精品解析：福建省福州第一中学2027届高三第一学期第二次质量检测数学试题

福州一中2027届高三第一学期第二次质量检测 高三数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 3 5. 已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 6. 已知函数，若函数为偶函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知实数，满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则下列结论正确的有（ ） A. 对任意，函数的图象存在对称轴 B. 曲线在处的切线方程为 C. 当时，函数的最小值为 D. 当时，是函数的极小值点 11. 已知a，b，c均为大于1的实数，若，则的大小关系可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______． 13. 已知函数为偶函数，且满足，当时，，则实数_________，_________. 14. 某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知， （1）求 （2）设，求边上的高. 16. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 17. 已知数列的前项和满足为常数，且. （1）求的值； （2）证明：为等差数列； （3）若，求的取值范围. 18. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）设有且仅有一个极值点，求的取值范围； （3）若函数存在2个极值点，，且满足，求证：. 19. 分离函数的思想在现代数学的不少分支如凸分析、拓扑学等中有很多体现，在应用数学如信号理论、数据聚类与分类分析等分支中也有不少运用.在初等数学中，若有三个互不相同的函数，，，当在某个区间上恒有成立时，可以作为和在该区间上的分离函数. （1）试判断是否可以作为和在区间上的分离函数；请说明理由； （2）请直接写出一个二次函数，使得它是函数和函数在区间上的分离函数，并证明你的结论； （3）若存在实数和，使得函数可以作为函数和函数在区间上的分离函数，且满足，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2027届高三第一学期第二次质量检测 高三数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由集合，则满足，解得， 所以，可得， 因为，所以. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性化简，即可求解. 【详解】由可得， 故不能得到，但可以得到，故“”是“”的必要不充分条件. 3. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，函数在上单调递增； 对于B，函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 对于C，因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增； 对于D，因为函数和在上单调递减， 所以函数在上单调递减. 4. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由等式求得，然后由基本不等式求得答案. 【详解】因为，所以， 所以. 当且仅当，即时取等号. 5. 已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设奇偶性和对称性条件结合奇偶性定义公式和对称性公式进行分析函数的性质即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以为偶函数， 所以，即，故的图象关于直线对称， 由的图象关于直线对称得， 即， 即，所以关于对称， 所以，所以， 故是奇函数，所以B选项正确； 因为，又，所以， 即，所以，故C选项错误； 不能得到的奇偶性与的值，故A，D选项错误. 故选：B 6. 已知函数，若函数为偶函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】令， 因为函数为偶函数，且为三次函数， 所以为奇函数，即， 所以， 即， 即， 所以，解得. 7. 已知实数，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，通过分析其奇偶性和单调性，结合已知条件建立等量关系，进而求解与的关系. 【详解】设，， 所以为奇函数. ，因为，所以， 所以在上单调递增. 由，所以， 所以； 由，所以， 即，因为为奇函数， 所以，所以， 所以，又在上单调递增， 所以，即. 8. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算函数和在点和点处的切线斜率，得到，再结合，化简即可求解. 【详解】对求导得：， 则在处切线斜率为，且 对于求导得：， 则在处切线斜率为，且 由题意可得：，即 又切线斜率， 可得：，即， 所以， 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用对数函数的性质判断A的真假；利用指数函数的性质判断B的真假；利用基本不等式判断CD的真假. 【详解】对A：因为，，所以，所以，故A错误； 对B：因为，所以，故B正确； 对C：因为，当且仅当即，时取等号.故C正确； 对D：因为，故D正确. 10. 设函数，则下列结论正确的有（ ） A. 对任意，函数的图象存在对称轴 B. 曲线在处的切线方程为 C. 当时，函数的最小值为 D. 当时，是函数的极小值点 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据的关系式，判断函数为偶函数，图象关于轴对称；B选项，根据，求出， 再分别求出点和斜率，即可写出切线方程；C选项，构造，可证时，从而在单调递增，根据偶函数的对称性即可得最小值； D选项，先求出，为奇函数，分析时，的零点情况，结合零点存在定理确定的零点个数，根据为偶函数的对称性得到的零点个数，结合导数正负变化即可判断极值情况. 【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称. 对于A：因为， 所以是偶函数，图象关于轴对称，故A正确； 对于B：由，则，当时，，， 则曲线在处得到切线方程为，故B错误； 对于C：当时，为偶函数，只需研究即可. 因为，令， 则. 因为，所以当时，，故； 当时，，故， 因此在恒成立，则在单调递增，所以， 即，所以在单调递增， 由偶函数的对称性，在单调递减， 故在处取到最小值为，故C正确； 对于D：由，得为偶函数， 所以，令，则为奇函数， 所以，令，则为偶函数， 所以，令，则， 当时，，则在上单调递增； 所以，即，所以在上单调递增； 由为偶函数，得在上单调递减，且； 因为，所以；当时，； 所以存在，使得，则当时，，； 当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增； 因为， 时，；所以当时，存在唯一的使得， 即时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增；当时，在处取得极小值； 因为为偶函数，图象关于轴对称，则在上单调递增，在上单调递减； 所以在处也取得极小值，在处取得极大值， 故D错误. 11. 已知a，b，c均为大于1的实数，若，则的大小关系可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，，则利用对数的运算性质可得，分类讨论后可得或者或者，据此逐项判断后可得正确选项. 【详解】设，，由均为大于1的实数，故， 因为， 因为，所以，同理，，原不等式转换为， 两边同时乘以，则， 得，整理得， 即，得到. 当时，则，即，因为，解得； 则，即，因为，解得； 同理，即，解得； 当，解得； 同理，即，解得； 当，解得； 要使得成立，故必须满足三个因式都是正数，或者两负一正， 所以有以下四种情况： （1）三个因式都是正数 即整理得. （2）三个因式中两负一正时 即无解. 即整理得. 即整理得. 所以的大小关系为或者或者这三种情况. 对于A项，当的大小关系为时，有成立， 即可能成立，故A正确； 对于B项，不妨设，满足且， 所以这种情况可能成立，故B正确； 对于C项，不妨设，满足且， 所以这种情况可能成立，故C正确； 对于D项，所有对应的值，一定会有，故D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】由根号下的非负性与分母不为零的限制即可求解. 【详解】由题意得即， 且即，解得或， 综上，所以函数的定义域为. 13. 已知函数为偶函数，且满足，当时，，则实数_________，_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由偶函数和等量关系，求函数的周期，然后得到，由二次函数对称轴求得实数，由周期求得. 【详解】由题意可知，因为，所以， 所以，所以函数的周期， 令，则， 又因为， 所以，由二次函数的对称性可知，当时，函数关于对称， 所以，所以，所以当时，， 所以. 14. 某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 【答案】20 【解析】 【分析】分别讨论在各个边的情况，结合三角形面积公式与基本不等式即可求得水管的最短长度. 【详解】由，可得是直角三角形，其面积， 不妨设， ①若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ②若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ③若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； 因为，所以的最小值为20，即水管的最短长度为20米. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知， （1）求 （2）设，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理求出，再由，结合平方关系可求的值； （2）结合（1）可得，再利用三角形面积相等可求得边上的高. 【小问1详解】 在中， ，， 而A为三角形内角， ， ， 整理得，得， 又，且， 【小问2详解】 由正弦定理得， 得， 由（1）得，，， ， 设边上的高为h，则， 边上的高为 16. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）先对求导得到切线斜率表达式,利用切点横坐标,代入导数得切线斜率等于2,求出,再把代入原函数,结合切线方程在处的函数值求出. （2）先写出解析式并求导,函数在区间单调递增转化为导函数在区间上恒大于等于0,分离参数后转化为小于等于新构造函数在区间上的最小值,再研究构造函数的单调性求出最小值,即可得到的取值范围. 【小问1详解】 已知，求导得. 曲线在点处的切线方程为，切线斜率，且. 代入计算：，. 故，. 【小问2详解】 由（1）得，则. 求导得. 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立. 令，，求导得. 因为时，，所以，即在上单调递增. 因此. 故，即的取值范围为. 17. 已知数列的前项和满足为常数，且. （1）求的值； （2）证明：为等差数列； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 由（1）可得，所以， 因此， 相减得， 得， 所以为等差数列. （3） 【解析】 【分析】（1）由关系式取可得，结合及条件求； （2）将关系式中的用替换，与原式相减，结合与关系可得递推式，再证明结论； （3）由（2）求，代入不等式可得恒成立，由此可求的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以，又， 所以. 又，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得， 由，得. 因为对恒成立， 所以. 18. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）设有且仅有一个极值点，求的取值范围； （3）若函数存在2个极值点，，且满足，求证：. 【答案】（1）的单调递减区间是；无单调递增区间 （2） （3）证明：由，可得， 令，则，由，得，由得， 故在上单调递减，在上单调递增，且，当时，， 因，对于，有，，故，， 则由，得，又，故， 令，，则， 因，，则，故在上单调递增， 又，，， 则在上存在唯一解，∴， 又， ， 则有，故， 故可得. 【解析】 【分析】（1）对函数求导后，再次构造函数研究导函数的最值，由导函数恒小于0，可得到原函数在定义域内单调递减； （2）方法一：通过对参数分类，分析函数单调性，利用零点存在定理判断变号零点个数，即可确定仅有一个零点时的取值范围； 方法二：将参数分离，转化为函数图象交点问题，研究新函数单调性与极限，判断方程变号根的数量即可； （3）由极值点条件得到，利用函数单调性，结合放缩构造，借助零点与函数值即可证明. 【小问1详解】 当时，， 则，令， 则， 令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以对任意，函数恒成立，即在上单调递减， 所以的单调递减区间是；无单调递增区间. 【小问2详解】 因为，， 则， 方法一：设，则； 则有且仅有一个极值点，等价于有且仅有一个变号零点. ①当时， 因为恒成立，所以， 所以在上单调递增， 且， 且 【左边取点思路：不妨限制在时取点，因为，所以， 所以，解得】 所以有唯一变号实数根， 且时，时， 所以有且仅有一个极小值点，符合题意. ②当时，令得， 由，得，令，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以最大值为， 令，则， 所以在单调递减，并且， 所以时；时， （ⅰ）若，，即，所以无变号零点，不满足题意； （ⅱ）若，，即， 取，， 取，， 结合，在上单调递增，在上单调递减， 所以在，上分别存在一个变号零点，有2个极值点，不符合题意. 【左边取点思路：因为，，所以， 所以，解得】 【右边取点思路：先证明，在时取点， 因为，所以丢掉放缩， 所以， 解得】 综上所述，的取值范围是. 方法二：由可得，令，， 则， 令，则， 所以在上单调递减，且， 则当时，，，即在上单调递减， 当时，，则，即在上单调递增， 又因为，且时，；且时，， 时，， 要使得有且只有一个变号根，故. 【小问3详解】 略 19. 分离函数的思想在现代数学的不少分支如凸分析、拓扑学等中有很多体现，在应用数学如信号理论、数据聚类与分类分析等分支中也有不少运用.在初等数学中，若有三个互不相同的函数，，，当在某个区间上恒有成立时，可以作为和在该区间上的分离函数. （1）试判断是否可以作为和在区间上的分离函数；请说明理由； （2）请直接写出一个二次函数，使得它是函数和函数在区间上的分离函数，并证明你的结论； （3）若存在实数和，使得函数可以作为函数和函数在区间上的分离函数，且满足，求的最大值. 【答案】（1）可以.理由如下： 因为恒成立，且恒成立. 所以可以作为和在区间上的分离函数. （2）函数(答案不唯一，，都可以) ①先证，令，，则， ，在单调递减，， 所以 ②再证， 令，定义域. 求导：. 因为，所以，，，故恒成立. 所以在上单调递增，. 所以，即成立. （3） 【解析】 【分析】（1）根据分离函数的定义判断即可； （2）根据分离函数的定义，利用导数法分别判断和，即可得解 （3）利用函数的奇偶性，二次函数的单调性，以及利用函数导数求函数在某点处切线方程，韦达定理，结合分离函数的定义分析即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由各函数在区间上的函数值大小关系， 记，， 则根据函数形态可以画出草图如下. 由于和都是偶函数，图像关于轴对称， 要使为和在的某个子区间上的分离函数， 且当时，恒成立， 所以存在使得直线与的图像相切，并且切点的横坐标， 在上，对求导得，， 则当时，的图像在处的切线方程为， 即，于是，. 设直线与的图像交于点，， 由得， 则， 所以，，. 由二次函数在时单调递减， 因此当时，取得最大值. 其几何意义为，当直线为水平线时， 作为分离函数的区间长度达到最大值， 即直线与的两个交点的距离. 综上，最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $