精品解析：江苏省新海高级中学2026-2027学年度第一学期高一第1次月考数学试题

新海高级中学2026—2027学年度第一学期 高一数学（第1次月考） （时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，则满足条件⫋的集合M的个数为 A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 5. 近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤、b元/斤，学校甲食堂和乙食堂购买牛肉的方式不同，甲食堂每周购买6000元钱的牛肉，乙食堂每周购买80斤牛肉，甲食堂、乙食堂两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. ，的大小无法确定 6. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 高斯，著名的数学家､物理学家､天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4小题，每小题6分，共24分） 9. 已知正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 11. 用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A. ； B. ； C. “”是“”的必要不充分条件； D. 若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合的所有非空子集的所有元素之和为10，则______． 13. 设为实数，已知二次函数有两个零点，且都在区间内，则的取值范围是______. 14. 若关于的不等式的解集是，且中有且仅有1个整数，则实数的取值范围是__________. 四、填空题（本题共5小题，共77分） 15. （1）计算：； （2）； （3）若，求的值. 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 17. 如图圆和矩形的周长均为. （1）当矩形为正方形时，比较两个图形的面积，并由此解释人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因. （2）当时，设，把沿向折叠，折过去后交于点，求面积的最大值. 18. 已知函数． （1）若的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． （1）若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； （2）若集合是“封闭集”，且，求集合； （3）设集合是“封闭集”，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新海高级中学2026—2027学年度第一学期 高一数学（第1次月考） （时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将集合进行一元二次不等式化简然后与集合取交集即可. 【详解】，，则， 故选：D. 2. 已知命题，则的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可求得. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知： 命题的否定. 故选：B. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解分式不等式，再利用充要条件的判断方法即得. 【详解】由， 因是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知集合，则满足条件⫋的集合M的个数为 A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知集合M是集合B的非空子集；集合B中有3个元素，因此非空子集有个 5. 近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤、b元/斤，学校甲食堂和乙食堂购买牛肉的方式不同，甲食堂每周购买6000元钱的牛肉，乙食堂每周购买80斤牛肉，甲食堂、乙食堂两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. ，的大小无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出，的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意得，，故， ， 故， 故选：C 6. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用不等式的性质判断，不一定成立的不等式可举反例说明． 【详解】由题意可知，.当时，，，则排除A，B； 因为，， 所以， 所以. 因为， 所以， 所以，则C一定成立； 因为，， 所以， 所以. 因为， 所以， 所以，则排除D. 故选：C． 7. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，转化为不等式在区间上有解，利用基本不等式，求得最小值，得出的取值范围，即可得到答案. 【详解】由题意知，不等式在区间上有解， 即不等式在区间上有解， ， 当且仅当，即时等号成立，所以最小值为， 所以，解得，所以实数的最小值为. 8. 高斯，著名的数学家､物理学家､天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式可化为，分三类情况讨论解集，由不等式的解集为，求的取值范围. 【详解】不等式，即， 方程，可得或， 当时，不等式为，解得，所以，不合题意； 当时，，由，解得， 由不等式的解集为，所以有，解得； 当时，，由，解得， 由不等式的解集为，所以有，解得. 综上，的取值范围为. 故选：D 二、多选题（本题共4小题，每小题6分，共24分） 9. 已知正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用已知条件、基本不等式可判断A，B，C选项，D选项举反例可得答案. 【详解】对于A，，， ，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，由不等式，可得， 即，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，由， 当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，由，可取， 则，故D错误. 故选：AB. 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题知，且方程的解为，根据韦达定理得，由此根据不等式的性质逐项求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且方程的解为，故A正确； 则，即， 因为，所以，即， 则不等式的解集为，故B正确； ，，故C错误； ，即， 解得或，故D正确. 故选：ABD. 11. 用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A. ； B. ； C. “”是“”的必要不充分条件； D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据集合新定义结合一元二次方程逐个分析即可. 【详解】对于A，当时，，此时，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B错误； 对于C，当时，，所以，，所以，所以； 当时，因为，所以或， 若，满足，解得； 若，因为方程的两个根都不是方程的根，所以需满足，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，因为，要得，所以或，由C可知：或， 所以，所以，故D正确； 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合的所有非空子集的所有元素之和为10，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】写出集合的所有非空子集，然后根据题意列出等式，化简即可求解. 【详解】集合的非空子集有， 依题意, 所以 故答案为：5. 13. 设为实数，已知二次函数有两个零点，且都在区间内，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数两个零点均小于0的性质，结合判别式、韦达定理列不等式组，求解后取交集即可得到m的取值范围. 【详解】因为二次函数有两个零点，且都在区间内， 所以有，解得或， 综上所述，的取值范围是. 14. 若关于的不等式的解集是，且中有且仅有1个整数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分和进行讨论，对时还需分和进行分类讨论，注意单独验证的情况. 【详解】当时，由，得到，解得， 又只有个元素，所以不合题意， 当时，由，得到或， 又因为，则， 若，则的解集为或，显然不合题意， 若，要使只有个元素， 当时，此时解集为，不合题意舍去， 当时，则或， 解得或， 故答案为：. 四、填空题（本题共5小题，共77分） 15. （1）计算：； （2）； （3）若，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）运用指数运算律进行求解； （2）运用对数运算律进行求解； （3）运用完全平方公式及指数运算律求解. 【详解】（1） ； （2） ； （3）因为，，所以，所以. 当时，化简得，解得，即， 所以符合题意； 当时，化简得，解得，即， 所以符合题意； 所以原式的值为. 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入集合，再计算出集合，求出后再计算即可得出答案； （2）由“”是“”的必要条件得到，根据集合的包含关系计算即可得出答案； （3）由的关系分类讨论即可得出答案. 【小问1详解】 把代入集合得， 因为，所以，即， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要条件， 所以，又，且， 则有不等式组，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，，且， 所以有或，解得或， 因为，所以或， 综上所述实数的取值范围为. 17. 如图圆和矩形的周长均为. （1）当矩形为正方形时，比较两个图形的面积，并由此解释人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因. （2）当时，设，把沿向折叠，折过去后交于点，求面积的最大值. 【答案】（1）圆面积大于正方形的面积；原因为： 由题意可得圆半径为，面积为； 正方形边长为，面积为， 所以，故. 因此，相同材料制成的自来水管，横截面周长相同的条件下为圆形时面积大，因而出水快. （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算圆的面积和正方形的面积，作差比较即可. （2）设，则，利用已知条件求出，可求得三角形面积，然后利用基本不等式即可求解面积的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， 设，则， 由已知可得， 因为，所以， 所以， . 由得， 解得，. 所以的面积为 ， 当且仅当，即时得面积的最大值为. 18. 已知函数． （1）若的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集得到方程的两根为1，2，代入后得到方程组，求出答案； （2）变形为，分，，，和五种情况，得到不等式的解集； （3）只需，换元后，由基本不等式求出函数最小值，进而得到，求出答案. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为1，2， 所以解得 【小问2详解】 因为，所以． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，不等式可化为，解集为或； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为； ⑤当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 【小问3详解】 由（1）知不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，，故实数的取值范围为． 19. 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． （1）若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； （2）若集合是“封闭集”，且，求集合； （3）设集合是“封闭集”，证明：． 【答案】（1） 集合是“封闭集”，理由如下： 集合中，因为，，所以集合不是“封闭集”． 集合中， 因为，，，，，， 所以集合是“封闭集”； （2） （3） 因为是“封闭集”， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 由集合元素的互异性可知 所以，，，，， 所以， 即 命题得证． 【解析】 【分析】（1）根据“封闭集”的定义分析判断； （2）根据“封闭集”的定义结合可求出，从而可求出集合； （3）根据是“封闭集”，结合“封闭集”的定义及集合中元素的互异性，求出，，，，，，相加可得递推式，进而可证得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，且是“封闭集”，由于， 所以，则，所以， 又因为，所以， 则，，， 由集合的元素互异性可知，，而，所以， 故集合； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题考查集合中元素特征的应用，考查集合的新定义，解题的关键是对新定义的正确理解，利用新定义解决问题，考查计算能力和推理能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $