3.3 幂函数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 3.3 幂函数 知识归纳与题型总结 考点01 幂函数的概念 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 考向01 判断函数是否是幂函数 【例1】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 考向02 求幂函数的值 【例2】已知幂函数 为偶函数，则_______ 【答案】 【详解】由题意可得，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意； 当时，为偶函数，符合题意， 所以. 考向03 求幂函数的解析式 【例3】已知是幂函数，则“”是“的图象经过点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，则的图象经过点成立。所以“”是“的图象经过点”的充分条件； 若幂函数的图象经过点，则也可以，所以“”不是“的图象经过点”的必要条件. 综上可得：“”是“的图象经过点”的充分不必要条件. 考向04 根据函数是幂函数求参数值 【例4】已知幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增，则等于（    ） A．1 B．1或3 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增， 则为奇数且，， 故或. 【对点1】下列函数，既是幂函数，又存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义和性质判断即可. 【详解】幂函数形式：，所以不是幂函数， 但没有零点，不符合题意， 既是幂函数，又存在零点． 故选：D. 【对点2】已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【详解】设幂函数，依题意，，解得，则，所以. 【对点3】已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义求解即可. 【详解】设幂函数，则，所以， 故. 【对点4】已知幂函数为偶函数，则__________． 【答案】 【分析】结合幂函数与偶函数的定义求解即可. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或. 当时，，是奇函数，不符合题意； 当时，，是偶函数，符合题意. 综上，. 考点02 幂函数的图象与性质 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y=x0=1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 考向01 求幂函数的定义域 【例1】已知幂函数与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】幂函数要求前面系数为， 所以，解得：，， 当时：，函数图象过，和轴有交点，舍去， 当时：，，与轴没有交点，符合条件. 故. 考向02 求与幂函数有关的复合函数定义域 【例2】已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 考向03 求幂函数的值域 【例3】（多选）幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据奇函数的定义、幂函数的性质、幂函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：当时，，此时该函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故A正确； B：因为，所以的图象过定点，故B正确； C：当时，，此时该函数的定义域为， 因为该函数是定义域内的增函数， 所以有，因此的值域为，故C正确； D：当时，幂函数在上单调递减， 因为，所以，故D错误. 考向04 求与幂函数有关的复合函数值域 【例4】函数，的值域为__________. 【答案】 【分析】根据基本初等函数性质，判断函数单调性，判断函数值域. 【详解】可知和在上都单调递增， 则在上都单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为，则函数值域为. 故答案为：. 考向05 根据幂函数值域求参数或范围 【例5】若“，”是假命题，则a的最大值是________． 【答案】 【分析】根据存在量词命题的否定为真命题可得“”，再分离参数即可得到答案. 【详解】因为“”为假命题， 所以它的否定“”为真命题， 所以对恒成立， 当时，， 即，所以. 即实数的最大值为. 故答案为： 考向06 幂函数图象的判断及应用 【例6】幂函数，，，在第一象限内的图象依次对应图中的哪个曲线？ 【答案】，，，. 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，当时，图象在上递增， 且越大，图象递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图象在上递减， 当时，函数的函数值为， 函数的函数值为， 因为，所以是曲线，是曲线； 综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 考向07 幂函数图象过定点问题 【例7】若幂函数的图象经过点，则实数的值为___________． 【答案】/0.25 【分析】将已知点坐标代入幂函数解析式，即可求解参数. 【详解】由题意， 在中，图象经过点， ∴， 解得：. 考向08 判断一般幂函数的单调性 【例8】下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A.是奇函数，但该函数在定义域上不单调，排除. B.，定义域， ，是奇函数； 在上递增，故在上单调递减，符合题意； C.的定义域为，，即函数为奇函数， 又因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，排除. D.的定义域为，，故不是奇函数，排除. 考向09 判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【例9】函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得或，即函数的定义域为． 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以由复合函数单调性，可知函数的单调递减区间为． 考向10 判断五种常见幂函数的奇偶性 【例10】下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：，定义域为，关于原点对称， ，函数为奇函数， 该函数在，上单调递减，但在整个定义域内不单调递减，故A错误； 对于B：，定义域为，关于原点对称， ，函数为偶函数，故B错误； 对于C：，定义域为，关于原点对称， ，函数为偶函数，故C错误； 对于D：，定义域为，关于原点对称， ，函数为奇函数， 设， ， ，， 又， ，即， 在上单调递减，故D正确. 考向11 由幂函数的单调性解不等式 【例11】若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】构造幂函数，利用幂函数的单调性可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数，则由 ，可得，解得， 故实数的取值范围是. 由， 可得，解得， 故实数的取值范围是. 考向12 由幂函数的单调性比较大小 【例12】已知，且，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：当取，此时，但，故不成立，故A错误； 选项B：当取，此时，但，故不成立，故B错误； 选项C：当时，，不等式不成立，故C错误 选项D：因为函数在上是单调递增函数，因此当时，必有，该不等式恒成立，故D正确. 【对点1】若有意义，则实数x的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据偶次根式有意义的条件为被开方数必须非负. 【详解】要使有意义， 则需，即， 因此实数的取值范围是. 【对点2】已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【答案】 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故， 则， 故，解得或， 故的定义域为 故答案为： 【对点3】（多选）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】由题意，结合幂函数的概念，可求得，代入函数解析式，根据幂函数的图像性质，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以，故A正确； 对于B选项，当时，，其定义域为， 且满足，所以函数是偶函数，故B错误； 对于C选项，由可知，，， 所以，故C错误； 对于D选项，函数的值域为，故D正确. 【对点4】已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【答案】(1) (2)（i）2；（ii） 【分析】（1）由幂函数的定义可得，再利用在上单调递增，即可求解； （2）（i）根据（1）可知，将转化为有关的式子即可求解，方法二：求出代入即可求解；（ii）根据换元法可设，再根据函数的对称轴，可求出最小值.，方法二：因为在上单调递增，可求解. 【详解】（1）由已知，得或， 又因为在区间上单调递增，所以. （2）， （i）法一： 法二：可解得， 将即可求得. （ii）法一：， 令，， 对称轴，所以当时取到最小值2， 所以值域为. 方法二：因为在上单调递增. 所以，所以值域为. 【对点5】已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义及性质计算即可； （2）将问题化为的值域为函数的值域的子集，利用集合间的基本关系计算参数即可. 【详解】（1）由幂函数定义，知，解得或， 当时，的图象不关于轴对称，舍去， 当时，的图象关于轴对称，符合题意，因此． （2）由上易知， 由于对任意的，总存在，使成立， 设函数在上的值域为集合，函数在的值域为集合， 所以， 易知当时，的值域，则集合， 当时，的值域为，则集合， 又，得，解得. 【对点6】（多选）已知函数（为实数）的定义域为D，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的图象不经过第四象限 B．若为偶函数，则为偶数 C．若，则 D． 【答案】AC 【分析】利用幂函数的图象性质可判断A；当时，为偶函数，但是不为偶数，可判断B；利用基本不等式验证，判断C；当时，，可判断D. 【详解】对于A，利用幂函数的图象性质可知，的图象不经过第四象限，故A正确； 对于B，当时，为偶函数，但是不为偶数，故B错误； 对于C，，所以，， 由基本不等式可得，因为，所以等号不成立，故C正确； 对于D，当时，则，故D错误. 【对点7】函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 【对点8】（多选）已知f（x）=(m2-3m+3)xm是幂函数，下列说法正确的是（ ） A．m= -1或m= 2 B．若f(x)是偶函数，则f（x）在（0，+∞）单调递增 C．若f(x)是奇函数，则g（x）=f（x）·sinx是奇函数； D．若f(x)是偶函数，则g（x）=f（x）-2x有最小值-1. 【答案】BD 【详解】由是幂函数，得， 解得：或，故A选项错误； 若为偶函数，则，，在单调递增，故B选项正确； 若为奇函数，则，，， ，为偶函数，故C选项错误； 若为偶函数，则，， 当时，取得最小值，故D选项正确. 【对点9】函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 【对点10】如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】B 【分析】由函数图像特征确定幂函数解析式特点，据此可得答案. 【详解】由选项情况设幂函数. 对于①，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为奇函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于②，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为偶函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于③，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为非奇非偶函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况； 对于④，由图得该函数定义域为，在上单调递减，为奇函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况. 综上可得选：B. 【对点11】已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 【对点12】若，则它们的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造幂函数，利用函数的单调性，即可得到的大小关系. 【详解】由幂函数在上单调递增，且， 所以，即. 考点03 对勾函数的图象与性质 1．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为{x|x≠0}； (3)函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). (4)奇偶性：∵，∴函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-∞,-1)，(1,+∞)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减. 一、单选题 1．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质和函数的单调性判断即可. 【详解】易知当时，单调递增，当时，单调递减， 对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误. 2．若幂函数的图象经过点，则满足的的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为幂函数的图象经过点，所以， 令， 因为和在上均为增函数，所以为增函数， 又因为， 所以的解集为， 所以的最大值与最小值的差为4. 3．已知“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，则正实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质求得，由题意知是的真子集，列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得. 因为“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，且， 所以是的真子集，所以， 即正实数的取值范围是. 4．设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为幂函数，令，解得或， 时，的图象经过原点，符合题意，所以， 时，，图象不过原点，不合题意， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以. 5．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．1或3 【答案】B 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 当时，在上是增函数，不符合题意； 当时，，定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数，图象关于轴对称， 且在上是减函数，符合题意． 6．已知实数，为方程的两个根，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用三次函数图象的对称性，设换元构造奇函数，结合函数的单调性计算即可． 【详解】令，设，则方程化为． 函数为奇函数且单调递增，则为偶函数， 所以的两个根关于对称， 即，关于对称，故，即，A正确． 7．已知集合且，若M中任意元素均在曲线的下方，则符合条件的整数a的最大值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．2025 【答案】A 【分析】根据集合，用表示，并由M中任意元素均在曲线的下方，得到关于的不等式，分离参数，利用二次函数的值域求得的取值范围，从而得到符合条件的整数a的最大值. 【详解】因为，所以且， 所以， 所以. 所以. 由题意可知，即，化简得， 则恒成立，则. 故符合条件的整数的最大值是0. 二、多选题 8．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若命题：，，则：， B．“”是“”的充分必要条件 C．若函数在上不单调，则实数的取值范围是 D．若函数是幂函数，且是奇函数，则 【答案】ACD 【分析】借助命题的否定的定义、充要条件定义、二次函数单调性、幂函数及奇函数性质逐项判断即可得. 【详解】对A：若命题：，，则：，，故A正确； 对B：若，则，若，可取，不能得到， 故“”是“”的充分不必要条件，故B错误； 对C：若函数在上不单调， 则，解得，故C正确； 对D：若函数是幂函数，则， 即，解得或， 当时，，为偶函数，不符合题意，舍去； 当时，，为奇函数，符合题意； 综上可得：，则，，故D正确. 9．（多选）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对选项A：∵ ，∴ . 又∵，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，∴ ，故A正确. 对选项B： 由展开移项得 ， 当且仅当 时等号成立，故B正确. 对选项C：∵ ∴ . 又∵，∴ . ∴ ，即 ，故C错误. 对选项D：∵，∴ . 设 ，函数 在 上为单调递减函数， 又∵，∴ ，即 ，故D正确. 10．（多选）下列说法正确的有（   ） A．关于x的不等式的解集，则不等式的解集为 B．幂函数对于，都有，则 C．函数的单调递减区间是 D．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 【答案】ABD 【分析】逐一验证每个选项的条件，利用一元二次不等式解集与系数的关系、幂函数定义与奇偶性、复合函数单调性（定义域优先）、分段函数单调性（各段递增断点衔接）来判断对错. 【详解】选项A：已知不等式的解集为，可得：， 的两根为，， 由韦达定理：，， 代入 ，得：， 两边除以不等号反向：， 因式分解：，解得，选项A正确； 选项B：依据幂函数定义可知系数，解得或， 因为即为偶函数， 当时，指数，，是偶函数； 当时，指数，，是奇函数（舍去），选项B正确； 选项C：函数需先求定义域：或， 内层函数开口向上，对称轴为，在上单调递减； 外层函数是增函数， 根据“同增异减”，的递减区间为内层递减区间与定义域的交集：，选项C错误； 选项D：分段函数在上单调递增，需满足各段分别递增： 当时，一次函数斜率，当时，和均为增函数， 故该段自然递增， 在处，左值右值：，化简得：， 综合得：，选项D正确. 三、填空题 11．已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，进而根据“1”的妙用，及基本不等式即可求解． 【详解】由是幂函数，且在上单调递减， 则，即，解得， 则，即，又，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 12．已知幂函数 在上是单调递减函数，则不等式的解集为_________. 【答案】 【分析】根据幂函数定义可构造方程求得的值，结合单调性可确定的最终结果；根据奇偶性定义可得的奇偶性，结合定义域和单调性可得自变量大小关系，解不等式即可求得结果. 【详解】为幂函数，，解得：或； 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递增，不合题意； 综上所述：； 的定义域为，， 为定义在上的偶函数， 故，， 由且，， 解得：或， 的解集为. 13．已知幂函数在上是严格减函数，其中，则的值为_________；关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】①由幂函数的定义和单调性即可求解；②根据函数的单调性求出不等式的解集即可. 【详解】①因为幂函数在上是严格减函数， 所以，解得或， 当时，，在上是严格增函数，不符合题意，舍， 当时，，在上为严格减函数，符合题意，故； ②由幂函数在上是严格减函数可得，， 解得或，故解集为. 14．设，为实数，且满足则__________. 【答案】2 【分析】可以构造函数，根据函数的单调性及奇偶性求解. 【详解】设，因为是增函数，是增函数， 所以为增函数. 又，所以为奇函数. 将，化为， 即， 因为为奇函数，所以， 又因为函数为增函数，所以，即. 15．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________. 【答案】 【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答. 【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为， 当时，的取值集合为，此时的值域，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，其函数值集合为， 因为函数的值域为，则有，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、填空题 16．已知幂函数在上单调递减． (1)若命题：，为真命题，求实数的最小值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义求得，再采用参变分离法将存在性命题转化为，再根据函数在上的单调性求出最小值. （2）代入解析式后通过移项通分结合穿针引线法求解分式不等式即可. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 即或， 又因为函数在单调递减，所以，所以，代入得， ，，即，使得成立，则， 设，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 即，则实数的最小值为. （2）， ， 其三个零点分别为，且的系数为正， 所以解得或. 17．已知幂函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)若函数，且，求函数的值域. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据幂函数定义求出，再由奇偶性检验即可得解； （2）利用函数的单调性求值域即可. 【详解】（1）因为为幂函数， 所以，解得或， 当时，，不是偶函数，不合题意； 当时，，是偶函数，符合题意. 所以实数的值为3. （2）因为，所以， 当时，函数单调递增，所以， 即，故函数的值域为. 18．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且． (1)求与的解析式： (2)求函数在上的最值． 【答案】(1)； . (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）结合幂函数和一次函数定义，通过待定系数法求解方程； （2）根据二次函数性质结合给定区间求解最值即可. 【详解】（1）设幂函数，因为过点， 代入得：，得，因此 . 设一次函数 ，由题意：，得 ， 又过点，则，解得 ，故 . （2）由题意得： ，对称轴为， 且 ，则最大值在对称轴处取得 ； 由 ， ，可得最小值为. 所以在上的最大值为，最小值为. 19．限幅函数，与的图象存在三个公共点、、． (1)解关于的不等式； (2)求的取值范围； (3)求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）写出的解析式，分三种情况，得到不等式，求出不等式解集； （2）分，和三种情况，同一坐标系内，画出与的图象，数形结合得到答案； （3）求出三点坐标，作出辅助线，利用铅垂线法表达出的面积，利用基本不等式求出最值 【详解】（1）， 当时，，解得，所以， 当时，，解得，所以， 当时，，解得，所以， 综上，； （2）若，，此时与的图象无交点，不合要求，舍去； 若，同一坐标系内，画出与的图象，如下； 当过点时，，此时与的图象有两个公共点， 当过点时，，解得， 此时与的图象有两个公共点， 要想与的图象有三个公共点，需满足； 若，此时的图象位于第四象限，与无公共点， 综上，； （3）如图所示，中，令得，则， 令得，解得或0（舍去），则， 令得，所以， 设直线解析式为， 将和代入得，解得， 所以的解析式为， 过点作⊥轴，交于点， 则点的纵坐标与的纵坐标相等， 中，令得，解得， 故，则， 故，， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故. 20．已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若关于的不等式恰有个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)通过幂函数单调性的性质求解. (2)通过不等式化简构造新函数利用对称性确定的范围. 【详解】（1）因为在单调递增，所以， 解得，因为，所以，. （2）求解，即有个整数解. 因为，恰好为整数，由于二次函数的对称性，我们可知另外个整数解为， ，，所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 3.3 幂函数 知识归纳与题型总结 考点01 幂函数的概念 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 考向01 判断函数是否是幂函数 【例1】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 考向02 求幂函数的值 【例2】已知幂函数 为偶函数，则_______ 考向03 求幂函数的解析式 【例3】已知是幂函数，则“”是“的图象经过点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考向04 根据函数是幂函数求参数值 【例4】已知幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增，则等于（    ） A．1 B．1或3 C．2 D．3 【对点1】下列函数，既是幂函数，又存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【对点2】已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．3 D．6 【对点3】已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【对点4】已知幂函数为偶函数，则__________． 考点02 幂函数的图象与性质 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y=x0=1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 考向01 求幂函数的定义域 【例1】已知幂函数与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 考向02 求与幂函数有关的复合函数定义域 【例2】已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 考向03 求幂函数的值域 【例3】（多选）幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 考向04 求与幂函数有关的复合函数值域 【例4】函数，的值域为__________. 考向05 根据幂函数值域求参数或范围 【例5】若“，”是假命题，则a的最大值是________． 考向06 幂函数图象的判断及应用 【例6】幂函数，，，在第一象限内的图象依次对应图中的哪个曲线？ 考向07 幂函数图象过定点问题 【例7】若幂函数的图象经过点，则实数的值为___________． 考向08 判断一般幂函数的单调性 【例8】下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A． B． C． D． 考向09 判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【例9】函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 考向10 判断五种常见幂函数的奇偶性 【例10】下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 考向11 由幂函数的单调性解不等式 【例11】若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 考向12 由幂函数的单调性比较大小 【例12】已知，且，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【对点1】若有意义，则实数x的取值范围是________. 【对点2】已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【对点3】（多选）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 【对点4】已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【对点5】已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【对点6】（多选）已知函数（为实数）的定义域为D，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的图象不经过第四象限 B．若为偶函数，则为偶数 C．若，则 D． 【对点7】函数的图象过定点______. 【对点8】（多选）已知f（x）=(m2-3m+3)xm是幂函数，下列说法正确的是（ ） A．m= -1或m= 2 B．若f(x)是偶函数，则f（x）在（0，+∞）单调递增 C．若f(x)是奇函数，则g（x）=f（x）·sinx是奇函数； D．若f(x)是偶函数，则g（x）=f（x）-2x有最小值-1. 【对点9】函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【对点10】如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【对点11】已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【对点12】若，则它们的大小关系是（ ） A． B． C． D． 考点03 对勾函数的图象与性质 1．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为{x|x≠0}； (3)函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). (4)奇偶性：∵，∴函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-∞,-1)，(1,+∞)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减. 一、单选题 1．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．若幂函数的图象经过点，则满足的的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 3．已知“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，则正实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 5．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．1或3 6．已知实数，为方程的两个根，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知集合且，若M中任意元素均在曲线的下方，则符合条件的整数a的最大值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．2025 二、多选题 8．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若命题：，，则：， B．“”是“”的充分必要条件 C．若函数在上不单调，则实数的取值范围是 D．若函数是幂函数，且是奇函数，则 9．（多选）已知，，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选）下列说法正确的有（   ） A．关于x的不等式的解集，则不等式的解集为 B．幂函数对于，都有，则 C．函数的单调递减区间是 D．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 三、填空题 11．已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 12．已知幂函数 在上是单调递减函数，则不等式的解集为_________. 13．已知幂函数在上是严格减函数，其中，则的值为_________；关于的不等式的解集为_________． 14．设，为实数，且满足则__________. 15．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________. 四、填空题 16．已知幂函数在上单调递减． (1)若命题：，为真命题，求实数的最小值； (2)求不等式的解集． 17．已知幂函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)若函数，且，求函数的值域. 18．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且． (1)求与的解析式： (2)求函数在上的最值． 19．限幅函数，与的图象存在三个公共点、、． (1)解关于的不等式； (2)求的取值范围； (3)求面积的最大值． 20．已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若关于的不等式恰有个整数解，求实数的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $