陕西省镇安中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集是三角形，集合是直角三角形，是锐角三角形或直角三角形，则 A．是钝角三角形 B．是锐角三角形或钝角三角形 C．是直角三角形 D．是直角三角形或钝角三角形 2．若是奇函数，且当时，，则 A． B． C． D． 3．不等式的解集为 A． B． C． D． 4．曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． 5．若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为 A． B． C． D． 6．已知某正四棱柱的一个侧面的周长为12，设该正四棱柱的高为，则该正四棱柱的体积 A． B． C． D． 7．函数的大致图象为 A． B． C． D． 8．若，则的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列判断正确的是 A．的充要条件是 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的既不充分也不必要条件 10．已知函数满足对任意，恒成立，且在上单调，，则 A． B． C．是奇函数 D．不可能是一次函数 11．已知函数，则 A．只有一个极值点 B．当时，无零点 C．当，时， D．当时，集合有7个真子集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．命题“，”的否定是 ▲ ． 13．已知函数，则的值域为 ▲ ． 14．若，则 ▲ _． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知集合，，． （1）若，求的取值范围； （2）当时，在答题卡的图中作出对应点集的图形，并说明你的理由． 16．（15分） （1）解方程：． （2）若，求函数的解析式． （3）若二次函数是偶函数，且，求的值． 17．（15分） 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且曲线的切线经过点，求的斜率． 18．（17分） 对于函数，若存在，使得在上有最小值，且最小值大于，则称为俏函数，其中为的一个俏值． （1）若函数，证明：为俏函数，且的俏值唯一． （2）若定义在上的函数的值域为，且在上先减后增，试问是否为俏函数？说明你的理由． （3）若函数，求的最大值与俏值． 19．（17分） 已知函数． （1）证明：． （2）若函数在上有零点，求的取值范围． （3）若曲线与曲线，分别交于，两点，证明：． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学参考答案 1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．D 7．B 8．A 9．BCD 10．ABD 11．AC 12．， 13． 14． 15．解：（1）因为， 1分 所以当时，，则的取值范围是． 4分 （2）设点，，则对应的点集为图中的线段． 7分 理由如下： 当时，． 10分 因为方程表示的曲线为直线， 所以对应的点集为曲线， 12分 所以对应的点集为图中的线段． 13分 16．解：（1）因为， 2分 所以，则， 4分 所以． 5分 （2）令，则， 6分 则，故． 8分 （3）依题意可设． 9分 因为是偶函数，所以由，得， 11分 所以， 12分 所以，， 13分 解得，，． 15分 17．解：（1）， 1分 令，得或． 2分 当，即时，若，则，单调递减； 若，则，单调递增； 若，则，单调递减． 4分 当，即时，，则在上单调递减． 5分 当，即时，若，则，单调递减； 若，则，单调递增； 若，则，单调递减． 7分 综上，当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增． 8分 （2）由，得， 9分 则，则． 10分 设切线与曲线相切于点，则，， 11分 所以的方程为， 将点的坐标代入，得， 12分 则，即，解得或． 13分 当时，；当时，． 14分 故的斜率为-5或-1． 15分 18．（1）证明：易知在上单调递减，在上单调递增， 1分 所以在上有最小值，且最小值为． 2分 因为，所以为俏函数． 3分 当，且时，在上的最小值为2，且，所以的俏值只能为1，故的俏值唯一． 4分 （2）解：是俏函数． 5分 理由如下： 将的图象向右平移两个单位长度，得到的图象． 6分 因为在上先减后增，所以在上先减后增． 7分 又的值域为，所以在上有最小值，且最小值大于1， 8分 所以是俏函数，且的一个俏值为1． 9分 （3）解：令，则， 10分 则，则， 所以当时，取得最大值19，故的最大值为19． 11分 由，得，则． 因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 12分 所以由复合函数的单调性可知在上单调递增，在，上单调递减． 13分 因为，所以的图象关于直线对称， 所以在上单调递增，在上单调递减． 14分 因为，，， 15分 所以在上无最小值，在上无最小值，在上无最小值，在上有最小值，且最小值为， 16分 在上有最小值，但最小值都小于，故的俏值为4． 17分 【注】第（3）问中，未得到的图象关于直线对称，但正确判断了在上的单调区间，不扣分．另外，第（3）问还可以这样解答： 令，，所以的图象关于直线对称，当时，，当且仅当时，等号成立，所以在上单调递增，在上单调递减． 10分 令，则，则，则，则在上单调递增，在上单调递减， 所以． 12分 当时，，此时在上无最小值，所以在上无最小值． 13分 当或时，，此时在上无最小值，所以在上无最小值，在上无最小值． 14分 当时，，此时在上有最小值，且最小值为，则在上有最小值，且最小值大于4． 15分 当时，，，此时的最小值为． 16分 综上，的俏值为4． 17分 19．（1）证明：设，则． 1分 当时，，当时，， 2分 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则． 4分 （2）解：（方法一）由题意得，则． 对于任何实数，当时，，当时，． 5分 因为在上为增函数，所以存在唯一的，使得． 6分 令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增． 7分 因为，所以且． 8分 因为在上有零点，所以，即． 9分 设，则在上单调递减．因为，所以，则，故的取值范围是． 10分 （方法二）在上有零点等价于在上有解． 5分 易证，则， 6分 则，则，则． 7分 当时，，在上有零点； 8分 当时，，当时，， 由函数零点存在定理可知，在上必有零点． 9分 故的取值范围是． 10分 （3）证明：当时，，由（1）知，所以． 11分 设，，则，所以． 12分 又因为 13分 所以 14分 令，则，即方程有解． 16分 由（2）知，当且仅当时，等号成立，此时，这与矛盾，故等号不能取到，则，所以． 17分 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $