精品解析：福建省福州第四中学2026-2027学年第一学期第一次适应性练习高三数学试题

福州四中2026-2027学年第一学期第一次适应性练习 高三数学 一．选择题：（共40分） 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得到集合，再求与整数集的交集，根据集合元素个数计算子集个数即可. 【详解】由，得，即， 所以，共含个元素. 故的子集个数为. 2. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，. 3. 已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A：当，时，，所以本选项不符合题意； 对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； 对于选项C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； 对于选项D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 4. 某地气象部门预报，在国庆期间甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率为0.3．假定这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这段时间内至少有一个地方降雨的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.44 C. 0.56 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式,结合对立事件的概率即可得到结果． 【详解】设“甲地降雨”为事件，“乙地降雨”为事件， 则,， “甲乙两地都不降雨”即事件与同时发生，即， ，， 利用独立事件的性质可知，事件与相互独立， 所以， 所以甲乙两地至少有一个地方降雨的概率为． 故选：B 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，，则，，由余弦的和差公式可得：，， 展开得：， 两式相减得：，则：， 即：. 6. 函数与函数公切线的斜率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可. 【详解】设切点分别为， 且导数为， 所以切斜方程为既为， 也为， 所以， 且， 所以， 所以或， 所以公切线的斜率为或. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率. 7. 双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是上一点，，则的离心率为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过已知数据确定轴，再由双曲线定义，列出关系式即可求解. 【详解】由， 则在中，， 则，则轴， 于是，由于， 则，所以. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得对于恒成立，进而得到函数和在上有共同的零点，可得，进而得到，设，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由，则， 即对于恒成立， 而函数和在上均为增函数， 则函数和在上有共同的零点， 即，则，即， 设，则， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，，且， 则，即的取值范围是. 故选：D 二．多选题：（共18分） 9. 在正三棱台中，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BD 【解析】 【详解】如图，将三棱台补足为三棱锥， 对于A，由于，而与相交，则与相交，故A错误； 对于B，由于平面平面，且平面，则平面，故B正确； 对于C，由于，且，则，又因为在平面内，所以与不垂直，故C错误； 对于D，由于，，且，，平面，则平面，故D正确. 10. 已知为定义在上的函数，对任意的，都有，并且当时，有，则（ ） A. B. 若，则 C. 在上为增函数 D. 若，且，则实数a的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过取特值的方法判断ABC三个选项，结合函数单调性的性质，解不等式判断D选项. 【详解】选项A：令，，或， 当时，任取，与矛盾，，A正确. 选项B：令，，， 当时，，B错误. 选项C：任取，令，，. ，，令， ，与同号， 当时，有，. 又，任取，都有. ，， 函数在上为增函数，C正确. 选项D：由，，. 由，， 由函数在上为增函数，，解不等式得或， 实数a的取值范围为，D正确. 11. 已知函数 ，若及其导函数 的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在区间 上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的最大值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据确定图象中振幅为的对应的图象，进而得，，，根据正余弦型函数的性质可判断BC，D选项结合辅助角公式判断可得. 【详解】由得， 因为，所以， 故由图象可知：，，得，，， 由，得，故A正确； ，由得， 由得， 故在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，故B错误； ，由，得的对称轴为， 故C正确； ，其中，， 故的最大值为，故D错误， 故选：AC 三．填空题：（共15分） 12. 若函数为偶函数，则_____． 【答案】1 【解析】 【详解】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数， ． 考点：函数的奇偶性． 【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取． 13. 已知是奇函数，且当时，.若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】当时，代入条件即可得解. 【详解】因为是奇函数，则当时，，故． 又因为，且，则， 两边取以为底的对数得，解得． 14. 函数的最小值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 四．解答题：（共77分） 15. 已知等差数列的公差，其前项和为，若，，成等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求证：. 【答案】（1） （2） 由，， 得， 由，有，所以，得. 【解析】 【分析】（1）由已知条件列方程组求出数列的首项和公差，可得数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求出，即可得到结论. 【小问1详解】 因为，，成等比数列，， 所以，由，解得， 所以. 【小问2详解】 略 16. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求角； （2）若为锐角三角形，且，求的面积. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意化简可得，即，根据正弦定理解三角形即可求解； （2）由题意可得是的重心，即，根据三角形面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 在中，由得， ， ， ，， 又， ，，， 由正弦定理得或， ，，两个解均符合题意. 【小问2详解】 因为为锐角三角形，所以， ， ， 是的重心， ， 所以的面积为. 17. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）求的单调区间； （3）若区间，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）增区间为和，减区间为和 （3） 【解析】 【分析】（1）求出和点，由点斜式直接写出方程. （2）利用导函数的性质判断单调性. （3）结合的范围对进行分类讨论，在的不同范围内判断a的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，又，切线过点且斜率为，则所求切线方程为． 【小问2详解】 由题知函数定义域为， ，令，，解得或， 由，， 则由，可得或，由，可得或， 则的增区间为和，减区间为和． 【小问3详解】 由（2）得，当时，在和上单调递增，在和上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 而，与题意不符，舍去； 当时，，则在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则，解得． 当时，在上，但在处无定义，舍去． 综上所述，a的取值范围是． 18. 已知球的半径为1，在球的内接八面体中，顶点分别在平面两侧，且四棱锥与都是正四棱锥． （1）如图1，若点O在平面ABCD上，求证：平面QBC； （2）如图2，若二面角的正切值为，求该内接八面体的体积． 【答案】（1）证明：如图，连接AC，则AC必过点O， 在四边形PAQC中，由于对角线AC，PQ互相平分， 则四边形PAQC为平行四边形，故， 由于平面QBC，且平面QBC， 所以平面QBC； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由正棱锥性质推知，然后由线面平行的判定得到证明； （2）建立空间直角坐标系，由二面角的条件求出八面体的高和四边形的边长，进而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点B作，记正方形ABCD的中心为N，连接NA，NB， 由于平面ABCD， 平面ABCD，则，， 且，则BC，BA，BH两两垂直， 如图，以点B为坐标原点，以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，BH所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 由对称性，不妨设点O在N的下方，设， 则，，， 于是点，，，， 设平面PAB的一个法向量为，， ， 由，， 令，则，， 于是平面PAB的一个法向量为， 设平面QAB的一个法向量为， ，， 由，则， 令，则，， 于是平面QAB的一个法向量为， 设二面角P﹣AB﹣Q的平面角为θ，，则， 则 则， 则， 即内接八面体的体积为． 19. 已知双曲线的实轴长为4，且经过点. （1）求的方程； （2）记的右顶点为，点在线段（不含端点）上运动，垂直于轴的直线交于点（在第一象限），点满足，设直线与的另一个交点为. （i）用表示直线的斜率； （ii）证明直线过定点. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）由（i）可知， 即. 由题意可知，直线的斜率显然存在， 设直线，联立，消得 ， ， ， 所以， 所以直线， 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）由已知列方程组求出，得到双曲线方程； （2）（i）先由点求出直线方程，得到的坐标，再根据向量得到的坐标，由斜率公式求解；（ii）先结合（i）的结论推出，再设出直线的方程并与双曲线方程联立，通过韦达定理和斜率关系推导出直线方程中的参数关系，进而确定直线所过的定点。 【小问1详解】 由题意可知， 解得， 故的方程为. 【小问2详解】 （i）因为，所以直线方程为， 由于，故， 因为，所以， 所以. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州四中2026-2027学年第一学期第一次适应性练习 高三数学 一．选择题：（共40分） 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ，， 4. 某地气象部门预报，在国庆期间甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率为0.3．假定这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这段时间内至少有一个地方降雨的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.44 C. 0.56 D. 0.6 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数与函数公切线的斜率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是上一点，，则的离心率为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题：（共18分） 9. 在正三棱台中，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 10. 已知为定义在上的函数，对任意的，都有，并且当时，有，则（ ） A. B. 若，则 C. 在上为增函数 D. 若，且，则实数a的取值范围为 11. 已知函数 ，若及其导函数 的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在区间 上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的最大值为3 三．填空题：（共15分） 12. 若函数为偶函数，则_____． 13. 已知是奇函数，且当时，.若，则__________. 14. 函数的最小值为______. 四．解答题：（共77分） 15. 已知等差数列的公差，其前项和为，若，，成等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求证：. 16. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求角； （2）若为锐角三角形，且，求的面积. 17. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）求的单调区间； （3）若区间，求实数a的取值范围． 18. 已知球的半径为1，在球的内接八面体中，顶点分别在平面两侧，且四棱锥与都是正四棱锥． （1）如图1，若点O在平面ABCD上，求证：平面QBC； （2）如图2，若二面角的正切值为，求该内接八面体的体积． 19. 已知双曲线的实轴长为4，且经过点. （1）求的方程； （2）记的右顶点为，点在线段（不含端点）上运动，垂直于轴的直线交于点（在第一象限），点满足，设直线与的另一个交点为. （i）用表示直线的斜率； （ii）证明直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $