3.1.2函数的表示法【知识清单+10大题型】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“函数的表示法”核心知识点，系统梳理解析法、列表法、图象法三种表示方法及其优缺点，衔接求函数解析式的待定系数法、换元法等方法，延伸至分段函数概念及函数图象的平移、对称、翻折变换，构建完整学习支架。 资料通过对比表格明晰三种表示法联系与差异，分类典型例题覆盖各类解析式求解及分段函数应用，结合图象变换口诀培养几何直观，体现数学思维。课中辅助教师分层教学，课后检测助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达现实问题的能力。

3.1.2 函数的表示法 第一部分：知识清单 知识点1：函数的表示法 1.解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 知识点2：求函数解析式 1.待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2.换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3.配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4.方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 知识点3：分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集． 知识点4：函数的图象 1.函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2.函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 3.函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 第二部分：典型例题汇总 典例一 函数的表示方法 典例二 待定系数法求解析式 典例三 换元法求解析式 典例四 配凑法求解析式 典例五 方程组法求解析式 典例六 赋值法求抽象函数的解析式 典例七 求分段函数解析式或求函数的值 典例八 已知分段函数的值求参数 典例九 根据分段函数的值域(最值)求参数 典例十 画出具体函数图象 第三部分：典型例题 典例一 函数的表示方法 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数与分别由下表给出，则 =（　　） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，分别由下表给出， x 0 1 2 1 2 1 x 0 1 2 2 1 0 则_____________；满足的x的值是_____________． 3．（25-26高一上·北京·期末）已知函数可用列表法表示如下，则的值是______． 1 2 3 4．（25-26高一上·河北沧州·期中）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如下图所示，则（    ） 0 1 4 2 6 9 A．2 B．6 C．9 D．0 典例二 待定系数法求解析式 5．（25-26高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖北随州·阶段检测）已知是一次函数且，求的解析式． 7．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知二次函数满足，则函数的解析式为_____________ 8．（2026·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 典例三 换元法求解析式 9．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 10．（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·安徽滁州·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·江西宜春·期中）若函数，则（   ） A． B． C． D． 典例四 配凑法求解析式 13．（25-26高一上·河北保定·期中）已知，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）若，则（    ） A． B． C． D．11 15．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 16．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测），且，则实数的值为_________． 典例五 方程组法求解析式 17．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是______． 18．（25-26高一上·全国·专题训练）定义在上的函数满足，则___________． 19．（25-26高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则______. 20．（25-26高一上·河南·阶段检测）（多选）若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 典例六 赋值法求抽象函数的解析式 21．（25-26高一上·全国·专题训练）求所有的函数，使得对任意的实数，都有． 22．（25-26高一上·全国·专题训练）设是连续函数，且满足：，．求． 23．（2026·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 24．（2026高三上·上海·专题练习）已知定义在上的函数满足对任意，，有，，则__________. 典例七 求分段函数解析式或求函数的值 25．（2026高三·全国·专题练习）已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 26．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数，求； 27．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，则______. 28．（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数则的值为（   ） A． B． C． D． 典例八 已知分段函数的值求参数 29．（25-26高一上·湖南·期中）已知函数若，则的值为（    ） A．1 B．或2 C．1或2 D．2 30．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求实数的值． 31．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·四川·阶段检测）已知函数，若，则实数______. 典例九 根据分段函数的值域(最值)求参数 33．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 34．（25-26高一上·北京丰台·期中）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 35．（25-26高三上·湖北·期中）（多选）定义.若函数，在区间上的值域为，则的可能取值为（    ） A．1 B．2 C．6 D．5 36．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数在上无最大值，求实数的取值范围. 典例十 画出具体函数图象 37．（25-26高一上·全国·专题训练）作出函数的图象. 38．（25-26高一上·全国·课后作业）画出函数的图象． 39．（25-26高一上·上海·随堂练习）画出函数的大致图象． 40．（25-26高三上·河南南阳·阶段检测）作出下列函数的标准图象： (1)； (2)． 41．（25-26高一·全国·课堂例题）画出函数的图象． 42．（25-26高一·全国·课后作业）作出下列函数的图象： (1)； (2)； (3)，其中表示不大于x的最大整数． 第四部分：课后检测 1．（25-26高一上·天津南开·阶段检测）已知两个函数和的定义域和值域都是{1，2，3}，其定义如下表： 1 2 3 2 3 1 1 2 3 1 3 2 1 2 3 填写后面表格，其三个数依次为（    ） A．1，2，3 B．3，1，2 C．3，2，1 D．2，3，1 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知函数满足，则（    ）． A． B． C． D． 5．（25-26高一上·四川凉山·期末）设，若，则等于（   ） A． B． C．或 D． 6．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·上海·期末）若的最小值是3，则实数a的值为（    ） A．5或8 B．或5 C．或4 D．或8 9．（25-26高二下·吉林长春·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 10．（2026高三·全国·专题练习）（多选）（多选）已知函数，分别由下表给出： 则（   ） A．的值为 B．函数的值域为 C．方程的解集为 D．满足的的值是 11．（25-26高一上·全国·专题训练）（多选）下列可能是函数（其中的图象的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知函数则_______. 13．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数满足：，对任意非零实数，都有成立，且，则_____. 14．（25-26高一下·湖南长沙·期末），用表示、中的最小者，记为，，则当_________时，取到最大值． 15．（25-26高一上·广东揭阳·期中）(1)已知函数对任意的满足等式，求的解析式. （2）若函数，求的解析式. （3）已知函数满足，求的解析式. 16．（25-26高一上·四川自贡·期中）已知函数 (1)求，； (2)若，求实数的值； (3)在所给的坐标系中作出函数在区间内的图像． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 函数的表示法 第一部分：知识清单 知识点1：函数的表示法 1.解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 知识点2：求函数解析式 1.待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2.换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3.配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4.方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 知识点3：分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集． 知识点4：函数的图象 1.函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2.函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 3.函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 第二部分：典型例题汇总 典例一 函数的表示方法 典例二 待定系数法求解析式 典例三 换元法求解析式 典例四 配凑法求解析式 典例五 方程组法求解析式 典例六 赋值法求抽象函数的解析式 典例七 求分段函数解析式或求函数的值 典例八 已知分段函数的值求参数 典例九 根据分段函数的值域(最值)求参数 典例十 画出具体函数图象 第三部分：典型例题 典例一 函数的表示方法 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数与分别由下表给出，则 =（　　） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用函数中图表的对应关系，求出，则，再根据函数中图表的对应关系即可求出结果. 【详解】由题知，因此， 故选：B. 2．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，分别由下表给出， x 0 1 2 1 2 1 x 0 1 2 2 1 0 则_____________；满足的x的值是_____________． 【答案】 2 1 【分析】根据列表法给定的函数，x分别取0，1，2依次计算、即可作答. 【详解】依题意，； ，，，， ，，因此当且仅当时，成立， 所以满足的x的值是1. 故答案为：2；1 3．（25-26高一上·北京·期末）已知函数可用列表法表示如下，则的值是______． 1 2 3 【答案】3 【分析】根据表格由内向外求解即可． 【详解】根据表格可知， ∴． 故答案为：3． 4．（25-26高一上·河北沧州·期中）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如下图所示，则（    ） 0 1 4 2 6 9 A．2 B．6 C．9 D．0 【答案】C 【分析】根据函数图象求得，再根据对应关系表即可求解的值. 【详解】由图可知， 由表格可知． 故选： 典例二 待定系数法求解析式 5．（25-26高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 6．（25-26高一上·湖北随州·阶段检测）已知是一次函数且，求的解析式． 【答案】 【分析】由函数为一次函数可设，再结合条件列方程求，由此可得结论. 【详解】因为是一次函数， 可设， 因为， 所以， 即， 所以，解得， 所以的解析式是． 7．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知二次函数满足，则函数的解析式为_____________ 【答案】 【分析】设，待定系数法求解. 【详解】设， 因为 ， 所以，解得， 所以. 故答案为： 8．（2026·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法，设，根据题意运算求解即可. 【详解】设， 则， 因为，即， 则，解得，所以. 故选：C. 典例三 换元法求解析式 9．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 【答案】D 【详解】令,则, 已知, 所以, 所以. 10．（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用换元法求解即可. 【详解】令，则，所以， 则． 故选：A 11．（25-26高一上·安徽滁州·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元法求解出的解析式. 【详解】令，则，所以， 所以，所以， 故选：B. 12．（25-26高三上·江西宜春·期中）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据换元法，求函数解析式即可. 【详解】令，可得， 则，， 故选：D. 典例四 配凑法求解析式 13．（25-26高一上·河北保定·期中）已知，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配凑法，由求解. 【详解】因为，且， 所以． 故选：B． 14．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）若，则（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】利用换元法求得解析式为，即可求解. 【详解】由题意知，， 所以，则. 故选：A 15．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由利用配方法和换元法求函数解析式. 【详解】，且， 所以， 故选：B 16．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测），且，则实数的值为_________． 【答案】或 【分析】根据条件，利用配凑法求出的解析式，再代入，即可求解. 【详解】因为， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 当时，，当且仅当，即时取等号， 综上，或，又，所以，解得或， 故答案为：或. 典例五 方程组法求解析式 17．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是______． 【答案】 【分析】根据给定条件，用换建立方程组求解. 【详解】由，得， 联立两式消去，得，解得， 所以的解析式是. 故答案为： 18．（25-26高一上·全国·专题训练）定义在上的函数满足，则___________． 【答案】1344 【详解】解法1  在已知等式中，用替换x，并与已知等式联立得解得，则． 解法2  由题意可知，当时，①，当时，②，得，所以． 19．（25-26高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则______. 【答案】 【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可； 【详解】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： 20．（25-26高一上·河南·阶段检测）（多选）若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】运用解方程组求出解析式，再赋值计算即可. 【详解】令为代入计算，得到， 结合，两式联立解得. 对于A，令，则，则A正确； 对于B，令，则，则B正确； 对于C，令，则，令，则.，则C错误； 对于D，令，代入原已知式子，则，即，则D正确. 故选：ABD. 典例六 赋值法求抽象函数的解析式 21．（25-26高一上·全国·专题训练）求所有的函数，使得对任意的实数，都有． 【答案】（是常数） 【分析】通过特殊值法求出的值，再通过换元法将原式进行转化，然后根据转化后的式子得出为常数，进而求出函数的表达式，最后进行检验. 【详解】令，得，解得． 设，，那么， 代入得 则有． 若，则上式为． 即对任意非零实数，有， ∴当时，为常数， 可设，其中为常数，则； 当时，也适合上式； 综上所述，对任意，所求函数为，其中为常数， 验证：函数（是常数）满足， 且有 ； 故函数（是常数）即为所求函数． 故答案为：（是常数） 22．（25-26高一上·全国·专题训练）设是连续函数，且满足：，．求． 【答案】．其中，． 【分析】根据给定条件，设，利用赋值法变形可得，再换元利用柯西方程求得答案. 【详解】设， 由题设方程，取，可得． 又，由上式，用替换， 则． 令，代入上式得， 这正是柯西方程，因此，其中， 所以，其中，. 23．（2026·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】利用赋值法，先令求出，再令，结合方程组法可求解析式，则答案可得. 【详解】令可得，所以， 再令可得， 即①， 将上式中的全部换成可得②， 联立①②可得, 所以， 故选：D 24．（2026高三上·上海·专题练习）已知定义在上的函数满足对任意，，有，，则__________. 【答案】 【分析】根据所给关系式利用赋值法求出，推得和，联立计算即得. 【详解】因为， 令得，所以； 当时， 令得，则①， 又②， 用替换可得③， 由②③，可得， 将①式代入，可得， 又，两式相加，整理得， 显然当时也成立， 所以. 故答案为： 典例七 求分段函数解析式或求函数的值 25．（2026高三·全国·专题练习）已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】根据复合函数的定义写出解析式． 【详解】（1）当时，，故； （2）当时，，故． 26．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数，求； 【答案】. 【分析】根据分段函数的定义域和值域求解. 【详解】由题设知：时， 时， 时， 又因为， 所以. 27．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，则______. 【答案】/ 【分析】根据分段函数解析式，先求出，再求出，得解． 【详解】，则， 则， ，则， 则， 故答案为：. 28．（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的定义，先判断自变量所在的区间，再代入对应的表达式逐步计算. 【详解】因为，所以代入，得， 因为，所以代入，得， 将代入，得. 故选：C. 典例八 已知分段函数的值求参数 29．（25-26高一上·湖南·期中）已知函数若，则的值为（    ） A．1 B．或2 C．1或2 D．2 【答案】D 【分析】分，和三种情况求解即可. 【详解】当时，由，得，解得，不满足，舍去； 当时，由，得，解得或（舍去）； 当时，由，得，解得，不满足，舍去； 综上所述：的值为2. 故选：D 30．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据分段函数直接代入求值即可； （2）由，再分，代入解方程即可． 【详解】（1）因为， 所以，； （2）当时，，解得或（舍）， 当时，，解得， 综上所述，或． 31．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由换元法进行，将方程转换为，结合分段函数讨论分析求解即可. 【详解】令，由，得． 当时，恒成立，此时， 所以或解得； 当时，，则，解得，不满足题意舍去， 所以的取值范围为． 故选：A． 32．（25-26高一上·四川·阶段检测）已知函数，若，则实数______. 【答案】 【分析】根据函数可得，进而分类讨论可得. 【详解】依题意，且，所以. 当时，，无解； 当时，，解得. 故答案为： 典例九 根据分段函数的值域(最值)求参数 33．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意，函数最小值在上取得，所以需要分类求出最小值，并且不大于的下界值，即可解不等式得解. 【详解】如图，    当时，在上能取到最小值， 当时，在上能取到最小值， 当时，， 所以函数存在最小值时，需满足当时，，即； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 34．（25-26高一上·北京丰台·期中）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】作出的图象，结合图象求得答案. 【详解】因为，作出其图象如图， 由在上的值域为，结合图象得. 故答案为：. 35．（25-26高三上·湖北·期中）（多选）定义.若函数，在区间上的值域为，则的可能取值为（    ） A．1 B．2 C．6 D．5 【答案】BD 【分析】根据函数的解析式作出图象，结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的取值情况. 【详解】，图象开口向下，对称轴为. 当时，由或； 由时，由， 依题意：观察函数与函数的图象，谁的图象在上方就是函数的图象（包含边界）， 如图所示：， 当时，，符合题意， ，， 当，符合题意， 而，故选项BD正确. 故选：BD. 36．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数在上无最大值，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据在上无最大值，判断出时的值域，分类讨论，根据包含关系列不等式求解即可. 【详解】当时，，故. 由于在上无最大值， 所以时，的值域, 当时，. 注意到，对称轴为. 当时，如图（a）所示，的最大值为； 当时，如图（b）所示，的最大值为. 结合函数的大致图象可知或. 解得或，∴. 故实数的取值范围是. 典例十 画出具体函数图象 37．（25-26高一上·全国·专题训练）作出函数的图象. 【答案】图象见解析 【分析】先作的图象，保留轴上方的图象，把轴下方的图象对称翻到轴上方，再把它向上平移1个单位，即得到的图象. 【详解】先作函数的图象，保留轴上方的图象，把轴下方的图象对称翻到轴上方，再把它向上平移1个单位， 即得到的图象，如下图所示： 38．（25-26高一上·全国·课后作业）画出函数的图象． 【答案】答案见解析 【分析】画出函数的大致图象再应用上下平移左右平移即可. 【详解】因为，所以可先画出函数的大致图象（如图虚线所示），把所得图象向左平移1个单位长度，得到的图象，再把所得图象向上平移2个单位长度就得到函数的图象，如图实线所示．    39．（25-26高一上·上海·随堂练习）画出函数的大致图象． 【答案】 【分析】根据绝对值性质去绝对值，再根据二次函数图象画出图象即可. 【详解】由题意知， 结合二次函数性质，作出函数图象. 40．（25-26高三上·河南南阳·阶段检测）作出下列函数的标准图象： (1)； (2)． 【答案】(1) 由题意得，其图象可由的图象先向右平移1个单位， 再向上平移2个单位得到，即：    (2) 由题意得， 分段作出二次函数图象，则图象为： 【分析】（1）化简可得，根据函数图象的平移规律即可得其图象； （2）化简为，结合二次函数图象可作出其图象. 【详解】（1）略； （2）略. 41．（25-26高一·全国·课堂例题）画出函数的图象． 【答案】    【分析】分段去绝对值符号，再分段画出图象即可. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 分段画出的图象，如图，    42．（25-26高一·全国·课后作业）作出下列函数的图象： (1)； (2)； (3)，其中表示不大于x的最大整数． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析. 【分析】根据题意写出分段函数的解析式，然后作图即得. 【详解】（1）因为函数， 画出其图象如图所示： ； （2）函数的图象是两段抛物线与一个点，画出其图象如图所示． （3）由题可得，画出其图象如图所示： . 第四部分：课后检测 1．（25-26高一上·天津南开·阶段检测）已知两个函数和的定义域和值域都是{1，2，3}，其定义如下表： 1 2 3 2 3 1 1 2 3 1 3 2 1 2 3 填写后面表格，其三个数依次为（    ） A．1，2，3 B．3，1，2 C．3，2，1 D．2，3，1 【答案】C 【解析】根据表格给出的函数关系，先求出的值，然后再求出答案. 【详解】由题意有 所以，，. 故选：C 【点睛】本题考查函数的表示法中的图表法，考查求函数的值，属于基础题. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答. 【详解】设，由题设有， 解得，所以． 故选：B． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，令，则，因为，则， 则， 所以. 4．（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知函数满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以代x，利用解方程组法求解即可. 【详解】以代x，由①，得②， 则①②，得，则． 故选：A 5．（25-26高一上·四川凉山·期末）设，若，则等于（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】分、、三种情况解方程即可. 【详解】当时，由，解得（舍去）， 当时，由，可得，解得（舍去）或， 当时，由，可得（舍去）， 综上所述，. 故选：A. 6．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配方法，将化为，再结合换元法即可求得答案. 【详解】由题意知，即， 令，因为，故， 则可得， 故， 故选：A 7．（25-26高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解. 【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 8．（25-26高一上·上海·期末）若的最小值是3，则实数a的值为（    ） A．5或8 B．或5 C．或4 D．或8 【答案】D 【分析】分、、三种情况进行讨论即可得答案. 【详解】由题意，①当时，即，， 则当时，，解得或（舍）； ②当时，即，， 则当时，， 解得（舍）或； ③当时，即，，此时，不满足题意， 综上或， 故选：D. 9．（25-26高二下·吉林长春·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【分析】根据函数的概念和性质依次判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不表示同一函数，故A错误； 对于B，由，可得，所以函数的值域为，故B正确； 对于C，由，得，联立解得，故C正确； 对于D，由函数的定义域为，得，则，可得的定义域为，故D正确． 10．（2026高三·全国·专题练习）（多选）（多选）已知函数，分别由下表给出： 则（   ） A．的值为 B．函数的值域为 C．方程的解集为 D．满足的的值是 【答案】ACD 【分析】根据表格中的数据得到函数和，然后依次判断即可. 【详解】对于A，由表格可知，，，故A正确； 对于B，函数的定义域是． 则当时，； 当时，； 当时，． 所以函数的值域为，故B错误； 对于C，当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意， 综上，方程的解集为，故C正确； 对于D，，，，，，， ∴满足的值为，故D正确． 11．（25-26高一上·全国·专题训练）（多选）下列可能是函数（其中的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据各选项图象的对称性、定义域和截距等特征，分析参数的可能取值，判断是否存在满足条件的函数解析式. 【详解】A选项中的图象关于轴对称，是常函数但是不能是常函数，A选项错误； B选项中的图象关于原点对称，可得函数的定义域为，可得，，，函数满足题意，B选项正确； C选项中的图象，由定义域得，由图象在轴截距为正得，当时，符合条件，C选项正确； D选项中的图象，由定义域得，由图象在轴截距为零得，当时，符合条件，D选项正确； 故选：BCD． 12．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知函数则_______. 【答案】 【详解】 根据分段函数定义，, 因此. 13．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数满足：，对任意非零实数，都有成立，且，则_____. 【答案】 【分析】根据主条件，利用赋值法求解. 【详解】令，得， 由，得， 于是， ， ， 故答案为： 14．（25-26高一下·湖南长沙·期末），用表示、中的最小者，记为，，则当_________时，取到最大值． 【答案】 【分析】作出函数的图象，数形结合可得结果. 【详解】令，， 由得，整理可得，解得或， 作出函数、图象如下， 由图象可得， 作出函数的图象如下图所示： 由图象可知，当时，函数的最大值. 故答案为：. 15．（25-26高一上·广东揭阳·期中）(1)已知函数对任意的满足等式，求的解析式. （2）若函数，求的解析式. （3）已知函数满足，求的解析式. 【答案】（1）（2）；（3） 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用配凑法求出解析式. （3）根据给定条件，利用方程组法求出解析式. 【详解】（1）令，则。 代入已知等式可得， ， 所以. （2）依题意，，又的值域为， 所以. （3）由，得， 两式联立消去得，解得， 所以的解析式为. 16．（25-26高一上·四川自贡·期中）已知函数 (1)求，； (2)若，求实数的值； (3)在所给的坐标系中作出函数在区间内的图像． 【答案】(1)，； (2)2或0； (3) 【分析】（1）代入求值即可； （2）分与两种情况，列出方程，求出实数的值，去掉不合要求的解． （3）根据分段函数解析式即可作出函数图象. 【详解】（1）易知， （2）当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或（舍）， 综上可得或0； （3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示： 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $