精品解析：山东省德州市德城区第五中学2025－2026学年八年级上学期第二次月考数学试卷

2025-2026学期上学期八年级数学阶段性检测试题 一、选择题（每个4分，共40分） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义．根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A：分母为3，不含字母，不是分式，故本选项不符合题意； 选项B：分母为15，不含字母，不是分式，故本选项不符合题意； 选项C：分母为，含字母a和b，是分式，故本选项符合题意； 选项D：不是分式形式 ，故本选项不符合题意． 故选：C 2. 下列各式从左到右的变形是分解因式的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】∵（a＋b）（a−b）＋a2不是几个整式的积的形式， ∴从左到右的变形不是分解因式， ∴选项A不符合题意； ∵2ab＋2ac不是几个整式的积的形式， ∴从左到右的变形不是分解因式， ∴选项B不符合题意； ∵x3−2x2＋x＝x（x−1）2， ∴∴从左到右的变形是分解因式， ∴选项C符合题意； ∵（）不是整式， ∴从左到右的变形不是分解因式， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了因式分解的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的四则混合运算法则即可求解． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B正确； C：，故C错误； D：，故D错误． 故选：B 【点睛】本题考查整式的四则混合运算．掌握相关运算法则即可． 4. 已知，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的性质．， 根据已知可得，即可得的值． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ， ∴ ， 解得 ． 故选：B． 5. 若，则a、b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，熟练的利用多项式乘以多项式的法则进行运算是解本题的关键．先按照多项式乘以多项式的法则进行计算，再利用多项式的恒等进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴，． 故选：B． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 通过将小数转化为分数形式，并利用幂的运算性质简化表达式，注意负数的偶次幂为正，然后即可求解 【详解】解：∵， ∴原式=， ∵指数为偶数， ∴， ∴原式=， ∵ ， ∴原式， 故选：A 7. 如果与的乘积中不含的一次项，那么的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查已知多项式乘积不含某项求字母的值． 计算与的乘积，令一次项系数为零，即可得的值． 【详解】解：, ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， 解得． 故选：C． 8. 已知x+y=4 ，xy=3 ，则x2+ y2的值为（ ） A. 22 B. 16 C. 10 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式变形，整体代入求值即可． 【详解】解：． 故选择C． 【点睛】本题考查式子的值，求代数式的值，掌握完全平方公式变形的方法是解题关键． 9. 有如图所示的类，类和类卡片各张，从中取出若干卡片，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（无空隙，无重叠拼接），则拼成正方形的边长最长的可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用． 由已知可得所有卡片的面积总和，从而可得拼成正方形的所有可能边长，进行比较即可． 【详解】解：4张类卡片的面积为， 4张类卡片的面积为， 4张类卡片的面积为， ∴所有卡片的面积总和为， ∴拼成的正方形的边长可能为，或，或， ∵， ∴， ∴拼成正方形的边长最长的可以为． 故选：B． 10. 已知，，，则代数式的值为（　　） A. 5 B. 6 C. 3 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含、、的形式是关键．由，，，得，，，将进行因式分解变形，即可得结论． 【详解】解：，，， ，，， ， 故选：C． 二、填空题（每个4分，共20分） 11. 在实数范围内因式分解__________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案是：． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，掌握是解题的关键． 12. 式子有意义，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不为零，据此解答即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 13. 若，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值． 由已知可得 ，代入代数式中计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 14. 已知m2＋km＋81是完全平方式，则k＝_____． 【答案】或##或 【解析】 【分析】两个完全平方式： 根据完全平方式的特点可得答案. 【详解】解： m2＋km＋81 而m2＋km＋81是完全平方式， 或 故答案为：或 【点睛】本题考查的是完全平方式，掌握利用完全平方式的特点求解未知系数的值是解题的关键. 15. 如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，，则的值为______． 【答案】351 【解析】 【分析】本题考查了数列的规律探索．奇偶项分开归纳规律是解题的关键． 分类找出奇偶项规律，再代入计算即可． 【详解】解：数列的奇数项，，， 规律：第项（为正整数）的数值是（连续自然数的和），即，， ， ； 数列的偶数项，，， 规律：第项（为正整数）的数值是（连续自然数的和），即，， ， ； ． 故答案为：351． 三、解答题（共90分） 16. （1）计算： （2）计算： （3）因式分解： （4）因式分解： 【答案】 （1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，实数的运算，因式分解， 对于（1），根据“多项式的每一项除以单项式，再把所得的结果相加”解答； 对于（2），根据将整理为，再根据平方差公式计算； 对于（3），先提出2，再根据完全平方公式分解； 对于（4），两次应用平方差公式分解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 17. 化简求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，合并同类项，先根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式运算法则分别计算，然后合并同类项进行化简，最后把，代入计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）画出关于y轴对称的，并直接写出各顶点的坐标； （2）直接写出的面积是______； （3）在y轴上找一点P，使的和最小（标出点P即可，不用求点P坐标）． 【答案】（1） 如图，即为所求作的图形， 由图形可得，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2） （3） 如图，连接，与轴交于点，则点即为所求． 理由如下：由轴对称的性质可得： ， ∴， 此时最小． 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键． （）根据轴对称的性质分别确定的对称点即可作出所求图形，根据图形即可写出各顶点的坐标即可； （）利用割补法计算即可求解； （）如图，连接，与轴交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积是； 【小问3详解】 略 19. 如图，经过点于点于点E．求证：． 【答案】 证明：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，利用证明即可．熟练掌握一线三直角的全等模型，是解题的关键． 【详解】略 20. 已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵， 又， ∴， ∴． 21. 我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决一些数学问题．比如求代数式的最小值时，可以这样做：．∵，∴，∴的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题： （1）代数式的最小值是________； （2）求代数式的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了通过完全平方公式进行配方求最值，利用偶数次方的非负性求值，解题的关键是掌握配方法． （）通过完全平方公式进行配方，然后求出最小值即可； （）通过完全平方公式进行配方，然后求出最小值即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值是． 22. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）种草区域的面积和为60平方米． 【解析】 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）由（1）的结论得，将代入计算即可得出答案； （3）设，则，进而得，由（1）的结论得，由此即可得出答案； （4）设，则种花区域的面积（米），由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和为（平方米）． 【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）由（1）的结论得：， 又， ； （3）设，则， ， ， ， 由（1）的结论得：， ， ； （4）设， 于点E，米， （平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 23. 小刚在数学兴趣小组活动中，通过小组合作解决了一个几何问题：如图①，等腰中，．点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． （1）问题思考在图①中，求证：； （2）问题再探若，如图②，探究线段、、之间的数量关系，并证明． 小刚发现：用截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而可以解决上述问题 （注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段．） （3）问题拓展，若，且平分，如图③，请直接写出的值为______． 【答案】（1） 解：，证明如下： ，, ， 在与中， ， ， ，, ，， ， ，， ； （2） 如图所示，在线段上取点F，使得， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，，， ； （3）． 【解析】 【分析】(1) 先证明，再利用全等三角形的性质即可解决问题； (2) 在线段上取点F，使得，再证明，推出，，可得结论； (3) 在线段上取点H，使得，先求出，再证明可得，再求出可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图所示：在线段上取点H，使得，即， ，且平分， ，， 又，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ，， ，即：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学期上学期八年级数学阶段性检测试题 一、选择题（每个4分，共40分） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形是分解因式的是 A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 若，则a、b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 7. 如果与的乘积中不含的一次项，那么的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 已知x+y=4 ，xy=3 ，则x2+ y2的值为（ ） A. 22 B. 16 C. 10 D. 4 9. 有如图所示的类，类和类卡片各张，从中取出若干卡片，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（无空隙，无重叠拼接），则拼成正方形的边长最长的可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，则代数式的值为（　　） A. 5 B. 6 C. 3 D. 8 二、填空题（每个4分，共20分） 11. 在实数范围内因式分解__________ 12. 式子有意义，则实数a的取值范围是________． 13. 若，则代数式的值为________． 14. 已知m2＋km＋81是完全平方式，则k＝_____． 15. 如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，，则的值为______． 三、解答题（共90分） 16. （1）计算： （2）计算： （3）因式分解： （4）因式分解： 17. 化简求值：，其中，． 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）画出关于y轴对称的，并直接写出各顶点的坐标； （2）直接写出的面积是______； （3）在y轴上找一点P，使的和最小（标出点P即可，不用求点P坐标）． 19. 如图，经过点于点于点E．求证：． 20. 已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）写出，，之间的数量关系，并说明理由． 21. 我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决一些数学问题．比如求代数式的最小值时，可以这样做：．∵，∴，∴的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题： （1）代数式的最小值是________； （2）求代数式的最小值． 22. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 23. 小刚在数学兴趣小组活动中，通过小组合作解决了一个几何问题：如图①，等腰中，．点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． （1）问题思考在图①中，求证：； （2）问题再探若，如图②，探究线段、、之间的数量关系，并证明． 小刚发现：用截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而可以解决上述问题 （注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段．） （3）问题拓展，若，且平分，如图③，请直接写出的值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $