精品解析：江苏苏州市西安交通大学苏州附属中学2026-2027学年高一年级第一次阶段练习数学试卷

西安交通大学苏州附属中学2026－2027学年高一年级 第一次阶段练习数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集运算得到答案. 【详解】集合与的公共元素为2，3，所以. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】全称量词命题和存在量词命题的否定规则是：改量词，否结论， 所以的否定是. 3. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】分别判断两个函数的定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误； 对于C，与的定义域均为，对应关系相同，故与是同一个函数，正确； 对于D，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误. 4. 设集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 又，，所以. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】，， 由不能推出，由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 6. 已知命题为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为命题为假命题， 所以命题为真命题， 所以， 令， 在上单调递增，在上单调递减. 又， 所以，所以. 所以的取值范围为. 7. 函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由题设有对一切实数恒成立， 若，恒成立， 若，则，故， 综上，. 8. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将，变式得，代入到目标式中，再利用基本不等式性质，求解即可. 【详解】已知正实数满足，所以（，因为） 将代入目标表达式，得：， 化简：， 利用基本不等式可得：， 当且仅当，即，，（符合为正实数）. 所以，的最小值为： 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知函数满足，则 D. 已知实数，满足，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据具体函数的定义域求解判断即可；对于B，根据抽象函数的定义域求解判断即可；对于C，利用配凑法求解即可；对于D，先得到，再根据不等式的基本性质求解判断即可. 【详解】对于A，由，解得且， 则的定义域为，故A正确； 对于B，因为函数的定义域为， 所以，则，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，由，且， 则，，故C错误； 对于D，设， 则，解得，则， 又，则， 所以，则的取值范围是，故D正确. 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三个二次的关系，结合韦达定理用表示，再逐项判断即得. 【详解】由不等式的解集为或， 得是方程的两个实根，且， 则，即，ACD正确； 不等式，解得，B错误. 11. 已知a，b均为正实数，且，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用基本不等式即可解得；对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案；对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案；对D，将原式变化为，进而化简，然后设，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案. 【详解】因为，均为正实数，且， 对A, ，当且仅当时取“=”，正确； 对B， ，当且仅当时取“=”，正确； 对C， ，当且仅当时取“=”，错误； 对D， ，设， 则上式， 当且仅当时取“=”，正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则a＝______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，或者，即或， 当时，，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，，符合题意； 所以. 13. 若，且恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】因，则，则， 等号成立时， 因恒成立，则 ， 故实数的取值范围是. 14. 记集合中元素个数为．已知集合．若，则___________；若，则可能值的集合为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据集合的新定义，当时直接计算得解；当时可得或，分别讨论求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，，所以， 所以； 由，，可得或， 当时，由于是方程的一个根，则，因此方程无实根，即； 此时方程变为，也无实根，故即方程只有1个根， 此时满足题意； 当时，即方程有3个根， 因为时方程只有1个根，所以，此时，各有1个根， 且都不满足方程， 所以有相等实数根，即，解得， 综上可知，可能值的集合为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； （2）若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为集合A中有两个元素， 所以关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以，且， 即且， 所以实数的范围是. 【小问2详解】 因为集合A最多有两个子集，所以集合A至多有1个元素， 即关于x的方程无解或只有一个解， 当时，，，只有1个解，符合题意； 当时，若方程有两个相等的实数根，则集合A只有1个元素， 此时，； 若方程没有实数根，则集合A没有元素， 此时，； 综上所述，a的取值范围是. 16. 记全集，已知集合，． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）求出集合与集合B，再利用集合的并集运算即可. （2）根据已知条件可得到：，再利用子集运算即可. 【小问1详解】 当，， 又， . 【小问2详解】 ，. ，解得：， 故的取值范围为. 17. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围． （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【小问1详解】 ， ①当时，满足，此时，解得； ②当时，需，解得或. 综上，的取值范围是或，即. 【小问2详解】 由题意是的真子集， ①当时，满足题意，即，解得； ②当时，需同时满足：，解得：，即. 综上，的取值范围是或，即的取值范围是. 18. 某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），已知污水处理池长为，宽为，深为，四周池壁的建造成本为元/，中间隔墙的建造成本为元/，池底的建造成本为元/． （1）若池底的面积为，求污水处理池的最低建造成本； （2）若污水处理池的建造成本预算为元，且预算恰好用完． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）当为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积．（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不计） 【答案】（1）元 （2）（ⅰ）； （ⅱ）当时，该污水处理池的容积最大，最大容积为． 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程，结合基本不等式即可求解； （2）（i）根据题意，列出方程即可；（ii）结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，设污水处理池的建造成本为元， 则， 又，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以污水处理池的最低建造成本为元. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意知，所以， 整理得， 又，所以，解得， 所以． （ⅱ）由题意，处理池的容积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时最大容积. 19. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【解析】 【分析】（1）由题意知，和3是方程的两根，且，再利用韦达定理即可得解； （2）转化问题为对任意的恒成立，进而求解即可； （3）先因式分解，再讨论的范围，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由题意知，和是方程的两根，且， 所以解得. 【小问2详解】 因为，所以不等式对任意的恒成立， 可化为，即对任意的恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以不等式可化为， 即． 当时，不等式可化为，解得， 则不等式的解集为. 当时，不等式可化为， 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为． 当时，不等式可化为， 而，则不等式的解集为或. 综上所述，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安交通大学苏州附属中学2026－2027学年高一年级 第一次阶段练习数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 设集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知命题为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知函数满足，则 D. 已知实数，满足，则的取值范围是 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 11. 已知a，b均为正实数，且，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则a＝______． 13. 若，且恒成立，则实数的取值范围是___________. 14. 记集合中元素个数为．已知集合．若，则___________；若，则可能值的集合为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； （2）若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围. 16. 记全集，已知集合，． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 17. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围． （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18. 某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），已知污水处理池长为，宽为，深为，四周池壁的建造成本为元/，中间隔墙的建造成本为元/，池底的建造成本为元/． （1）若池底的面积为，求污水处理池的最低建造成本； （2）若污水处理池的建造成本预算为元，且预算恰好用完． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）当为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积．（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不计） 19. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $