福建泉州市泉港区第二中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试卷

2026年秋季泉港二中高三年段第一次月考数学试卷 命题：庄宗龙 审核： （本试卷共150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.下列函数中是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 2.已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 3.在中，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D.－1 4.已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 5.设等比数列的前项和为，若，，则（ ） A.75 B.150 C.180 D.210 6.已知平面向量均为单位向量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7.设函数在区间内的两个零点分别为，，则（ ） A. B. C. D. 8.函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9.已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B.复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限 C.将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为 D.若复数是关于的方程（其中，）的一个根，则 10.已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A.最大值为 B.的最小值为 C.最小值为 D.最小值为 11.已知圆：，则（ ） A.圆心在曲线上 B.存在两个不同的实数，使得圆过点 C.存在四个不同的实数，使得圆与直线相切 D.存在两个不同的实数，使得直线平分圆的面积 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12.若在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为______． 13.设集合，若集合S的所有非空子集的元素之和是64，则______． 14.已知椭圆：的左焦点为，点在上，点，且，则点到轴的距离为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.（13分）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求的大小； （2）若，求的范围. 16.（15分）已知幂函数在上单调递减． （1）求的解析式； （2）若命题：，为假命题，求实数的取值范围； （3）求不等式的解集． 17.（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； 18.（17分）从5名优秀大四学生中抽选人员分3批次到某公司参与实习.每次实习需要同时派送2名学生，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀大四学生中，2人有实习经验，3人没有实习经验． （1）求5名学生中的＂小张＂，在这3批次实习中恰有两次被抽选到的概率； （2）求第一次抽选到有实习经验学生的人数的分布列及数学期望； （3）设第二次抽选时，选到没有实习经验学生的人数为，判断与的大小，并加以说明． 19.（17分）已知函数． （1）讨论在上的单调性； （2）证明：当时，； （3）设，，点关于直线对称的点在曲线上，证明：． 2026年秋季泉港二中高三年段第一次月考数学试卷 命题：庄宗龙 审核： （本试卷共150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.D 2.D【详解】将函数展开可得，，由二次函数的对称性可推出． 3.D 利用向量的线性运算，结合，化简得到，对照题设即得的值. 【详解】因为，可得， 所以，又因为，所以. 4.A 【详解】依题意得，又，所以. 5.【答案】C 整体代换方法的应用更快捷 【分析】根据题意，结合等比数列的前项和的性质即可求解． 【详解】已知等比数列的前项和为，设等比数列的公比为，根据等比数列的前项和的性质，，，，等构成一个公比为的等比数列， 已知，，则，所以， 所以，即，，即，因此，故C正确． 6.A 计算的模，再利用向量模的三角不等式求解的最小值． 【详解】由题意知，，，均为单位向量，故，且，，得，故，， 对任意平面向量，，有，等号成立当且仅当与反向， 令，，，代入得：，当与反向时等号成立，故的最小值为． 7.D 整体代换方法的应用 先根据零点的定义及余弦函数图象的对称性可得，再根据二倍角公式及同角三角函数平方和为1的关系，即可求出的值. 【详解】令，则，又，为的两个零点，则，，所以， 根据余弦函数图象的对称性可得，与关于对称， 又，则，所以，即， 所以， 又，， 则， 所以. 8.A 设函数值为，将原式变形为正弦型函数等式，结合正弦函数的有界性列不等式求解值域． 【详解】（法一：辅助角法；法二：斜率法；法三：求导） 设，由于， 故原式可变形为：， 由辅助角公式，左边可整理为， 其中为辅助角，因此有：， 根据正弦函数的有界性，可得：， 两边均为非负数，平方后得：，即得，即， 解得， 即函数的值域为． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9.ABD 根据复数的除法运算得到，据此逐项判断即可． 【详解】解：由复数满足，得，所以，故A正确； 复数的共轭复数是，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B正确；复数对应的点为，绕原点按顺时针方向旋转，得到的点为，所以所得向量对应的复数应为，故C错误； 由是关于的方程的一个根，得另一个根为，所以，解得，所以，故D正确. 10.ABC 【分析】题可知，，且，利用基本不等式可判断A，C；构造二次函数型可判断B；对两边同时平方，利用基本不等式可判断D． 【详解】因为，是正数，且， 所以不等式可知，即，得， 当且仅当，即，取得等号，所以的最大值为，所以A正确； 因为，是正数，且，所以，，且， 所以， 当时有最小值为，所以B正确； 因为， 当且仅当且即时取等号， 此时最小值为，所以C正确． , 当且仅当，即，取得等号， 因为，是正数，所以最大值为，故D不正确；故选：ABC． 11.解：对于选项A，圆：，可得圆的圆心为， 又，所以圆的圆心在曲线上，所以A选项正确； 对于选项B，若圆：过点，则， 设函数，其函数图象连续不断，且， ，， 根据零点存在性定理可知方程恰有两个实数根，所以B选项正确； 对于选项C，若直线与圆：相切，则圆心到直线的距离等于半径， 即，化简得， 即或者， 令，则，令，得， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以方程有唯一解，方程有两个解， 所以存在三个不同的实数，使圆与直线相切，所以C选项错误； 对于选项，直线平分圆的面积，等价于直线过圆心，即， 令函数，则，令得， 所以在单调递减，在单调递增， 且，，， 函数图象连续，由零点存在性定理，共有两个零点， 所以存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积，所以D选项正确． 故选：ABD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12.e 13.答案：8 解析：易知S的非空子集为，，，，，，，，，，，，，，，则所有非空子集的元素之和为，得． 14. 设点，写出向量坐标，利用向量点积公式建立方程；结合椭圆方程消元求出，再代入椭圆求，即为点到轴的距离． 【详解】椭圆：，，，，左焦点． 设，则，， ， 整理得：，由椭圆方程得：， 代入上式得：，整理得， 解得或．又因，则， 将其代入椭圆方程：，解得， 即点到轴的距离为． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.【详解】（法一：射影定理；法二：正弦定理；法三：余弦定理） （1）因为， 由正弦定理得．即， 因为在中，，所以， 又，所以． （2）（法一：正弦定理；法二：余弦定理） 因为，，结合正弦定理，得. 所以，． 在中，． 所以 ． 因为为锐角三角形，所以，解得. 则．所以． 所以． 16.【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性来确定m的值，进而得到的解析式； （2）先根据命题的真假性得到其否定命题为真命题，再通过换元法将问题转化为求函数的最值问题； （3）根据幂函数的解析式列出不等式，然后求解不等式． 【详解】（1）因为是幕函数，所以，解得或； 当时，，在上单调递减，符合题意； 当时，，在上单调递增，不符合题意，舍去； 所以，的解析式为； （2）因为命题“，”为假命题， 所以其否定“，”为真命题； 由（1）知，则，所以在上恒成立，即在上恒成立；设，，在上单调递增； 则，因为在上恒成立，所以， 即实数的取值范围是； （3）（法一：穿针法；法二：讨论法） 由，不等式 即为 ， 由＂数轴标根法＂求得不等式的解集为：． 17.【答案】解：（1）略 （2）∵，，故， 由余弦定理：， 即，得：， ∵是的角平分线，∴， ∴的面积为：， 即， 即，即，∴． 18.【详解】（1）（法一：古典概型求解；法二：二项分布求解） 法一： 法二：每次从5人中选2人，小张单次被抽中的概率为， 3次抽选是独立重复试验，设这3批次实习中小张被抽选到的次数为，则， 因此恰有两次被抽选的概率； （2）因为表示第一次抽选的2人中，有实习经验的人数，所以的可能取值为0，1，2， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以； （3）， 由已知事件表示第二次抽到的2人都有实习经验，事件表示第二次抽到1名无实习经验、1名有实习经验的学生， 由（2），，， 第二次抽选仍从全部5人中随机选2人，， 若第一次选了个有实习经验的学生，则第一次抽选后没有实习经验的学生数为, 因此，所以，， 若第一次选了个有经验的学生，则第一次抽选后没有实习经验的学生数为， 因此， 所以 故． 19.（1）解：对求导得： 当时，，，故； 当时，，， 故，结合得． 因此在上单调递增． （2）证明：令, 则， 求导得， 令，则， 当时，，，故，在单调递增， 因此， 故在单调递增，，即． （3）证明：由题意，点在上，故，由（2）知． （1）证右半部分 由（1）知在单调递增，由（2）知对任意，， 故，，以此类推，迭代2026次得： ，右半部分得证． （2）证左半部分 要证，即证， 令，则， 令，则：， ， 当时，，，故， 在单调递增，又，故，，在单调递增． 学科网（北京）股份有限公司 $