均存在型 f八).f(),儿)为三边边长的三角形，则的取值范围是 15.已知函数f(因=m2+x+,(a>0) 定义：闭区间，]<)的长度为5，若 对于任意长度为1的闭区间D,存在s1eD,(⊙)-f021,则实数“的最小值为 四、解答题 16.设f)=-2x+1,8(x)=x-1,其中1>0，记F()=mx{/(8(} 考=1，求F(的值域， 2)若/儿田的图象始终在8()的图象上方，求实数'的取值范国： 若>0，记函数()=f1+f对在意xc2-2刘，总存在mcD,列，使得 15/17 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 h(x)=m 成立，求实数的取值范围： 17.已知函数 (x)=x-l1g()=x2+2x+1 ()xeR,用m)表示f(x),gx)中的较小者，记作m)=min{fx,g(x},作出m(, 的图象，并写出mx)的单调递增区间： a设器.：L+国来的是水金 18,已知函数f(=2x-(4m+3列x+6m,m∈R 求f冈在0,2到上的最小值8（网）。 2若xe01fs-3x+10m- 恒成立，求实数m的取值范围， 19,已知二次西数f代)=+a+6abe),且关于*的不等武/)>0的解架是 (-0,-2U(4,+0) 若不等式/()(c-81在*®2上恒成立，求实数的取值范国 2没8（树了+2x+17,且对在意，5R,都有g(6)8)≤m,求实数m的最 小值 B倒若关于产的不等式矿（冈+<0在R上有且仅有三个整数解，求实数'的取值范围。 20.eR,分别用（因和m(表示f国，8（四中的较大者和较小者，记为 M(x)=max{f(x).g(x)m(x)=minf(x).g(x) (若函数f)=-2x-3g)=x+1 16/17 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 ①求 M(2)+m(-2) 的值； ②已如画数A=f+8()-8 2 ,求H()的值域 已知函数G国=+-4)x-6--k+4)r+(,当L4时，G(2-8恒成立， 求实数k的取值范围。 17/17