3.3幂函数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1 学科网（北京）股份有限公司 第9讲 幂函数 知识解读 知识点01 幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点02 幂函数的图象及性质 1．作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 2．作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3．幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4．幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 题型1 幂函数图象与定点 【典例1】已知幂函数的图象经过点，该幂函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【解题技巧】先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可． 【典例2】函数的图象恒过点 . 【变式1】给出下列四个结论： ①所有的幂函数都经过定点与； ②已知函数（且）在上是减函数，则的取值范围是； ③在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称； ④在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称. 其中正确结论的序号是 . 题型2 幂函数解析式与定义域 【典例1】幂函数过点，，是其图象上任意两点．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【解题技巧】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 【典例2】已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．定义域为 B．是偶函数 C．是减函数 D．是奇函数 【变式1】已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 题型3 幂函数值域问题 【典例1】已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．若，则 C． D． 【解题技巧】利用单调性求解． 【变式1】已知幂函数在上单调递增，函数． (1)求实数m的值； (2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围． 题型4 幂函数单调性解不等式 【典例1】已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题技巧】运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径． 【变式1】已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 题型5 幂函数比较大小 【典例1】已知幂函数，对任意且，都有，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．等于0 C．恒小于0 D．无法判断 【解题技巧】1.两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． 2.利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． 3.引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 【变式1】已知幂函数的图象过点，幂函数的图象过点． (1)求，的表达式； (2)求当为何值时：①；②；③． 题型6 幂函数性质综合应用 【典例1】已知函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若函数，判断函数在上的单调性，并证明. 【解题技巧】以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题． 【变式1】已知幂函数在上满足，函数. (1)求的值； (2)当时，记，的值域分别为A、B，设p：，q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数k的取值范围. 课堂强化训练 1．已知幂函数满足，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递减 B．的图象关于轴对称 C．的图象过点 D． 2．已知函数对称中心在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知幂函数在上是增函数，则（    ） A．或3 B． C．3 D．1 4．若，，则错误的是（   ） A． B． C． D． 5．幂函数过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的最小值为0 B．为偶函数 C．若，则 D．是在上的减函数 8．已知函数，若，则的最大值为 . 9．已知幂函数的图象关于轴对称，且，则 ；若，则实数的取值范围是 ． 10．已知幂函数的定义域不为. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 11．已知幂函数的图象关于轴对称，函数． (1)判断在上的单调性并证明； (2)设函数，．若，，求的取值范围． 课后巩固练习 1．幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．是偶函数 D．是奇函数 2．已知点在幂函数的图象上，则是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．在上单调递减 3．函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数 5．（多选）已知幂函数（，为常数），则下列说法正确的有（   ） A． B．若，则与表示同一个函数 C．若，则为奇函数 D．若，则为偶函数 1 学科网（北京）股份有限公司 第9讲 幂函数 知识解读 知识点01 幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点02 幂函数的图象及性质 1．作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 2．作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3．幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4．幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 题型1 幂函数图象与定点 【典例1】已知幂函数的图象经过点，该幂函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点， 所以，即，解得， 即该幂函数的解析式为，其定义域为，值域为， 又为偶函数，且在上为减函数，在上为增函数. 故选：B． 【解题技巧】先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可． 【典例2】函数的图象恒过点 . 【答案】 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 【变式1】给出下列四个结论： ①所有的幂函数都经过定点与； ②已知函数（且）在上是减函数，则的取值范围是； ③在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称； ④在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称. 其中正确结论的序号是 . 【答案】③④ 【详解】①所有的幂函数都经过定点，但不一定过，错误； ②函数（且）在上是减函数，则，解得的取值范围是，错误； ③在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称，正确； ④在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称，正确. 故答案为：③④ 题型2 幂函数解析式与定义域 【典例1】幂函数过点，，是其图象上任意两点．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是幂函数，可设， 因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得：， 所以，定义域为， 对于A，设，定义域为，因为， 所以在上单调递增， 若，则有，即，故A正确； 对于B，设，定义域为，因为， 所以在上单调递减， 若，则有，即，故B正确； 对于CD，， 而，等号不成立， 所以， 又， 所以，C对，D错， 故选：D 【解题技巧】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 【典例2】已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．定义域为 B．是偶函数 C．是减函数 D．是奇函数 【答案】B 【详解】设， 代入点，可得，解得， 所以. 对于A：可知的定义域为，故A错误； 对于BD：因为，可知是偶函数，故B正确，D错误； 对于C：由偶函数对称性可知在定义域内不单调，故C错误； 故选：B. 【变式1】已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设，则有，解得， 故，即，则其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有，即，即. 题型3 幂函数值域问题 【典例1】已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．若，则 C． D． 【答案】C 【详解】令，由，得，解得，则， 所以的定义域为，则为非奇非偶函数，故A错误； 因为，所以在上单调递增， 则当时，，故B错误； 当且时， ，， 则，， 又，所以，则， 所以，故C正确； 当时，即，故D错误. 故选：C 【解题技巧】利用单调性求解． 【变式1】已知幂函数在上单调递增，函数． (1)求实数m的值； (2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵为幂函数，∴， 解得或， 当时，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， ∴； （2）由（1）得，∴时，， ∵为上的减函数， ∴当时，， ∵，∴， ∴解得， 实数k的取值范围是． 题型4 幂函数单调性解不等式 【典例1】已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，此时为偶函数，不符合题意； 当时，，此时为奇函数，符合题意； 所以，则的定义域为，且函数在上单调递减， 则在上单调递减， 所以不等式， 即或或， 解得或无解或， 所以实数的取值范围为. 故选：C 【解题技巧】运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径． 【变式1】已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由幂函数在上单调递增知，，解得， 又，则或或， 当或时，，此时，不符合的图象关于轴对称，故舍去. 当时，，定义域为，且，所以图像关于轴对称，符合题意. 综上所述，. （2）由（1）得，易知为偶函数，且在上单调递增， 因为，所以， 两边平方，得， 化简得，解得或， 故实数的取值范围为. 题型5 幂函数比较大小 【典例1】已知幂函数，对任意且，都有，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．等于0 C．恒小于0 D．无法判断 【答案】C 【详解】因为函数为幂函数， 所以， 解得或； 因为对任意且，都有， 可知函数在上单调递增， 当时，，此时函数在上单调递减，矛盾， 当时，，函数在上单调递增，满足条件， 所以，， 函数为奇函数，函数在上单调递增， 由，可得，所以，即， 所以. 故选：C. 【解题技巧】1.两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． 2.利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． 3.引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 【变式1】已知幂函数的图象过点，幂函数的图象过点． (1)求，的表达式； (2)求当为何值时：①；②；③． 【答案】(1)； (2)① 或；②或；③且 【详解】（1），∵图象过点，故，解得，∴； ，∵图象过点，∴，解得．∴． （2）在同一平面直角坐标系中作出与的图象，如图所示． 由图象可知，、的图象均过点和． 所以①当或时，； ②当或时，； ③当且时，． 题型6 幂函数性质综合应用 【典例1】已知函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若函数，判断函数在上的单调性，并证明. 【答案】(1)； (2)函数在上单调递增，证明见详解. 【详解】（1）函数为幂函数， ，即，或， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意， 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 实数的值为； （2）由(1)可知，， 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， ，，， ，即， 函数在上单调递增. 【解题技巧】以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题． 【变式1】已知幂函数在上满足，函数. (1)求的值； (2)当时，记，的值域分别为A、B，设p：，q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 由幂函数在上满足，得在上单调递增， 则，而时，，不符合题意， 当时，，符合题意，所以. （2）由（1）知，，当时，，则， 函数在上单调递增，，则， 由p是q成立的必要不充分条件，得B⊂A，则或， 解得或，因此，所以实数k的取值范围是. 课堂强化训练 1．已知幂函数满足，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递减 B．的图象关于轴对称 C．的图象过点 D． 【答案】D 【详解】设幂函数，因为， 所以，所以（）. 根据幂函数的性质可知，在上单调递减，所以A错误； 因为该函数的定义域为，所以不关于轴对称，B错误； 因为时函数无意义，所以不经过点，C错误； 因为在上单调递减，， 所以，D正确. 故选：D. 2．已知函数对称中心在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 可得， ， 所以， 即，所以函数的对称中心为， 又因为在直线上，所以，所以， 所以， 因为，所以，， 根据基本不等式有：， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 3．已知幂函数在上是增函数，则（    ） A．或3 B． C．3 D．1 【答案】C 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，在上是增函数，符合题意， 当时，在上是减函数，不符合题意，舍去， 所以， 故选：C. 4．若，，则错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项，当，，，时，，，此时，所以选项错误. 对于选项，由可得，则. 又因为，所以，根据不等式的性质：可得，所以选项正确. 对于选项，由，则，则，，根据不等式的性质：，可得，所以选项正确. 对于选项，由前面分析可知，因为函数在上单调递增，所以，所以选项正确. 故选：A. 5．幂函数过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 由题意可得，解得， 所以在上单调递增，且，为偶函数， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：C 6．已知幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设幂函数， 因为幂函数的图象过点， 则，解得，即， 因为，即， 整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 7．（多选）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的最小值为0 B．为偶函数 C．若，则 D．是在上的减函数 【答案】ACD 【详解】∵函数是幂函数，∴设. ∵幂函数的图象经过点，∴，∴，∴. ∵，当且仅当时等号成立，∴的最小值为0，故选项A正确； ∵的定义域为，关于原点不对称，∴函数是非奇非偶函数，故选项B错误； ∵，∴. ∵，∴， ∴，∴，故选项C正确； ∵， ∴由函数单调性的性质可知：函数是在上的减函数，故选项D正确. 故选：ACD. 8．已知函数，若，则的最大值为 . 【答案】2 【详解】因为为增函数，不妨设， 则，即， 变形得. 若异号，则， 即， 解得，当且仅当时，等号成立. 若同号或中有一个为0，则，解得. 综上，的最大值为2. 故答案为：2. 9．已知幂函数的图象关于轴对称，且，则 ；若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 2 或 【详解】由题意知函数在区间上单调递增，所以，解得，由得．又的图象关于轴对称，所以为偶数，所以，所以．不等式等价于，解得或． 10．已知幂函数的定义域不为. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由幂函数的定义可得，解得或， 若，则的定义域为，不符合题意， 若，则的定义域为，符合题意， 所以的解析式为. （2）由（1）得，的定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数， 由可得， 因为在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或， 解得或， 所以a的取值范围为． 11．已知幂函数的图象关于轴对称，函数． (1)判断在上的单调性并证明； (2)设函数，．若，，求的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递增；证明见解析 (2) 【详解】（1）由，所以或， 由幂函数的图象关于轴对称，所以.故.所以. 函数在上单调递增，下面用单调性定义证明： 设， 则. 因为，所以，，，所以， 所以，即. 所以函数在上单调递增. （2）因为函数在上单调递增，且， 所以，. 对，. 当即时，在上单调递增，所以， 由. 当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 由，无解. 当即时，在上单调递减，所以， 由，这与矛盾，无解. 综上可知：. 故的取值范围是：. 课后巩固练习 1．幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【详解】解：因为是幂函数，所以，解得或， 因为，都有成立，所以该函数在是减函数， 所以，故A，B错误； ，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以是奇函数，故D正确，C错误. 故选：D. 2．已知点在幂函数的图象上，则是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．在上单调递减 【答案】A 【详解】∵点在幂函数的图象上，设， ∴，解得， ∴函数，定义域为，关于原点对称， ∴， ∴函数是奇函数，根据反比例图象在上单调递减． 故选：A． 3．函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 因为内层函数在上递增，在上递减， 外层函数在上为减函数， 因此，函数的增区间为. 故选：B. 4．（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数 【答案】BC 【详解】设，其图象经过点， 则，解得，故， 那么的定义域为，故A错误； 的值域为，故B正确； 因为，则为偶函数，故C正确； 因为在上单调递增，在上单调递减，不能说是在其定义域上的减函数，故D错误. 故选：BC. 5．（多选）已知幂函数（，为常数），则下列说法正确的有（   ） A． B．若，则与表示同一个函数 C．若，则为奇函数 D．若，则为偶函数 【答案】BD 【详解】由为幂函数， 可得：，即，故A错误； 对于B：若，则，，故B正确； 对于C：若，则， 所以，定义域为， 显然是偶函数，故C错误； 对于D：若，则， 所以，定义域为， 又 ，故是偶函数，故D正确. 故选：BD