精品解析：山东德州市德城区联考2026-2027学年第一学期阶段性学习成果展示8年级数学试题

2026-2027学年第一学期阶段性学习成果展示 八年级数学试题 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题4分，满分40分） 1. 以下几组长度（单位：米）的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的是（ ） A. 5，7，2 B. 5，9，3 C. 5，7，3 D. 4，5，10 【答案】C 【解析】 【分析】只需验证两条较短边的和大于最长边即可，满足条件即可围成，不满足则不能围成. 【详解】解：选项A中，较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形； 选项B中，较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形； 选项C中，较短边为，，最长边为，，满足三角形三边关系，故能围成三角形； 选项D中，较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形. 2. 下列图形中有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解答本题的关键．由题意直接根据三角形具有稳定性对各个选项进行分析判断即可． 【详解】解：观察选项可知只有C选项的图形是由2个三角形构成的，即有稳定性． 故选：C． 3. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 4. 如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形的周长，掌握其性质是解决此题的关键．先根据中线的定义得，再表示周长，即可得出答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差是． 故选：C． 5. 在中，，且是的3倍，那么该三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出和的度数即可． 【详解】解：∵是的3倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形． 6. 在和中，若，再添加一个条件使，添加不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定逐项判断可求解． 【详解】解：A、若，且，由“”可证，故选项A不符合题意； B、若，且，由“”可证，故选项B不符合题意； C、若，且，无法证明，故选项C符合题意； D、若，且，由“”可证，故选项D不符合题意； 故选：C． 7. 如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，再求出，然后利用全等三角形的性质求即可． 【详解】解：∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 8. 如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据，，分别是，，的中点，得到，，，继而得到，解答即可． 【详解】解：由，，分别是，，的中点， 得到，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 9. 如图，取直线l上一点A，与直线外一点B相连．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交、l于点C、D，以点B为圆心，长为半径作弧，交于点E，以点E为圆心，长为半径作弧，交前弧于点F，连接并延长；再以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于点G，分别以点E、G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长交l于点K．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可知：，平分，然后根据角平分线的定义及平行线的性质可进行求解． 【详解】解：由作图可知：，平分， ∴， ∴． 10. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为t（s），当与全等时，则点Q的运动速度为（ ）． A. 或1 B. 1或2 C. 或 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】根据运动可知：，则，分、、三种情况讨论即可作答． 【详解】解：根据运动可知：，则， 当时，，， ∴，即， ∴， 此时点Q的运动速度为：； 当时，，， ∵， ∴，即， 此时点Q的运动速度为：； 当时，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 此时点Q的运动速度为：； 综上：点Q的运动速度为或者． 二、填空题（每小题4分，满分24分） 11. 如图，已知，垂足分别为D、E，、交于点O，且，则图中的全等三角形共有_____对． 【答案】4 【解析】 【分析】根据垂直定义得出，根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，，根据垂直定义得出，根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，，易得，根据全等三角形的判定定理推出和即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 即全等三角形共4对． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理以及垂直的定义等知识，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 12. 如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是________． 【答案】 5 【解析】 【分析】作，垂足为，然后根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：如图，作，垂足为， ∵平分，点在上，， ∴， ∴点到射线的距离是． 13. 等腰三角形的两边长满足．则这个等腰三角形的周长为__________． 【答案】22 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系判断出等腰三角形的腰与底边长，进而可得出结论．本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的知识，解题的关键是分类讨论，此题难度不大． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9， ， 不能组成三角形， ②4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9， 能组成三角形， 周长． 综上所述，这个等腰三角形的周长为22． 故答案为：22． 14. 一副三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵，，,，，， ∴ ， ∴的度数为． 15. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 16. 如图，直角三角形中，，点为边上一点，且，连接交延长线于，且为线段的中点，若，，则面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的延长线于点，可证，得，，再证，得，，即得，设，则，进而利用列出方程求出的值即可求解． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴． 三、解答题 17. 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．如图，从花折伞中抽象出“伞形图”，．求证：． 【答案】证明：在与中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明，即可得证． 【详解】略． 18. 已知：，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，由线段和差可以得出，通过平行线的性质求出，最后通过根据证明，最后由全等三角形的性质即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的平分线，交于点D；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 如图，线段即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作角平分线和三角形内角和定理， （1）根据作已知角的角平分线作图即可； （2）根据三角形内角和定理求得，结合角平分线求得，再利用三角形内角和即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ∴， ∵平分， ， ∴． 20. 已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．求证： （1） ； （2）． 【答案】（1） 证明： ， ， ， 在和中， ， ． ∴； （2） 解：∵， ， ， ， ， 则． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证． （1）要证，现有，，需它们的夹角，而由很易证得，即可得出． （2）、有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证，需证，需证可由直角三角形提供． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 完成以下问题 （1）【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作，，垂足分别为和，若，则__________； （2）【探究】如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； （3）【应用】如图③，的周长是13．、分别平分和，于点．若，求的面积． 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质，求解即可； （2）根据角平分线的性质，可知与的高相等，面积比等于底边长的比； （3）确定O为三条角平分线的交点，该交点到三边距离相等，将面积分割为三个小三角形面积之和，利用周长和距离计算总面积． 【小问1详解】 解：∵是的角平分线，，， ∴； 【小问2详解】 解：作，，垂足分别为和， ∵是的角平分线， ∴． 设， 则， ∴． ∵， ∴与的面积比为． 答：与的面积比为； 【小问3详解】 解：作，，垂足分别为和，连接， ∵、分别平分和，， ∴，． 的面积可分割为、、 的面积之和（如图）， 即 ． ∵的周长是13，即， ∴． 22. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． （1）如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【答案】（1）①；； ②解：是“友爱三角形”，理由如下： 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“友爱三角形”； （2）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明，则可证明，据此可得结论； （2）由折叠的性质得到，则；再分，，和四种情况，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴； ∵与互为“友爱角”（）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略 【小问2详解】 解：由折叠的性质可得，， ∴； ∵是“友爱三角形”， ∴当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 23. 数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】 （1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）60 【解析】 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期阶段性学习成果展示 八年级数学试题 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题4分，满分40分） 1. 以下几组长度（单位：米）的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的是（ ） A. 5，7，2 B. 5，9，3 C. 5，7，3 D. 4，5，10 2. 下列图形中有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 在中，，且是的3倍，那么该三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 6. 在和中，若，再添加一个条件使，添加不正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 9. 如图，取直线l上一点A，与直线外一点B相连．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交、l于点C、D，以点B为圆心，长为半径作弧，交于点E，以点E为圆心，长为半径作弧，交前弧于点F，连接并延长；再以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于点G，分别以点E、G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长交l于点K．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为t（s），当与全等时，则点Q的运动速度为（ ）． A. 或1 B. 1或2 C. 或 D. 1或 二、填空题（每小题4分，满分24分） 11. 如图，已知，垂足分别为D、E，、交于点O，且，则图中的全等三角形共有_____对． 12. 如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是________． 13. 等腰三角形的两边长满足．则这个等腰三角形的周长为__________． 14. 一副三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，则的度数为_________． 15. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 16. 如图，直角三角形中，，点为边上一点，且，连接交延长线于，且为线段的中点，若，，则面积为______． 三、解答题 17. 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．如图，从花折伞中抽象出“伞形图”，．求证：． 18. 已知：，，，求证：． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的平分线，交于点D；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若，，求的度数． 20. 已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．求证： （1） ； （2）． 21. 完成以下问题 （1）【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作，，垂足分别为和，若，则__________； （2）【探究】如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； （3）【应用】如图③，的周长是13．、分别平分和，于点．若，求的面积． 22. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． （1）如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 23. 数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $