5.5立方根（题型专练）数学新教材青岛版八年级上册

**基本信息** 本同步练习以立方根为核心，通过基础达标练（5大题型）、能力提升练、拓展培优练三层设计，构建从概念理解到综合应用再到创新探究的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标练|立方根定义、性质、基本运算、简单应用|以选择、填空为主，如“求立方根等于本身的数”夯实抽象能力| |能力提升练|立方根与平方根综合、方程求解、数轴化简|解答题为主，如“已知立方根求字母值并计算平方根”培养运算能力| |拓展培优练|规律探究、几何应用、数学文化|探究题为主，如“立方根规律归纳”“三角形形状判定”发展推理意识与创新意识|

5.5立方根 （5大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 求一个数的立方根 题型二 已知一个数的立方根，求字母的值 题型三 根据立方根的定义解方程 题型四 涉及立方根的混合运算 题型五 理解辨析题 题型一 求一个数的立方根 1．立方根等于本身的数有（     ） A．1 B．1和0 C．和0 D．0和 【答案】D 【分析】此题主要考查了立方根的运用，熟练掌握一些特殊的数字的特殊性质，如：，0．牢记这些数的特性可以快捷的解决这类问题． 利用立方根的特殊性质即可求解． 【详解】解：立方根都等于它本身的数是0，1，． 故选：D． 2．的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：B． 3．已知，则的立方根是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，计算，再计算，解答即可． 本题考查了实数的非负性，有理数的乘法，立方根，熟练掌握运算和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的定义，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：， ， 则的值等于， 故选：B． 5．的立方根是（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查求算术平方根，求一个数的立方根，根据算术平方根的定义求出算术平方根，再求立方根即可． 【详解】解：，的立方根是， ∴的立方根是， 故选：C． 6．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数， 再取立方根，是有理数， 倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：B． 7．（1）立方根等于本身的数为 ； （2）已知，则 ． 【答案】 0，1和 【分析】本题考查立方根、平方根： （1）根据，，可得答案； （2）先计算出x的值，再求它的立方根即可． 【详解】解：（1），，， 立方根等于本身的数为0，1和； 故答案为：0，1和； （2）， ， 当时，， 当时，， 故答案为：． 题型二 已知一个数的立方根，求字母的值 1．已知某个正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，则的算术平方根是（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数可以求得a的值，根据b的立方根是，可以求得b的值，从而可以求得的算术平方根． 【详解】解：∵某个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∵b的立方根是， ∴， ∴， ∴的算术平方根是2． 故选：B． 2．如果正数的平方根是，的立方根是，则的算术平方根= ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根，如果一个数的立方等于，那么这个数就叫做的立方根，据此作答即可． 【详解】解：∵正数的平方根是，的立方根是， ∴，， ∴，，则， ∴的算术平方根是． 3．已知的立方为，，，那么 ． 【答案】9 【分析】根据的立方为，得，根据，得，结合，得，计算即可． 本题考查了立方根，绝对值，求代数式的值，熟练掌握运算法则和定义是解题的关键． 【详解】解：根据的立方为，得， 根据，得， 由，得， 故． 故答案为：9． 4．已知．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，合并同类项，立方根，熟练掌握这些知识是解题的关键． 先将展开，根据，可得，求出a和b的值，进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 5．已知的立方根是的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，代数式求值，根据题意求出的值是解题的关键． （1）根据题意得出，，计算即可得到答案； （2）把代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ， ，； （2）解：当时， 17的平方根是， 的平方根是． 题型三 根据立方根的定义解方程 1．求下列各式中的x的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的应用，熟练掌握立方根的定义是解题的关键， （1）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可； （2）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可； （3）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 2．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查利用立方根解方程，熟练掌握立方根的定义是解题关键． （1）方程两边除以，利用立方根的定义解答即可． （2）利用立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， 解得，． 题型四 涉及立方根的混合运算 1.计算：； 【答案】（1）； 【详解】解：（1） ； 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，求立方根，化简绝对值． 先计算零指数幂，求立方根，化简绝对值，再去括号，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 3．计算：． 【答案】12 【分析】根据算术平方根和立方根的概念求解即可．本题考查算术平方根和立方根，掌握相关概念是解题关键． 【详解】原式． 4．计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，有理数的乘方等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据算术平方根，立方根，有理数的乘方运算即可； （2）根据算术平方根，立方根，绝对值的意义求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型五 理解辨析题 1．下列说法中，错误的是（   ） A．64的立方根是4 B．是的立方根 C．的立方根是2 D．125的立方根是 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的定义，一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．解题关键是掌握立方根的定义． 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，根据立方根的定义分别判断即可． 【详解】解：A．64的立方根是4，正确，不符合题意； B．是的立方根，正确，不符合题意； C．，8的立方根是2，正确，不符合题意； D．125的立方根是5，故D错误，符合题意， 故选：D． 2．下列说法：①任何数都有平方根；②是的立方根；③；④的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要是考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，熟练地掌握概念是解题的关键． 根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行判断即可． 【详解】解：①非负数有平方根，原说法错误； ②2是的立方根，原说法错误； ③，原说法错误； ④的立方根是，原说法错误； ⑤算术平方根不可能是负数，正确； 所以不正确的有4个． 故选：C 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，立方根，掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． 根据算术平方根，立方根，逐个计算判断即可． 【详解】解：A． ，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算错误，不符合题意； C． 无法化简，原计算错误，不符合题意； D． ，原计算正确，符合题意． 故选D． 4．下列说法错误的是（ ） A．的立方根是 B．是的算术平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】D 【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 的立方根是，正确，不符合题意；     B. 是的算术平方根，正确，不符合题意； C. 的平方根是，正确，不符合题意；     D. ，4的平方根是，即的平方根是，故选项错误，符合题意； 故选：D． 5．已知实数a，b，给出以下几个判断： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 其中不正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、立方根等相关知识，属于基本题型，熟练掌握基础知识是解题关键． 根据算术平方根和立方根的意义逐项进行判断，进而可得答案． 【详解】解：因为，所以只有当，时，才满足，所以①不正确； 因为实数的立方根的符号与被开方数相同，所以当时，，所以②正确； 因为，所以a，b中必有一个数是非正数，而负数没有平方根，所以③不正确； 因为实数的立方根的符号与被开方数相同，所以当时，，所以④正确． 故选B 1．记是的立方根，是的算术平方根，则、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定的 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较． 求出P、Q的值，化为，，比较大小即可． 【详解】解：∵P是的立方根，Q是的算术平方根， ∴， ，， ，， ， ∴， 故选：A． 2．如图，a，b，c是数轴上A、B、C对应的实数，化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的运算，立方根，实数与数轴，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键．由数轴可得，则，，利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质化简并计算即可． 【详解】解：由数轴可得， 则，， 原式 ， 故选：C． 3．已知a，b为实数，且，则的值为（    ）． A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根成立的条件，立方根，根据算术平方根的开方数是非负数得到，进而求得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：D． 4．已知，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性和非负数的性质得，求得，再根据立方根与相反数的性质求得，代入求得，再求出9的平方根即可． 【详解】解：因为，且， 所以，所以． 因为与互为相反数， 所以，解得． 当时，， 所以的平方根为． 【点睛】本题考查算术平方根的非负性，非负数的性质，立方根，相反相成数，平方根，正确求出x、y、z的值是解题的关键． 5．已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【答案】(1)，， (2)． 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根的定义、无理数的估算等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a，b的值； （2）根据无理数的估算求出c的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，解得：． （2）解：∵， ， 由（1）得，， ． ，即的平方根是． 6.已知：的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】平方根和立方根的知识． 根据题意计算出a、b、c的值，然后代入计算即可得出结论． ∵的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分， ∴，，， 即，，， ∴， ∴的平方根为． 1．观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100 (2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 2．若实数x的立方根是2，且实数y、z满足． (1)分别求x、y、z的值； (2)若x、y、z是的三边长，试判定的形状，并说明理由； (3)求其最大边上的高． 【答案】(1)，， (2)直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由立方根的定义可求出x的值，由平方和算术平方根的非负性可求出y和z的值； （2）根据勾股定理逆定理求解即可； （3）设最大边上的高为，根据三角形面积公式可得出，代入数据求解即可． 【详解】（1）解：∵实数x的立方根是2， ∴． ∵，则， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴的形状为直角三角形； （3）解：设最大边上的高为， ∵， ∴，即最大边上的高为． 【点睛】本题考查立方根的定义，非负数的性质，勾股定理逆定理，代数式求值，三角形的面积计算．熟练掌握上述知识是解题关键． 3．计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【分析】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． 4．阅读理解 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？以下是东东的探究过程： ∵ ∴ ∴的立方根是 位数 ∵的个位数是9 ∴的立方根的个位数是 ∵ ∴ ∴的十位数是 ∴= ． (1)请你帮东东补充完整上述探究过程； (2)已知：17576也是一个整数的立方，请用类似的方法求出其立方根． 【答案】(1)两，，， (2)26 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方． （1）根据题中所给的过程方法，即可解答； （2）先求出的立方根是两位数，然后根据示例分别求出个位数和十位数即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的立方根是两位数 ∵的个位数是9 ∴的立方根的个位数是9 ∵ ∴ ∴的十位数是3 ∴． 故答案为：两，，，； （2）∵ ∴ ∴的立方根是两位数 ∵只有个位数是的立方数的个位数依然是 ∴的立方根的个位数是 ∵ ∴ ∴的十位数是2 ∴ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.5立方根 （5大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 求一个数的立方根 题型二 已知一个数的立方根，求字母的值 题型三 根据立方根的定义解方程 题型四 涉及立方根的混合运算 题型五 理解辨析题 题型一 求一个数的立方根 1．立方根等于本身的数有（     ） A．1 B．1和0 C．和0 D．0和 2．的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 3．已知，则的立方根是（   ） A． B．2 C． D． 4．的值等于（   ） A． B． C． D． 5．的立方根是（   ） A． B．4 C． D．2 6．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（    ） A． B． C． D． 7．（1）立方根等于本身的数为 ； （2）已知，则 ． 题型二 已知一个数的立方根，求字母的值 1．已知某个正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，则的算术平方根是（   ） A． B．2 C．4 D． 2．如果正数的平方根是，的立方根是，则的算术平方根= ． 3．已知的立方为，，，那么 ． 4．已知．则 ． 5．已知的立方根是的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 题型三 根据立方根的定义解方程 1．求下列各式中的x的值． (1)； (2)； (3)． 2．求下列各式中的值： (1)； (2)． 题型四 涉及立方根的混合运算 1.计算：； 2．计算：． 3．计算：． 4．计算： (1) (2) 题型五 理解辨析题 1．下列说法中，错误的是（   ） A．64的立方根是4 B．是的立方根 C．的立方根是2 D．125的立方根是 2．下列说法：①任何数都有平方根；②是的立方根；③；④的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法错误的是（ ） A．的立方根是 B．是的算术平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 5．已知实数a，b，给出以下几个判断： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 其中不正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．②③④ 1．记是的立方根，是的算术平方根，则、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定的 2．如图，a，b，c是数轴上A、B、C对应的实数，化简结果是（   ） A． B． C． D． 3．已知a，b为实数，且，则的值为（    ）． A．10 B．9 C．8 D．7 4．已知，且与互为相反数，求的平方根． 5．已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 6.已知：的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分，求的平方根． 1．观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 2．若实数x的立方根是2，且实数y、z满足． (1)分别求x、y、z的值； (2)若x、y、z是的三边长，试判定的形状，并说明理由； (3)求其最大边上的高． 3．计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   4．阅读理解 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？以下是东东的探究过程： ∵ ∴ ∴的立方根是 位数 ∵的个位数是9 ∴的立方根的个位数是 ∵ ∴ ∴的十位数是 ∴= ． (1)请你帮东东补充完整上述探究过程； (2)已知：17576也是一个整数的立方，请用类似的方法求出其立方根． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $