3.2.1单调性与最大(小)值讲义【知识清单+14大题型】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数的单调性与最大（小）值核心知识点，从增函数、减函数定义出发，通过定义法、图象法、性质法构建单调性判断证明体系，结合一次、反比例、二次函数单调性分析，延伸至复合函数“同增异减”规律，最终落脚到函数最值的定义与应用，形成连贯的知识支架。 资料特色在于14类典型例题系统分类，涵盖单调性证明、单调区间求解、复合函数分析等，图象题培养几何直观（数学眼光），定义法证明提升推理能力（数学思维），参数范围问题强化应用意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，巩固知识应用。

3.2.1 单调性与最大(小)值 第一部分：知识清单 知识点一：函数的单调性 1、增函数与减函数 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 4、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点二：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点三：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 知识点四：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 第二部分：典型例题汇总 典例一 利用定义法判断或证明函数的单调性 典例二 求函数的单调区间 典例三 根据图像判断函数单调性 典例四 复合函数的单调性 典例五 利用函数的单调性比较大小 典例六 利用函数的单调性解不等式 典例七 利用函数的单调性求参数的取值范围 典例八 利用函数单调性求最值或值域 典例九 根据函数的最值求参数 典例十 函数不等式恒成立问题 典例十一 函数不等式能成立(有解)问题 典例十二 解分段函数不等式 典例十三 分段函数的值域或最值 典例十四 根据分段函数的值域(最值)求参数 第三部分：典型例题 典例一 利用定义法判断或证明函数的单调性 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）函数在区间上为______（填“严格增函数”或“严格减函数”） 【答案】严格增函数 【分析】利用定义法证明单调性即可. 【详解】任取，则, 因为，所以，所以, 故在区间上为严格增函数. 故答案为：严格增函数 2．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知函数. (1)解不等式； (2)判断该函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)函数在上是增函数.证明如下： 任取，，且， ， ，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. 【分析】（1）移项，通分再转化为一元二次不等式求解； （2）利用增函数的定义证明. 【详解】（1）不等式化为，即， 可化为，所以或， 不等式解集为. （2）略 3．（2026高三上·广东·学业考试）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据二次根式的被开方数大于等于0，列式求解； （2）利用函数单调性的定义判断证明. 【详解】（1）由，所以，解得， 所以函数定义域为. （2）在上单调递增，证明如下： 的定义域为， ∴任取， 则 ， ，，又有， 所以，即， 是上的单调递增. 4．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，且. (1)求解析式； (2)证明：函数在区间单调递增. 【答案】(1) (2) 任取，且， .    所以，所以， 所以函数在单调递增. 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）按单调性定义法去证明即可. 【详解】（1）， 且，解得. 所以函数的解析式为. （2）略 典例二 求函数的单调区间 5．（25-26高一上·全国·专题训练）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调减区间_______. 【答案】 【分析】作出函数的图象，结合图形即可求解. 【详解】， 作出函数的图象，如图所示， 由图象可知函数的单调递减区间是. 故答案为：. 6．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为______． 【答案】, 【分析】利用分段函数思想，来作出图象，即可得单调增区间. 【详解】， 画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递增区间为和． 故答案为：，． 7．（25-26高一上·浙江·期中）函数的单调递增区间是_________． 【答案】和 【分析】作出的图象，根据图象直接判断出单调递增区间. 【详解】作出的图象如下图所示， 由图象可知，的单调递增区间是和， 故答案为：和. 8．（25-26高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为______. 【答案】、 【分析】作出函数的图象，可得出该函数的单调递减区间. 【详解】因为， 由此画出函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递减区间为、.    故答案为：、. 典例三 根据图像判断函数单调性 9．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【分析】利用函数的图象逐项判断即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 10．（25-26高一上·全国·专题训练）函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调递增区间分别是（    ）    A．定义域为；单调递增区间为 B．定义域为；单调递增区间为， C．定义域为；单调递增区间为 D．定义域为；单调递增区间为 【答案】D 【分析】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断. 【详解】由图象可知定义域为，函数的单调递增区间有2个，即，. 故选：D. 11．（25-26高一上·陕西延安·期中）（多选）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上有最大值3，有最小值 D．在区间上的最大值为3，最小值为 【答案】BC 【分析】根据函数图象总结函数性质，逐项判断即可. 【详解】对A：由图可知，函数在和上单调递减，单调区间不能用并集符号连接，故A错误； 对B：由图可知，在上单调递增，故B正确； 对C：由图可知，在上有最大值3，有最小值，故C正确； 对D：由图可知在区间上无最大值，最小值为，故D错误. 故选：BC 12．（25-26高一上·上海·课堂例题）下图是定义在闭区间上的函数的图像，根据图像写出的单调区间，以及在每个单调区间上，是增函数还是减函数． 【答案】单调区间分别为，，，且在区间，上是减函数，在区间，上是增函数 【分析】观察图像得到单调区间即可，判断函数增减性即可. 【详解】由题中图像可以看出的单调区间分别为，，，， 且在区间，上是减函数，在区间，上是增函数． 典例四 复合函数的单调性 13．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先考虑；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【详解】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 14．（25-26高一上·青海西宁·期中）函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再分析内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 令，则在单调递增，在单调递减， 且在单调递减， 在单调递减，在单调递增. 故答案为：. 15．（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，. 故选：B 16．（25-26高三上·河北雄安·期中）已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，易知在上单调递增，所以在上单调递减， 对于，令，解得， 令，当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， 因为在上单调递减，所以的单调递增区间对应的单调递减区间， 所以的单调递增区间是. 故选：A. 典例五 利用函数的单调性比较大小 17．（2026高一上·全国·专题练习）已知在上是减函数，，且，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性比较函数值的大小关系。 【详解】由题意知，得到． 在上是减函数， ， ，故选D． 18．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为_____． 【答案】 【详解】因为，函数在区间上单调递减，所以． 19．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 20．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由定义法得到函数在上单调递增，然后求自变量的范围，从而得到正确结论. 【详解】任取，则 ∵，∴，则在上单调递增． 又，所以． 故选：D. 典例六 利用函数的单调性解不等式 21．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 22．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为R上的减函数，若，则______；若，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为函数是上的减函数，且， 根据减函数的性质：自变量越大，函数值越小，可得，故①处填. 由，且是上的减函数， 可得自变量满足，同时分式有意义需. 解不等式，即，等价于且， 解得或，故②处填. 23．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【答案】(1) 设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； (2) 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【详解】（1）略 （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 24．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) 令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； (2) 在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； (3) 【分析】（1）令，求出，再令，结合时的正负性判断； （2）利用定义判断单调性； （3）利用单调性结合一元二次函数的性质判断. 【详解】（1）令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； （3）因为关于x的不等式有解，且在上单调递增， 所以有解，即在上有解， 故，得或， 故实数a的取值范围为. 典例七 利用函数的单调性求参数的取值范围 25．（25-26高一上·贵州安顺·阶段检测）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性列不等式组求解即可. 【详解】当时，函数单调递增可得，解得， 当时，函数单调递增可得，解得， 同时需满足，解得. 综上，. 故选：D 26．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数满足在区间内任意实数，都有，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用单调性定义及复合函数单调性法则可得答案. 【详解】因为在区间内任意实数，都有， 设，则， 所以函数 在 上单调递减， 令， 根据复合函数的单调性即外层函数单调递增， 则需满足：（1） 在 上恒成立； （2） 在 上单调递减. 二次函数 开口向下，对称轴为 ， 为使 在 上单调递减，只需； 同时， 在 上恒成立， 由于 时 在 上递减，最小值在 处取得， 故需 ，解得 ， 综上， 的取值范围为 . 故答案为： 27．（2026高一·湖南·专题练习）已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为_______. 【答案】 【分析】由函数单调性的定义推出在上单调递增，再由分段函数单调性建立关于的不等式，求解即可. 【详解】不妨设，由，可得：，即， 则函数在上单调递增， 则，解得，即， 故实数a的取值范围为． 故答案为： 28．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性建立不等式组解出即可. 【详解】因为函数对定义域内任意实数，都有， 所以函数在定义域上单调递增， 当时，函数为开口向下， 对称轴为的抛物线， 此时若函数要在上单调递增，则， 当时，函数， 若函数要在单调递增，则， 根据分段函数的单调性可得： ， 解得：， 故选：B. 29．（25-26高一上·江苏常州·期中）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由二次函数的单调性，以及充分条件和必要条件的概念可得结果. 【详解】函数是二次函数，开口向上，对称轴为， 二次函数开口向上时，在对称轴左侧单调递减， 因此需要满足，即； 当时，满足，函数一定在上单调递减，所以“”是充分条件； 函数在上单调递减时，只需要，不一定非要，所以“”不是必要条件. 所以“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件. 故选：A. 30．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数一定不可能为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】当时，，当时，，结合二次函数的图象与性质，分别求出的单调区间，建立关于的不等式（组），解之，结合选项即可求解. 【详解】当时，， 是一条开口向上的抛物线，对称轴为， 所以在上单调递增； 当时，， 是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的增区间为和，减区间为. 若在上单调递减，则，无解； 若在上单调递增，则或， 解得或. 故选：D 典例八 利用函数单调性求最值或值域 31．（26-27高三上·上海·开学考试）函数的值域为__________． 【答案】 【分析】将原函数转化为两个绝对值之和的形式，再通过绝对值的几何意义或分段讨论的方法求解函数的值域. 【详解】∵ ， ∴ 原函数可化为. 方法一：从几何意义分析，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 故表示数轴上点到点与点的距离之和. 当点位于点和点之间（含端点）时，距离之和取得最小值，最小值为； 当点位于点左侧或点右侧时，距离之和随向两侧延伸逐渐增大，无最大值. 方法二：通过零点分段法验证： 当时，，此时函数单调递减，； 当时，； 当时，，此时函数单调递增，. 综上，函数的值域为. 32．（2026高一·全国·专题练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 33．（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 34．（25-26高一上·重庆·期末）定义：表示不超过的最大整数，如，则函数的值域为________. 【答案】 【分析】分别求出当、时的函数值域即可. 【详解】当时，， 因为在上单调递增，所以， 此时函数范围为； 当时，； 因为在上单调递增，所以， 此时函数范围为， 综上，当时，的值域为. 故答案为： 典例九 根据函数的最值求参数 35．（2026高二下·全国·竞赛）已知函数 若在上存在最小值，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】先按、、分类讨论. 时无最小值；时有最小值；时需满足一定的条件，再分与 讨论，综合得的取值范围. 【详解】若，则由可知无最小值； 若，则有最小值. 以下假设，此时在区间上单调递减， 于是在上有最小值当且仅当. 下面对的取值分类讨论： 当时，因为， 所以. 当时，因为， 所以，整理得 ， 该二次判别式，不等式左端恒大于0，无解，不符合要求. 综合以上讨论可知：当时的取值范围是. 综上所述，实数的取值范围是. 36．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 【答案】 【分析】分，，，四种情况讨论，结合条件，利用的单调性，即可求解. 【详解】若，易知在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，， 当，即时， 由题有，解得，又，则，所以满足题意， 当，即时，由题有，解得， 又，则，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减， 由题知，解得，不合题意， 综上所述，实数. 37．（25-26高一上·安徽亳州·阶段检测）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可. 【详解】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 综上所述，. 故选：D 38．（25-26高一上·北京·期中）已知函数． (1)若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； (2)若函数在上的最大值为1，求实数的值． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得函数的对称轴，然后分，以及讨论，结合二次函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）方程有两个实根，， 由韦达定理可得， 又， 即， 化简可得，解得或， 当时，原方程为，有两实根，满足题意； 当时，原方程为，即， 其中，即方程无实根，故舍去； 所以. （2）因为， 其图像开口向下，对称轴为， 当时，即时， 函数在上单调递减，则， 即，满足； 当时，即时， 函数在上单调递增，则，即，不满足，故舍去； 当时，即时， 函数在处取得最大值， 即， 即，解得， 且，则； 综上所述，或. 典例十 函数不等式恒成立问题 39．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意. 设，则. 若，则方程的解为； 若，由方程有解， 可得且. 综上.所以. 所以实数的最小值为2. 40．（25-26高三·全国·一轮复习）设，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】 【详解】当时，不等式对任意m成立； 当时，不等式恒成立 ， 令，易知该函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故得. 当时，不等式恒成立， 因在上单调递减，则，故得. 综上可得，. 41．（25-26高一上·上海·期末）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造新函数，利用函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，所以由 ， 设， 因为函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减， 函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减， 因此函数时单调递减， 所以， 所以在上恒成立，只需， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 42．（25-26高二下·河北保定·期末）已知二次函数满足，且的最小值为5. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出解析式，根据条件得到方程组，求出解析式； （2）转化为，分，和三种情况，得到不等式，求出答案 【详解】（1）设， 由，得， 即， 所以，解得， 所以，当时，取到最小值. 又的最小值为5，所以，解得. 所以. （2）由（1）知，所以不等式， 即. 当时，二次函数开口向下， 不等式不可能对恒成立； 当时，不等式，即，其对恒成立； 当时，不等式，即， 因为对，不等式恒成立， 所以，即， 化简可得，所以且，解得或， 又，所以或. 综上所述，或，即实数的取值范围是. 典例十一 函数不等式能成立(有解)问题 43．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出，求出两个函数的最大值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为函数，， 若，，使得，只需， 因为函数在时单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，，故； 因为函数在时单调递增，故. 由得，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 44．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用分离参数法，结合函数的单调性求实数的取值范围. 【详解】因为存在，所以， 又当，单调递减，所以的最大值为. 所以. 故答案为： 45．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数. (1)判断在上的单调性，并求其在上的最大值与最小值； (2)若对任意的，总存在，满足，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增；最大值为，最小值为； (2). 【分析】（1）分离常数可得，并利用不等式的性质以及单调性的定义证明，结合单调性分析最值； （2）根据的单调性以及存在性问题可得，再结合对勾函数性质以及恒成立问题分析求解. 【详解】（1）因为，可知在上单调递增， 证明如下：任取，且，则， 可得，即，则， 即，可知函数在上单调递增， 所以在上的最大值为，最小值为. （2）若存在，满足，则， 因为函数在上单调递增，则， 可得对任意的，满足，得恒成立， 又因为函数在单调递减，在单调递增， 且，可知的最大值为5，即，解得， 所以实数的取值范围. 46．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知关于的不等式的解集为， (1)若，解这个关于的不等式； (2)设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)，使关于的不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. (2)； (3). 【分析】（1）分类讨论求解含参数的不等式. （2）求出集合，利用充分不必要条件，结合包含关系及（1）的结论列式求解. （3）在条件下，利用分离参数法变形给定不等式，再利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】（1）当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或； 当时，不等式为， 当时，解得；当时，无解；当时，， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）不等式化为，解得，即， 由是的充分不必要条件，得是的真子集， 由（1）知，则或或， 解得或或，即， 所以实数的取值范围是. （3）当时，不等式 而 ，当且仅当，即时取等号， 由，不等式成立，得， 所以实数的取值范围是. 典例十二 解分段函数不等式 47．（2026·江西·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在R上单调递增可求解. 【详解】易得函数在R上单调递增， 则由可得，解得， 故不等式的解集为. 故选：A． 48．（2026·山东潍坊·三模）设函数则不等式的解集为________. 【答案】 【分析】把不等式化为这种形式，再利用函数单调性求解. 【详解】由函数解析式知在上单调递增， 且， 则， 由单调性知，解得. 故答案为： 49．（25-26高三上·上海宝山·阶段检测）已知，不等式在上恒成立，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】作出分段函数图象，可知在上单调递减，不等式可转化为在上恒成立，即，转化为即得解 【详解】作出分段函数的图象如图， 要使不等式在上恒成立， 则在上恒成立， 即在上恒成立， ∴，解得：. 故答案为： 50．（25-26高一上·广东深圳·期中）设函数. （1）画出函数的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间； （2）解不等式. 【答案】（1）图象见解析，定义域为，值域是，单调增区间是，减区间是；（2）. 【解析】（1）化简函数，利用二次函数和一次函数，画出分段函数，并看图写定义域、值域和单调区间即可； （2）先解出的解，再结合图象即解得不等式. 【详解】解：（1），如图所示： 函数的定义域为，值域是，单调增区间是，减区间是； （2）时，令得， 时得，结合图象，不等式的解集是. 典例十三 分段函数的值域或最值 51．（25-26高一上·全国·专题训练）对任意，使不等式恒成立的的取值范围是________________ 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式求解或利用分段函数求最值. 【详解】令， 方法1：对，， 当且仅当，即时取等号， 则，故， 故实数m的取值范围是. 方法2：， 当时，；时，， 则，故， 故实数m的取值范围是. 故答案为：. 52．（25-26高一上·江西赣州·期中），定义：．记，若，，则函数的最大值为___________． 【答案】/ 【分析】先分和解，进而根据定义得，作出的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意有：当时，，所以， 由有：，即，解得， 所以当时，， 当时，，所以， 由有：，即，解得， 所以当时，， 所以当时，， 所以， 作出的图像： 所以， 故答案为：. 53．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出分段函数的最小值，再求解一元二次不等式. 【详解】当时，； 当时，； 当时，， 则的最小值为， 由题意得，，解得， 故实数的取值范围为. 故选：A 54．（25-26高一上·山东·期中）已知函数有最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分情况讨论分段函数的单调性，进而确定最大值情况，即可得参数范围. 【详解】由已知当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 即函数在时的最大值为； 当时，， 若，函数在上单调递增，且恒成立， 此时函数在上有最大值为，满足题意； 若，函数，此时， 即函数在上有最大值为，满足题意； 若，函数在上单调递减，且， 则若使函数在上有最大值，则，解得； 综上所述，若函数有最大值，则， 故选：B. 典例十四 根据分段函数的值域(最值)求参数 55．（25-26高一上·福建福州·期中）已知函数，若在上的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的单调性与取值特征，即可画出函数图象，数形结合即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，所以在上单调递减且， 当时，所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，则的图象如下所示： 因为在上的值域为， 所以，即实数的取值范围为. 故选：A 56．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若的最小值为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数，分别确定每段的最小值，再根据给定最小值建立不等式，求解即可. 【详解】当时，的最小值为， 当时，， 若时，为增函数，所以， 所以需满足，解得，与矛盾，故不合题意； 当时，由对勾函数性质，在上单调递增， 又的最小值为，则，解得， 综上，实数a的取值范围是. 故选：B 57．（25-26高一上·江西赣州·期中）已知函数若存在实数，使，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先说明函数在上的单调性，求出此时，则求出此时的取值范围；再分、说明在上的单调性，从而求出相应的，即可求出的取值范围，从而得解. 【详解】因为， 当时，则在上单调递减， 所以，则当，即时，存在实数，使， 当时，不存在实数，使； 当时， 若，即时，在上单调递增，则， 所以，解得，与矛盾，故舍去； 若，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，解得； 综上可得实数的取值范围为. 故选：D 58．（25-26高一上·江苏苏州·期中）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】对的范围分类讨论，结合分段函数的最小值求解. 【详解】因为, 当且时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为，而不是，这与矛盾，不符合题意，所以. 因为二次函数的图象的对称轴为直线， 当，即时，则函数在上单调递增， 根据题意，有，此时，； 当，即时，当时，， 由题意可得，整理可得，解得，此时不存在. 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：. 第四部分：课后检测 1．（25-26高一上·山西朔州·阶段检测）函数在（    ） A．上是增函数 B．上是减函数 C．和上是增函数 D．和上是减函数 【答案】C 【分析】分离常数，作出函数图象，观察即可得出结果. 【详解】， 函数的定义域为， 其图象如下： 由图象可得函数在和上是增函数. 故选：C 2．（25-26高一上·江西·期中）函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性即可获解. 【详解】函数的定义域为， 而是二次函数，开口向上的抛物线，对称轴为轴，所以增区间为. 故选：C. 3．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 4．（2026高一上·河南安阳·专题练习）已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定函数的单调性，则可将转化为，解不等式可得答案. 【详解】由题意可知，函数的定义域为，且在上单调递增， ∵， ∴，解得或. 故选：C. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意化简函数解析式，作出图象，结合图象即可得函数解析式. 【详解】因为图象如图所示：    所以函数的单调递增区间为. 故选：B． 6．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分段讨论函数的单调性，综合可得函数在上为减函数，若，则有，解可得的范围，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数， 当时，，则函数在上单调递减函数，有， 当时，，则函数在上单调递减函数，有， 综合可得函数在上为减函数， 若，则有， 解可得， 即实数的取值范围为； 故选：． 【点睛】 本题考查分段函数的应用，关键是分析分段函数的单调性，属于中档题． 7．（25-26高一上·浙江绍兴·阶段检测）若函数是一个单调递减函数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由单调性可知，二次函数的对称轴与1的关系，列出不等式组求解即可． 【详解】解：函数是减函数， ，解得， 实数a的取值范围是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，注意单调性的本质，属于中档题． 8．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得： ， 该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 9．（25-26高一上·全国·专题训练）（多选）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分情况讨论，当时，；当时，，再在直角坐标系中分别画出对应图象即可求解. 【详解】由题意可知：函数 当时，； 当时，. 画出函数图象： 所以函数的单调递减区间为、. 10．（25-26高一上·福建南平·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若为上的增函数，则a的值可以为1 C．当时，函数的单调递增区间为和 D．若的值域为，则a的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A：根据分段函数的解析式，代入值，可得答案；对于B：根据一次函数以及二次函数单调性，结合分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案；对于C：根据复合函数的单调性分析判断；对于D：根据分段函数的值域与一次函数的单调性，结合二次函数的单调性分情况求得指定区间上的最值，可得答案. 【详解】因为函数， 对于选项A：可得，则，解得，故A正确； 对于选项B：若在上单调递增，则，解得， 显然，故B错误； 对于选项C：若，则函数， 当时，令，解得，且在内单调递增； 当时，则，且在内单调递增； 则函数的定义域为，且在定义域内单调递增， 所以函数的单调递增区间为和，故C正确； 对于选项D：若的值域为，则，得在上单调递增． 当时，则在上单调递增， 可得，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，可得恒成立，符合题意； 综上所述：的取值范围为，D正确． 故选：ACD. 11．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】去绝对值找到分界点，与3比较可求解. 【详解】因为， 所以，所以的单调递减区间为， 又在上单调递减，所以，所以， 解得. 12．（25-26高一上·山东德州·期末）定义，函数，若在区间上的值域为，则的最大值为__________ 【答案】 【分析】根据已知得，画出函数图象，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【详解】当时，解得或， 当或时，， 当时，， 即，作出的图象如图所示： 当时，，令，解得，令，无解， 当时，，令，解得，令，解得， 当时，，令，解得，令，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 因为，所以的最大值为. 13．（25-26高三上·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分，，，三种情况，分别求出每段的值域即可求最值. 【详解】解：①若.当时，； 当时，. 依题意需，解得（舍去）. ②若.当时，； 当时， 此时，则. ③若.当时，；当时，. 则需，解得. 当时，，当时，，则有最小值1. 综上，或. 故答案为：. 14．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设，，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数t的取值范围； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）作出函数的图象，即可根据图象求解， （2）只需根据在上的值域为的子集即可，求解的范围即可. 【详解】（1），， ，， 即， 作图可知， 函数的最大值为，值域为； （2）由题意，只需在上的值域为的子集即可， 因为，所以， 对称轴为，由得， ①当，即时，， 所以，解得，故； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时最小值为，最大值为， 所以，解得，所以； 综上，所求的范围为. 15．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)，， (2)， (3)或， 【分析】（1）分段考虑，结合二次函数以及一次函数的单调性即可求解， （2）根据自变量的取值，代入即可求解， （3）分情况考虑，解不等式即可得解. 【详解】（1）当时，，此时在单调递增， 当时，在 单调递增， 故的单调递增区间为，， （2）由于，故, 由于，故， （3）当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，也符合，故， 综上可得当时，求x的取值范围为或， 16．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解； （2）利用单调性来判断大小即可； （3）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解.. 【详解】（1）任取 ，且 ， 则 因为 ，所以 ，，，因此 ， 即分子分母都为正，故 ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2）因为，且函数在区间上是增函数， 所以； （3）因为 定义域为，且在 上是增函数， 所以由不等式可得： ，解得， 即 或 ， 故实数 的范围为：. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 单调性与最大(小)值 第一部分：知识清单 知识点一：函数的单调性 1、增函数与减函数 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 4、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点二：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点三：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 知识点四：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 第二部分：典型例题汇总 典例一 利用定义法判断或证明函数的单调性 典例二 求函数的单调区间 典例三 根据图像判断函数单调性 典例四 复合函数的单调性 典例五 利用函数的单调性比较大小 典例六 利用函数的单调性解不等式 典例七 利用函数的单调性求参数的取值范围 典例八 利用函数单调性求最值或值域 典例九 根据函数的最值求参数 典例十 函数不等式恒成立问题 典例十一 函数不等式能成立(有解)问题 典例十二 解分段函数不等式 典例十三 分段函数的值域或最值 典例十四 根据分段函数的值域(最值)求参数 第三部分：典型例题 典例一 利用定义法判断或证明函数的单调性 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）函数在区间上为______（填“严格增函数”或“严格减函数”） 2．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知函数. (1)解不等式； (2)判断该函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论. 3．（2026高三上·广东·学业考试）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． 4．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，且. (1)求解析式； (2)证明：函数在区间单调递增. 典例二 求函数的单调区间 5．（25-26高一上·全国·专题训练）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调减区间_______. 6．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为______． 7．（25-26高一上·浙江·期中）函数的单调递增区间是_________． 8．（25-26高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为______. 典例三 根据图像判断函数单调性 9．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 10．（25-26高一上·全国·专题训练）函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调递增区间分别是（    ）    A．定义域为；单调递增区间为 B．定义域为；单调递增区间为， C．定义域为；单调递增区间为 D．定义域为；单调递增区间为 11．（25-26高一上·陕西延安·期中）（多选）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上有最大值3，有最小值 D．在区间上的最大值为3，最小值为 12．（25-26高一上·上海·课堂例题）下图是定义在闭区间上的函数的图像，根据图像写出的单调区间，以及在每个单调区间上，是增函数还是减函数． 典例四 复合函数的单调性 13．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·青海西宁·期中）函数的单调递减区间为__________. 15．（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 16．（25-26高三上·河北雄安·期中）已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 典例五 利用函数的单调性比较大小 17．（2026高一上·全国·专题练习）已知在上是减函数，，且，则有（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为_____． 19．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 典例六 利用函数的单调性解不等式 21．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 22．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为R上的减函数，若，则______；若，则实数x的取值范围是______． 23．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 24．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 典例七 利用函数的单调性求参数的取值范围 25．（25-26高一上·贵州安顺·阶段检测）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数满足在区间内任意实数，都有，则的取值范围为___________． 27．（2026高一·湖南·专题练习）已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为_______. 28．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高一上·江苏常州·期中）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 30．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数一定不可能为（    ） A． B． C．3 D．2 典例八 利用函数单调性求最值或值域 31．（26-27高三上·上海·开学考试）函数的值域为__________． 32．（2026高一·全国·专题练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 33．（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 34．（25-26高一上·重庆·期末）定义：表示不超过的最大整数，如，则函数的值域为________. 典例九 根据函数的最值求参数 35．（2026高二下·全国·竞赛）已知函数 若在上存在最小值，求实数的取值范围. 36．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 37．（25-26高一上·安徽亳州·阶段检测）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 38．（25-26高一上·北京·期中）已知函数． (1)若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； (2)若函数在上的最大值为1，求实数的值． 典例十 函数不等式恒成立问题 39．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高三·全国·一轮复习）设，恒成立，求实数m的取值范围. 41．（25-26高一上·上海·期末）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________ 42．（25-26高二下·河北保定·期末）已知二次函数满足，且的最小值为5. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 典例十一 函数不等式能成立(有解)问题 43．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 44．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为______. 45．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数. (1)判断在上的单调性，并求其在上的最大值与最小值； (2)若对任意的，总存在，满足，求的取值范围. 46．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知关于的不等式的解集为， (1)若，解这个关于的不等式； (2)设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)，使关于的不等式成立，求实数的取值范围. 典例十二 解分段函数不等式 47．（2026·江西·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 48．（2026·山东潍坊·三模）设函数则不等式的解集为________. 49．（25-26高三上·上海宝山·阶段检测）已知，不等式在上恒成立，则的取值范围是___________. 50．（25-26高一上·广东深圳·期中）设函数. （1）画出函数的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间； （2）解不等式. 典例十三 分段函数的值域或最值 51．（25-26高一上·全国·专题训练）对任意，使不等式恒成立的的取值范围是________________ 52．（25-26高一上·江西赣州·期中），定义：．记，若，，则函数的最大值为___________． 53．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 54．（25-26高一上·山东·期中）已知函数有最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 典例十四 根据分段函数的值域(最值)求参数 55．（25-26高一上·福建福州·期中）已知函数，若在上的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 56．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若的最小值为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 57．（25-26高一上·江西赣州·期中）已知函数若存在实数，使，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 58．（25-26高一上·江苏苏州·期中）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是_____． 第四部分：课后检测 1．（25-26高一上·山西朔州·阶段检测）函数在（    ） A．上是增函数 B．上是减函数 C．和上是增函数 D．和上是减函数 2．（25-26高一上·江西·期中）函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一上·河南安阳·专题练习）已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·浙江绍兴·阶段检测）若函数是一个单调递减函数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 9．（25-26高一上·全国·专题训练）（多选）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·福建南平·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若为上的增函数，则a的值可以为1 C．当时，函数的单调递增区间为和 D．若的值域为，则a的取值范围为 11．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是__________． 12．（25-26高一上·山东德州·期末）定义，函数，若在区间上的值域为，则的最大值为__________ 13．（25-26高三上·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________. 14．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设，，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数t的取值范围； 15．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 16．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $