3.1.2 函数的表示法 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 3.1.2 函数的表示法 知识归纳与题型总结 考点01 函数的表示法 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 3．函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 考向01 已知函数类型求解析式 【例1】（多选）已知函数为一次函数，满足 ，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 考向02 已知f(g(x))求解析式 【例2】已知函数，则（     ） A． B． C． D． 考向03 解析法表示函数 【例3】设计一幅宣传画，要求画面面积为，画面的上、下各留空白，左、右各留空白.设画面的高为，宽为，宣传画所用纸张面积为. (1)写出宣传画所用纸张面积关于的表达式，并写出的取值范围； (2)画面的高与宽之比为多少时，宣传画所用纸张面积最小，并求出的最小值. 考向04 图象法表示函数 【例4】（多选）已知函数的定义域为，值域为，则的图象可能为（     ） A． B． C． D． 考向05 列表法表示函数 【例5】已知函数，分别由下表给出：满足的所有的值的和为_______． x 0 1 2 0 2 1 x 0 1 2 2 1 0 考向06 根据函数图象选择解析式 【例6】根据如图所示的函数的图象，写出函数的解析式． 【对点1】二次函数满足，且，求的解析式； 【对点2】已知函数满足 则的解析式为________. 【对点3】函数的三种表示方法 (1)解析法:把______和表示______的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式(也叫解析表达式或函数关系式)，解析法就是用解析式来表示函数的方法. (2)列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系. (3)图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 【对点4】函数的图象如图所示，那么的定义域是_________；值域是_________；其中只与的一个值对应的值的范围是_________． 【对点5】已知函数的对应值如表所示，则等于___________. x 0 1 2 3 4 5 3 6 5 4 2 7 【对点6】已知函数的图象如图所示，则的函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 考点02 分段函数 1．分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况. 2．分段函数问题 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 考向01 求分段函数解析式或求函数的值 【例1】已知函数 (1)计算的值； (2)在直角坐标系中，画出函数的图象 (3)若，求实数的值； (4)若直线与函数的图象有3个公共点，直接写出的范围． 考向02 分段函数的定义域 【例2】下列关于分段函数的说法正确的是（    ） A．分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数 B．若则 C．是分段函数 D．分段函数的定义域都是 考向03 分段函数的性质及应用 【例3】已知 (1)求； (2)若，求a的值； (3)若其图像与y=b有三个交点，求b的取值范围. 考向04 已知分段函数的值求参数或自变量 【例4】已知函数. (1)求，； (2)若，求m的值； (3)作出函数的图象． 考向05 根据分段函数的值域（最值）求参数 【例5】已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考向06 求分段函数值 【例6】已知函数 (1)画出函数的图象； (2)求的值； 【对点1】已知函数 ，则f(4)的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【对点2】已知函数，则函数的定义域为_________、值域为_________． 【对点3】定义符号函数，设函数，其中.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【对点4】已知函数 (1)求 的值； (2)若 ，求实数 的值. 【对点5】已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 【对点6】已知函数 ，则的值为__________． 一、单选题 1．已知函数，则（     ）． A． B．9 C． D．11 2．已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 3．设集合，，函数已知，且，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，则实数（     ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（     ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 6．已知函数的定义域为，则“，是“，”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数由下表给出： 0 1 2 3 4 其中（）等于，，，，中出现的次数，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（多选）给出以下四个判断，其中正确的是（  ） A．函数（）的值域为 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若函数，且，则实数的值为 D．函数定义域，值域，则满足条件的有个 9．（多选）下列说法正确的是（     ） A．函数与是相同的函数 B．若，则 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．已知函数的值域为，则函数的值域为 10．（多选）我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，判断下列说法正确的是（     ） A．若点为“靓点”，则点也为“靓点” B．若点为“靓点”，则的最小值为 C．当时，关于x的函数（k，m为常数，且k不为）的图象上总存在两个不同的“靓点” D．已知关于x的二次函数（a为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，且满足，则a的值为 三、填空题 11．已知表示不超过的最大整数，例如，，则关于x的方程的解集为______. 12．已知函数满足 ，对于正数满足 ，则的最小值为___________． 13．函数，则的解集为_____． 14．对于任意实数，表示不超过的最大整数，如，，若，则中所有元素之和为________． 15．已知二次函数、的二次项系数均为，且满足，则的值为_____． 四、解答题 16．（1）已知，求的解析式． （2）已知为二次函数，且，求． （3）函数满足方程，且，求． 17．（1）已知是二次函数，且满足，，求的解析式； （2）已知函数满足：对任意非零实数x，都有，求的解析式． 18．设函数，满足，且有唯一解 (1)求的解析式； (2)求的解集 (3)求的解集. 19．给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. (1)求函数的不动点； (2)若函数恰有两个不相等且均大于1的不动点、，求的取值范围； (3)设，，且恰好有两个不相等的稳定点、，求实数的取值范围. 20．已知函数，，其中. (1)证明：； (2)若函数的最大值为，求的值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 3.1.2 函数的表示法 知识归纳与题型总结 考点01 函数的表示法 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 3．函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 考向01 已知函数类型求解析式 【例1】（多选）已知函数为一次函数，满足 ，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设（），则 由，比较系数得, 由得或, 当时，，解得，所以； 当时，，解得，所以. 对照选项，B、D均满足题意. 考向02 已知f(g(x))求解析式 【例2】已知函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，可得，即. 考向03 解析法表示函数 【例3】设计一幅宣传画，要求画面面积为，画面的上、下各留空白，左、右各留空白.设画面的高为，宽为，宣传画所用纸张面积为. (1)写出宣传画所用纸张面积关于的表达式，并写出的取值范围； (2)画面的高与宽之比为多少时，宣传画所用纸张面积最小，并求出的最小值. 【答案】(1)； (2)画面的高与宽之比为时，宣传画所用纸张面积最小，最小值为. 【详解】（1）由题意知，则 所用纸张面积关于的表达式为：. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 即画面的高与宽之比为时，宣传画所用纸张面积最小，最小值为. 考向04 图象法表示函数 【例4】（多选）已知函数的定义域为，值域为，则的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，从图象看，函数定义域挖掉的点不仅仅只有，从而A错误； 对于B，由图象知其定义域为，值域为，符合题意，从而B正确； 对于C，由图可知，从而定义域为，值域为，符合题意，从而C正确； 对于D，由图，当时，对应有两个值，故该图不是一个函数的图象，从而D错误. 考向05 列表法表示函数 【例5】已知函数，分别由下表给出：满足的所有的值的和为_______． x 0 1 2 0 2 1 x 0 1 2 2 1 0 【答案】 【分析】利用列表法求得正确答案. 【详解】依题意， x 0 1 2 2 0 1 1 2 0 满足的所有的值为， 所以和为. 考向06 根据函数图象选择解析式 【例6】根据如图所示的函数的图象，写出函数的解析式． 【答案】. 【详解】当时，函数的图象是一条线段， 故可设， 将点代入，解得, 故; 当时，函数的图象是一条平行于轴的线段， 即； 当时，同理可得. 综上可知，. 【对点1】二次函数满足，且，求的解析式； 【答案】 【分析】利用待定系数法，先设出二次函数的一般式，联立方程组利用恒等式即可求解. 【详解】设二次函数解析式为且，因为，所以， 因为，所以， 整理得，所以，解得， 所以. 【对点2】已知函数满足 则的解析式为________. 【答案】 【分析】利用换元法，令，，求解出 ，再将替换为，得. 【详解】 令，，解得， 将代入已知等式，可得 ， 所以 ，将替换为，得，. 【对点3】函数的三种表示方法 (1)解析法:把______和表示______的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式(也叫解析表达式或函数关系式)，解析法就是用解析式来表示函数的方法. (2)列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系. (3)图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 【答案】 自变量 函数值 【详解】略 【对点4】函数的图象如图所示，那么的定义域是_________；值域是_________；其中只与的一个值对应的值的范围是_________． 【答案】 【分析】根据函数图象得出函数定义域及值域即可求解. 【详解】观察函数的图象可知，函数的定义域为， 值域为，只与的一个值对应的值的范围是. 【对点5】已知函数的对应值如表所示，则等于___________. x 0 1 2 3 4 5 3 6 5 4 2 7 【答案】7 【详解】由表可知，． 【对点6】已知函数的图象如图所示，则的函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域可以排除CD，利用特殊点的函数值排除A，可确定正确选项. 【详解】由图可知，函数的定义域为， C项的定义域为，不合题意； D项的定义域为，不合题意； 对A选项，因为，不符合函数图象. 故选：B 考点02 分段函数 1．分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况. 2．分段函数问题 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 考向01 求分段函数解析式或求函数的值 【例1】已知函数 (1)计算的值； (2)在直角坐标系中，画出函数的图象 (3)若，求实数的值； (4)若直线与函数的图象有3个公共点，直接写出的范围． 【答案】(1)3 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）嵌套分段函数求值，由内向外逐层代入，每一步都根据自变量范围匹配对应解析式；（2）画分段函数图象需分段处理，二次函数配方定顶点，一次函数定斜率，注意分段点的实心与空心；（3）已知函数值求自变量，按分段定义域分类解方程，解出后必须验证是否符合对应区间；（4）分析直线与分段函数交点个数，结合图象值域与走势，判断参数临界位置与区间. 【详解】（1）因为，所以， 因此. （2）当时，是开口向上的抛物线，顶点为，过、，保留左侧（含）部分，为实心点， 当时，是斜率为的射线，过（空心点，不含端点），向右下方延伸. （3）因为， 当时，，即，解得，满足； 当时，，解得，满足； 综上，实数的值为或. （4）结合图象走势分析： 抛物线段（）值域为，射线段（）值域为， 当时，抛物线对应2个交点、射线对应1个交点，总计3个公共点， 因此直线与函数的图象有3个公共点时，的取值范围是. 考向02 分段函数的定义域 【例2】下列关于分段函数的说法正确的是（    ） A．分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数 B．若则 C．是分段函数 D．分段函数的定义域都是 【答案】C 【分析】根据分段函数的定义、性质，结合代入法进行判断即可. 【详解】对于A，分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，但这几段组合在一起是一个函数，故A错误； 对于B，由函数的解析式可知，故B错误； 对于C，是一个分段函数，故C正确； 对于D，分段函数的定义域不都是，如，故D错误． 考向03 分段函数的性质及应用 【例3】已知 (1)求； (2)若，求a的值； (3)若其图像与y=b有三个交点，求b的取值范围. 【答案】(1)3 (2)12 (3) 【分析】（1）根据分段函数解析式直接求解； （2）根据函数解析式，分段讨论，解方程即可； （3）作出函数图象，数形结合即可. 【详解】（1） ， ∴ （2）当时，， 当时，，该方程实数范围内无解 综上， （3）作出 的图象，如图， 由图象可知，当时，与有三个交点. 考向04 已知分段函数的值求参数或自变量 【例4】已知函数. (1)求，； (2)若，求m的值； (3)作出函数的图象． 【答案】(1)， (2)或或 (3)当时：函数图象是反比例函数​在第三象限的分支； 当时：函数图象是一次函数的一段，是一段线段； 当时：函数图象是一次函数的一部分，是一条射线. 作出函数图象如下： 【分析】（1）直接根据分段函数解析式求函数值可得； （2）直接分三种情况：，，，再由函数值计算的值； （3）分别作出三段函数图象可得. 【详解】（1）因为函数， 所以，，， 因此，. （2）因为，分三种情况： ①若：则，解得，满足，是有效解； ②若：则，解得，满足，是有效解； ③若：令，解得，满足，是有效解. 因此或或. （3）略 考向05 根据分段函数的值域（最值）求参数 【例5】已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 考向06 求分段函数值 【例6】已知函数 (1)画出函数的图象； (2)求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解析式分段描点连线即可； （2）先计算，再计算即可. 【详解】（1）根据解析式作图如下： （2）. 【对点1】已知函数 ，则f(4)的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为 ，所以应代入第二段的关系式 ，得 . 因为 ，所以应代入第一段的解析式 ，得 . 由 即得 . 【对点2】已知函数，则函数的定义域为_________、值域为_________． 【答案】 【详解】作出分段函数的图象，由图象判断函数的定义域、值域． 作出图象如图所示． 利用数形结合易知的定义域为，值域为． 【对点3】定义符号函数，设函数，其中.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对不等式分类讨论，即，分别求出，然后由解不等式即可. 【详解】①当时，； ②当时，； ③当时，； 综上所述，，其图象如图所示： 结合图象，由可得， 当时，可得，解得； 当时，，不满足题意； 当时，可得，解得； 综上可知实数的取值范围是. 【对点4】已知函数 (1)求 的值； (2)若 ，求实数 的值. 【答案】(1)，. (2)或. 【分析】（1）直接由函数解析式求得 的值. （2）分别在、和三种情况下，求解，即可得实数 的值. 【详解】（1）， ， 所以. （2）当时，，所以（舍去）； 当时，，所以， 即，解得或.所以. 当时，，解得. 综上所述，或. 【对点5】已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】作出的图象，结合图象求得答案. 【详解】因为，作出其图象如图， 由在上的值域为，结合图象得. 故答案为：. 【对点6】已知函数 ，则的值为__________． 【答案】1 【详解】由题意知，，则. 一、单选题 1．已知函数，则（     ）． A． B．9 C． D．11 【答案】D 【分析】利用完全平方公式对右侧表达式变形，凑出的整体形式，换元得到，再代入得． 【详解】因为， 则， 所以． 2．已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两函数的关系化简分段函数式，求出的解析式，代入目标不等式，求解即得. 【详解】因，， 当时，； 当时，， 即当时，都有， 则等价于，解得. 所以不等式的解集为. 3．设集合，，函数已知，且，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据的所属区间，确定内层的表达式与取值范围，判断所属的集合；再根据的所属区间，确定外层的表达式；结合的条件列不等式，求解后结合的初始范围，得到最终取值范围. 【详解】已知，，由，两边同时加得，即，因此. 因为，，将代入，展开得， 由，得不等式，解得，又，所以. 4．已知函数，若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义域对的取值范围分类讨论，同时验证解是否符合对应区间的取值要求. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 所以或. 5．下列说法正确的是（     ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】D 【详解】选项A：函数，则，解得且，所以函数的定义域是，故A错误. 选项B：函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数，故B错误. 选项C：函数，因为，所以，解得，所以函数的值域为，故C错误. 选项D：由题意可知，定义在上的函数满足①， 用替换得，②， 对于①两边分别乘以2得③， 然后②+③得，所以，故D正确. 6．已知函数的定义域为，则“，是“，”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先看必要性：若对任意有，反复迭代递推可推出；再举反例证明充分性不成立，由此判断条件关系. 【详解】设命题：，；命题：，. 若，，将式子中替换为，得； 同理：、、、. 由不等号的传递性，全部连起来： ，得到，即. 设，；对任意实数，. 每个区间内是一条下降直线；向右每平移2026个单位的线段，整体向上抬高1. ：由递推式得，满足，； ：取，，存在使得，不满足，. 满足前者不能推出后者，充分性不成立；而后者可推出前者，故前者是后者的必要不充分条件. 综上：是的必要不充分条件. 7．已知函数由下表给出： 0 1 2 3 4 其中（）等于，，，，中出现的次数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】假设k＝4出现次数大于等于1次，即的值大于等于1，推出矛盾，由此得＜1，＝0，同理可得，由此可得，从而讨论可得，于是可以得到,∈{1，2}，分类讨论即可得出答案. 【详解】等于在“”中所出现的次数，则， 若在“”中出现次数超过次，不妨设出现次，则. 设，则在“”这个数中出现次，矛盾， 同理在“”中出现过、、次也不可能， 即不可能出现， . 同理，若出现次数超过次，不妨设出现次，即， 设，则在“”这个数中出现次，矛盾， 故不可能出现， . ， 在“ ”中至少出现了次， . 若或，即或出现了次，则或不为，矛盾， . ， ， “”仅有下列四种可能: ① ， ② ， ③ ， ④ ， 其中:① 中，出现次与矛盾，不可能; ② 满足题意; ③出现次与矛盾; ④ 中，出现次与矛盾; 故仅有“ ”满足题意， 故 . 二、多选题 8．（多选）给出以下四个判断，其中正确的是（  ） A．函数（）的值域为 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若函数，且，则实数的值为 D．函数定义域，值域，则满足条件的有个 【答案】ABD 【分析】A选项用分离常数法求值域；B选项由定义域推定义域，再结合根号与分式条件；C选项用配凑法求解析式，解方程得两解；D选项由值域反推定义域元素，列举子集. 【详解】A选项： 因为，则，于是 即A选项正确； B选项：的定义域为，即， 则即的定义域为， 要使有意义，需 解得：故定义域为，B选项正确； C选项： 令，则， 由，得： 故的值应为，不只是，C选项错误； D选项：，值域为，则定义域中的元素必须满足 故定义域可以是共个，D选项正确. 9．（多选）下列说法正确的是（     ） A．函数与是相同的函数 B．若，则 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．已知函数的值域为，则函数的值域为 【答案】BC 【详解】 选项A：要使有意义，则，所以的定义域为； 要使有意义，则，所以的定义域为， 二者定义域不同，不是相同函数，A错误; 选项B：令，则，代入得，即，B正确; 选项C：定义域为即，则，故的定义域为，C正确; 选项D：与对应法则完全一致，仅自变量表达形式不同，故二者值域相同，的值域仍为，D错误 10．（多选）我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，判断下列说法正确的是（     ） A．若点为“靓点”，则点也为“靓点” B．若点为“靓点”，则的最小值为 C．当时，关于x的函数（k，m为常数，且k不为）的图象上总存在两个不同的“靓点” D．已知关于x的二次函数（a为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，且满足，则a的值为 【答案】ACD 【分析】将代入靓点变形式，判断选项A；由于缺少正数限制，可取负数，此时无最小值，从而判断选项B；联立直线与靓点方程，证明判别式恒大于0，总有两个不同实根对应靓点，从而判断选项C；联立抛物线与靓点方程，因式分解结合韦达定理与平方和条件求a并检验根的个数，判断选项D． 【详解】由“靓点”定义，等价于，是中心在的等轴双曲线， 若点是“靓点”，则，代入点， ，满足靓点定义， 因此Q也是靓点，A正确； 由基本不等式，若，则 ，最小值为4， 当时，可以趋向负无穷，无最小值，故B错误； 联立与得，， ， 视为关于的二次函数，则其判别式， 故对任意恒成立，方程总有2个不同实根，且代入方程得， 两根均不为1，对应两个不同靓点，故C正确； 靓点满足，联立二次函数，整理得 ， 因式分解得，即一个根为，另外两根为二次方程的根， 由条件，结合点代入两边抵消，得， 由韦达定理， 则， ， 故， 化简得，有三个不同交点， 故，解得或， 故（舍去），，故D正确． 三、填空题 11．已知表示不超过的最大整数，例如，，则关于x的方程的解集为______. 【答案】 【详解】由得，即， 则或，得或， 故关于x的方程的解集为 12．已知函数满足 ，对于正数满足 ，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】将替换为后联立求出，再由乘积条件确定两个因子的正性，平移变量后利用基本不等式求最小值，并核对取等条件． 【详解】将替换为，得，与原式联立，消去得，故． 于是，，由，得，即． 由于，两因子同号． 若两因子均为负，则由知且，从而，与其等于矛盾． 所以，． 令，，则，且，，所以． 由基本不等式，，故． 当且仅当时等号成立，结合及，解得，，即，，此时满足原乘积条件． 因此的最小值为． 13．函数，则的解集为_____． 【答案】 【分析】分、两类，代入对应分段表达式写出、，分别解不等式，再合并解集. 【详解】当时，， ，， 所以，解得. 又，所以. 当时，， ，， 所以，解得. 又，所以. 综上所述，解集为. 14．对于任意实数，表示不超过的最大整数，如，，若，则中所有元素之和为________． 【答案】 【分析】由题意可得当时，.再根据或分段，得断点，再分段计算的值并求和可得. 【详解】对任意实数，表示不超过的最大整数，当时，. 函数，它的分段断点发生在：或或. 区间内，断点：. 在每两个相邻断点之间，和都是常数，所以是常数. 按的区间分段讨论的取值： 1.当​时：，，得，，； 2.当​时：，，得，，； 3.当时：，，得，或，或； 4.当​时：，，得，，； 5.当时：，，得，，； 6.当​时：，，得，，； 7.当时：，，得，，； 8.当时：，，得，，； 9.当时：，，得，，； 10. 当时：，，得，，； 11. 当时：，，得，，； 12.当时：，，得，，. 所以的取值为， 的所有元素的和为：. 15．已知二次函数、的二次项系数均为，且满足，则的值为_____． 【答案】 【分析】由得，设，即，进而求解. 【详解】由得：， 所以， 设，则为二次函数，其首项系数为，且和为的两根， 所以， 所以， 所以. 四、解答题 16．（1）已知，求的解析式． （2）已知为二次函数，且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）换元法，设，反解x代入原式，注意新变量取值范围； （2）待定系数法，设二次函数一般式，代入相加后比较等式两边同类项系数求解参数； （3）构造方程组，将x替换为得到第二个方程，联立消元解出． 【详解】（1）令，则， ，故． （2）设二次函数，则， ， ， 故，解得，故． （3），解得，故． 17．（1）已知是二次函数，且满足，，求的解析式； （2）已知函数满足：对任意非零实数x，都有，求的解析式． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求解即得； （2）根据给定条件，利用方程法求解即得． 【详解】（1）由是二次函数，设，由，得， 由，得， 化简并整理得，因此，解得， 所以的解析式为． （2）由，得， 用替换，得， 由，得， 所以的解析式为，． 18．设函数，满足，且有唯一解 (1)求的解析式； (2)求的解集 (3)求的解集. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知得且，再结合有唯一解，列方程求参数值，即可得； （2）解分式不等式求解集； （3）公式法解绝对值不等式，再解分式不等式求解集. 【详解】（1）由题设，则且，故， 又，即， 所以或，而有唯一解，只需， 所以，故，显然，则； （2）由题设知，则或，解集为； （3）由题设，则或， 所以或，可得或， 所以不等式的解集为. 19．给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. (1)求函数的不动点； (2)若函数恰有两个不相等且均大于1的不动点、，求的取值范围； (3)设，，且恰好有两个不相等的稳定点、，求实数的取值范围. 【答案】(1)和3 (2) (3) 【分析】（1）利用不动点的定义列方程，解方程即得答案； （2）利用不动点的定义把问题转化成方程有两个大于1的不相等的实数根、，进而得到，再整理得到，进而求解即可； （3）利用稳定点的定义把问题转化成方程有两个不同的根，分类讨论即得答案. 【详解】（1）令，得，整理得，解得或， 经检验知均满足要求，故函数的不动点为和3． （2）依题意，有两个大于1的不相等的实数根、， 即方程有两个大于1的不相等的实数根、， 所以，解得， 所以 ， 因为函数开口向上，对称轴为， 而，则， 所以的取值范围为． （3）令，得， 即，得， 所以有，此方程恰好有两个不同的实数解． ①当，即时，方程化为， 仅有一个实数解，不满足题意； ②当时，要么方程无实数解， 要么方程仅有一个实数解为1或者． 故或或， 解得或． 综上所述，实数的取值范围为． 20．已知函数，，其中. (1)证明：； (2)若函数的最大值为，求的值. 【答案】(1)证明：易知的定义域为， 要证明，只需证， 只需证， 只需证， 只需证，该式显然成立， 当且仅当时等号成立，故. (2)或 【分析】（1）按照分析法直接证明即可； （2）根据必要性探路大致确定，再去绝对值并根据最大值为，解方程即可求出的值. 【详解】（1）略 （2）易知， 令， 由题意可知的最大值为， 则，所以， 而，故，即， 从而， 因为，当且仅当时等号成立， 由（1）知，当且仅当时等号成立， 故的值域为，故的值域为， 令，则， 令，则， 当时，的值域为， 此时的最大值为，符合题意； 当时，的值域为， 此时的最大值为，符合题意； 故的值为或. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $