3.4 函数的应用（一）教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数模型的实际应用，核心知识点为一次函数、二次函数、幂函数及分段函数在现实问题中的建模。课堂以出租车计费情境导入，引导学生从已有函数知识过渡到分段函数，通过讨论分段点归属搭建学习支架。 特色在于情境生活化与核心素养融合，以出租车计费、个税计算、速率-时间图象为例，培养用数学眼光观察现实，通过分段函数建模训练数学思维，用解析式和图象表达问题体现数学语言。助力学生提升建模能力，为教师提供可操作的分层教学案例。

教学设计-2026-2027学年 人教A版 3.4 函数的应用（一） 必修第一册 数学 高一 一、教学目标 教学目标 素养维度 （1）能正确理解函数模型在实际问题中的作用，说出利用一次函数、二次函数、幂函数等已知模型描述现实世界中变量依赖关系的基本步骤，能将文字叙述的情境转译为函数解析式并写出定义域。 语言 （2）能分析多段计费类实际问题中的分段点，按收入区间分别建立分段函数解析式，利用函数性质求解目标量并把结果还原为实际问题的答案。 能力 （3）能从速率—时间图象中读取关键信息，说明图象与时间轴所围区域面积的实际含义，分段建立里程表读数与时间的函数关系并画出图象。 能力 二、教学重难点 教学重点：将实际问题抽象为函数模型（尤其分段函数），确定定义域并求解。教学难点：多段计费类问题中分段点的确定与解析式的建立，图象信息的读取与实际意义的解释。 三、教学准备 教师准备多媒体课件，含个人所得税税率表、出租车计费情境图与速率—时间图象；学生复习一次函数、二次函数、幂函数的图象与性质，准备直尺与坐标纸用于课堂画图。 四、教学流程设计 （1）创设情境，探究发现。教师活动：教师展示某地出租车计价规则——起步价10元（3 km以内，含3 km），超出3 km的部分每公里2元，不足1 km按1 km计费。教师提问：若行驶里程为x km，车费y元，y与x是什么关系？预设学生回答：需要分两段，3 km以内是固定10元，超出部分按距离算。教师追问：x=3.2时按几公里收费？预设学生回答：超出0.2 km按1 km计，超出部分按1 km算，加收2元，共12元。教师进一步追问：x=3时落在哪一段？引导学生明确分段点的归属。设计意图：用贴近生活的计费情境，让学生体会分段函数产生的自然背景，明确分段点的归属是建立解析式的关键。 师生共建解析式。当0<x≤3时，y=10；当x>3时，超出部分按⌈x−3⌉（向上取整）公里计费，每公里2元，故y=10+2⌈x−3⌉。教师提示：在初学阶段，为简化运算，可先约定x取整数公里值讨论。当x为正整数且x>3时，y=10+2(x−3)=2x+4。综合得（约定x为正整数时）：y={{10, 0<x≤3}, {2x+4, x>3}}。定义域为{x|x∈Z+}。 课堂练习1：在上面的出租车计费规则下（x为正整数），行驶5 km应付车费多少元？解析：x=5>3，代入y=2x+4=2×5+4=14。答案：14元。 （2）例题精讲，建立模型。教师活动：教师给出例题——依法纳税是每个公民的义务。根据规定，个税税额=应纳税所得额×税率−速算扣除数；应纳税所得额=综合所得收入额−基本减除费用−专项扣除−专项附加扣除−依法确定的其他扣除。教师提问：某居民某年综合所得收入额为150000元，基本减除费用为60000元，专项扣除合计30000元，专项附加扣除合计24000元，无其他扣除。查阅税率表：应纳税所得额不超过36000元的部分税率为3%，速算扣除数为0；超过36000元至144000元的部分税率为10%，速算扣除数为2520。求该居民应缴纳的个税。 解析：先算应纳税所得额。应纳税所得额=150000−60000−30000−24000=36000元。36000元落在"不超过36000元"区间，故个税税额=36000×3%−0=1080元。答案：该居民应缴纳个税1080元。 教师追问：若该居民综合所得收入额提高到160000元，其他条件不变，应缴纳个税多少？解析：应纳税所得额=160000−60000−30000−24000=46000元。46000元落在"超过36000元至144000元"区间，故个税税额=46000×10%−2520=4600−2520=2080元。答案：应缴纳个税2080元。 （3）变式思考，解决问题。教师活动：教师给出变式题——某汽车沿直线公路行驶，其速率v（单位：km/h）与时间t（单位：h）的图象如下：0至1 h以40 km/h匀速行驶；1至2 h停车休息（速率为0）；2至3.5 h以60 km/h匀速行驶。教师提问：图象中每一段矩形或折线区域面积的实际含义是什么？预设学生回答：速率乘以时间等于路程，所以面积代表行驶路程。教师追问：请写出里程表读数S（单位：km）与时间t的函数解析式，并画出图象。预设学生回答分段计算各段路程。 解析：0≤t≤1段，路程=40t，S=40t；1<t≤2段，停车，路程停留在40 km处，S=40；2<t≤3.5段，从40 km处以60 km/h继续行驶，S=40+60(t−2)=60t−80。综合得：S={{40t, 0≤t≤1}, {40, 1<t≤2}, {60t−80, 2<t≤3.5}}。定义域为[0, 3.5]。图象为三段折线：第一段从(0,0)到(1,40)上升，第二段从(1,40)到(2,40)水平，第三段从(2,40)到(3.5,130)上升。答案：解析式如上，图象为三段折线。 课堂练习2：在上面的速率—时间情境中，t=2.5 h时里程表读数为多少？解析：t=2.5落在第三段，S=60×2.5−80=150−80=70。答案：70 km。 （4）课堂小结。教师活动：教师引导学生回顾本课所学。教师提问：利用函数模型解决实际问题的一般步骤是什么？预设学生回答：分析变量关系→建立函数解析式（注意定义域）→利用函数性质求解→还原为实际问题的答案。教师追问：分段函数在什么情境下自然产生？预设学生回答：当不同区间适用不同规则时，如多段计费、变速运动等。教师补充：对于一个具体的问题，如果涉及函数，那么应当学会选择恰当的方法表示问题中的函数关系。 （5）课后作业。1. 某地自来水收费规则为：每月用水量不超过12吨时每吨3元，超过12吨的部分每吨5元。设用水量为x吨（x为正整数），水费为y元。（1）写出y与x的函数解析式；（2）某户用水15吨，求水费。解析：（1）当0<x≤12时，y=3x；当x>12时，y=3×12+5(x−12)=36+5x−60=5x−24。综合得y={{3x, 0<x≤12}, {5x−24, x>12}}，定义域{x|x∈Z+}。（2）x=15>12，y=5×15−24=75−24=51。答案：（1）y={{3x, 0<x≤12}, {5x−24, x>12}}，定义域{x|x∈Z+}；（2）51元。2. 某车速率v（km/h）与时间t（h）关系为：0≤t≤2时v=50，2<t≤4时v=0，4<t≤6时v=80。设出发时里程表读数为0，写出里程表读数S与t的函数解析式。解析：0≤t≤2段，S=50t；2<t≤4段，S=50×2=100；4<t≤6段，S=100+80(t−4)=80t−220。综合得S={{50t, 0≤t≤2}, {100, 2<t≤4}, {80t−220, 4<t≤6}}，定义域[0,6]。答案：S={{50t, 0≤t≤2}, {100, 2<t≤4}, {80t−220, 4<t≤6}}，定义域[0,6]。 学科网（北京）股份有限公司 $