安徽省滁州中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

滁州中学2025级高二上第一次月考试卷 数学答案 考试范围：人教A版选择性必修一（空间向量与立体几何+2.1~2.3) 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.在空间直角坐标系中，点A1,2,4)关于平面Oy对称的点的坐标为() A.(1,2,-4) B.(-1,-2,4) C.(1,-2,4) D.(2,1,-4) 【答案】A 【详解】若空间中两点关于平面xOy对称，则它们的x,y坐标相同，z坐标互为相反数， 综上点A(1,2,4)的对称点坐标为(1,2，-4) 2.直线x+a+1)y-1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是() 3兀 A. B 4 C. 42 D.别 【答案】B 【分析】先由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围. 【详解】直线x+(d+)y-1=0aeR)的斜率为G中， 1 由于0>-1，之-1，设倾斜角为a, 2+11 则0≤<兀，-1≤tana<0, 所以3亚sa<元 4 故选：B. 3.已知两条不重合的直线l:ax+2y-1=0和l2:x+(a+1)y-1=0,a∈R,若lL2,则a的值为() A.-2 B.-2或1 C.1 D.-1或2 【答案】A 【详解】两直线1：ax+2y-1=0,2:x+(a+1)y-1=0平行， 刘-aat-,交汉相乘得aa+0)=2→㎡+a-2=0→(a+2a-三 故a=-2或a=1,但两直线不重合，需进一步检验， 1/14 当a=1时，1：x+2y-1=0,1:x+2y-1=0,两直线重合，不符合题意： 当a=-2时，4：-2x+2y-1=0,1:x-y-1=0,两直线不重合，且斜率相等，满足平行 因此a=-2 4.过点A(1,4),且纵横截距的绝对值相等的直线共有()条 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】根据直线的截距式方程，对截距分情况讨论计算即可. 【详解】当横、纵截距均为0时，直线过原点，满足条件，此时方程为y=4x. 当横、纵截距不为0时，直线的截距式方程为+兰=l,由题意知a=b。 a b 当a=b时，方程为产+上=1，代入4,4)，得+4=1，解得a=5,故方程为x+y-5=0, aa 当a=-b时，方程为兰上=1，代入4,4)，得4=1，解得a=-3,故方程为x-y+3=0 aa aa 故满足条件的直线共有3条。 5.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离() A.② B.2V2 c.23 D.22 3 3 3 4 【详解】法一：利用空间中点到直线的距离公式，AB=(1,0,0)BC=(-1,2,-2),所以 (AB) AB ·BC 2W2 BC 3 法二：等面积法，AB=(1,0,0),BC=(-1,2,-2,AC=(0,2,-2, A8=P+0+0=1,AC=0+2+2=2W2, BC=P+22+2=3,所以AE+AC=BC, 所以三角形ABC是直角三角形，且∠BAC是直角： 设A到直线BC的距离为d, 则号网hc-网dd-2 故选：B 2/14 6.在空间直角坐标系中，已知A(,2a,6),B(0,0,1),C(1,1,2),D(-1,0,3),E(@2,0,5),其中 a∈R,则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平面BCD所成角的正弦值为() 2V43 V14 4V35 4 A. B. D. 21 7 35 7 【答案】C 解析依题意可得DA(2+1,2a,3),BC-(1,1,1)BD-(1,0,2),A匠-(0，-2a,-1), 设-(x,y,)是平面BCD的法向量， (m-BC=0, 则(n-BD=0, x+y+z=0, 即-x+2z=0,令=2，则=1，y=3,得=(2,3,1) 回Am12a2-6a+512a-到+ 所以点A到平面BCD的距离d止m= 14 14 3 当e2时，d取得最小值，此时AE-(0,3,-1), IAE.nl 8 4v35 所以直线AB与平面BCD所成角的正弦值为cos(AE,)AEmN=35 7.三条直线+=0，y=0,+四=3构不成三角形，则a的所有取值个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【详解】直线+=0与x-y=0都经过原点，而无论a为何值，直线+=3总不经过原点，因此，要 满足三条直线构成三角形，只需直线x+=3与另两条直线中的一个平行，所以α=士1 8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA⊥底面ABCD,PA=6,点G在侧棱PB上， 满足2PG=GB,PC上有一点O,DG上有一点M,有OM⊥PC,OM⊥DG,则OM的长为() A.3V77 B.314 77 14 c.3v27 D. 3W15 7 15 【答案】B 【分析】以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点A为原点，AB、AD、AP分别作为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系， 3/14 Z G M D B 则A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,3,0),D(0,3,0),P(0,0,6), 所以PB=(3,0,6),PC=(3,3-6),DC=(3,0,0), 由于点G在侧棱PB上，满足2PG=GB,所以PG=;PB=(L0,-2),解得G(,0,4),所以DG=(L-3,4), 由于点O在PC上，不妨设P0=tPC,即P0=1(3,3,6),解得0(3t,31,6-61), 同理，点M在DG上，设DM=sDG=s(L,-3,4),解得M(s,3-3s,4s), 则0M=（s-31,3-3s-31,4s-6+61), 由于OM⊥PC,OM⊥DG,则 0M.DG=-1(s-3)）-3(3-3s-3)+4(4s-6+61)=0 0M.P℃=3(s-3)+33-3s-3)-6(4s-6+61)=01 6 26s+30t=33 S= 化简得 解得 > 10s+181=15’ 5 t= 14 因此OM=-3-93 所以ow-o-2+ _314 14147 ,故B正确。 14 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.给出下列命题，其中正确的是() A.若{a,b,c是空间的一个基底，则{a+i,i+c,c+a}也是空间的一个基底 B.已知直线I的一个方向向茶为D-气s如子c0s) 则直线1的倾斜角为？ 4/14 y+5-=3x+4 3 2 2 x'=-2 即 y'-5 解得 x-4 ×3=-1 y=7 所以点P'的坐标为(-2,7)，A正确 y=3x+3 X=- 2 59 B:解方程组{ 在所求直线上 y=x-21 得 9 y=-2 则点22 在直线y=x-2上任取一点M(2,0),设点M关于直线l的对称点为M'(xo,), =3x+2+ 3 17 2 x0=- 5 ,则点M 179 则 也在所求直线上， 3 ,解得9 55 %= 5 9 5 y+ 2 x+ 2 由两点式得直线方程为9,9=175’ 化简得7x+y+22=0,故所求直线的方程，B正确， 5+2-5+2 C:在直线l上取两点E(0,3)、F(-1,0), 则E、F关于点A(3,2)的对称点分别为E'(6,1)、F(7,4) 因为点E、F在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为一6，即C正确， 4-1=7-6 D：直线斜率为3，故垂直于的直线率为，过点P4,5)的垂线正确方程为y-5上x-4 整理得x+3y-19=0,故过点P(4,5)垂直于直线1的直线的方程是x+3y-17=0,故D错误 11.如图，已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论 正确的是()· D C B C p B A.三棱锥B-CDP的体积为定值 B.存在点P,使得DP⊥AC 6/14 C.若DP⊥BD,则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为√2 D.若点P是AD的中点，点2是BB的中点，过P,2作平面a⊥平面ACC,A,则平面a截正方体 ABCD-AB,CD的截面面积为3V3 【答案】ABD 【详解】对于A,由等体积法V4-GP=Vn-4GA,三棱锥P-BCD的高为BB=2, 1 4 底面积SG0-2×2x2=2,所以G4=-4G4-3x2x2 3 所以三棱锥B-CDP的体积为定值，A正确： 对于B,建立如图所示的空间直角坐标系， 设P(x,y,0),A(2,0,0),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),D(0,0,0), .DP=（x,y,-2),AC=(-2,2,2), 若DP⊥AC,则DP.AC=-2x+2y-4=0, 即x-y=-2,取x=0,y=2，,此时点P与点C重合，满足题意， 所以存在点P,使得DP⊥AC,B正确： Z D C A 对于C,BD=（-2,-2,-2),若DP⊥B,D, ∴DP.BD=-2x-2y+4=0,即x+y=2, 所以点P的轨迹就是线段AC, 轨迹长为4C=V22+2=22,C错误： 对于D,如图取AB中点，连接PP, 由题可得DB⊥AC,AA⊥平面ABCD, 7/14 连接BD,因为PP//DB,PEC平面ABCD, 则PP⊥AC,PP⊥AA,又AC∩A4=A, AC,AAC平面ACC,A,则PP⊥平面ACCA, 又取DD中点为9，则22/1DB/1PE, 有P,,2,g四点共面，则平面PP2g即为平面a, 又由两平面平行性质可知，PP/1RR,P9/1QR,P2/19R, 又P,P,Q,g都是中点，故R是DC中点，R是BC中点， 则平面a截正方体ABCD-ABCD的截面为正六边形， 又正方体棱长为2，则PP=√2， 故截面面积为6x(×sn60=35,D正确， 故选：ABD D R R 9 B D P 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.经过点P(-2,0)作直线1，若1与连接A(-1,2),B(3,)两点的线段有公共点，则1的斜率k的取值范围 为 【答架】k2 【样标】白g,2名)2.6如83-5 0-2 8/14 由图像可知， 5sks2. 13.已知空间向量=(2，-2，-1)，b=(3,0,-4),向量ā在向量6上的投影向量坐标为 【答案1(Q-) 【详解】已知=(2，-2，-1)，b=(3,0,-4),则ā.b=2×3+(-2)×0+(-1)×(-4)=6+0+4=10, 月=3+0心+(4=9+0+16=25放向量ā在向量6上的投影狗量为 a6-=号a04)-（g0-到 5 14.两条异面直线a,b所成的角为日，在直线a,b上分别取点A',E和点A,F,使AA'⊥a, 且AA'⊥b.已知A'E=m,AF=n,EF=1,则线段AA的长为 【答案】√P-m2-n2士2ncos0 【详解】由己知，得EA.AF=ncos0或EA.AF=ncos(π-日)，设AA'=d, 于是1P=EF.EF=(EA+AA+AF)2=m2+d+n2±2mcos0, 所以d2=1P-m2-n2±2mcos0,所以A4'=√P-m2-n2±2mcos日 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0-4),设ā=AB,6=4C (1)若d=6,且c∥BC,求向量c: (2)已知向量ka-b与b互相垂直，求k的值： (3)若点P(1,-1,m)在平面ABC上，求m的值. 【答案】【详解】(1)BC=(2,l,-2),设c=1BC, 因为d=6,而BC=3,所以1=2； 9/14 故c=(4,2,-4)或c=(-4,-2,4) -4分 (2)ā=AB=（-l,-1,0),b=AC=(1,0,-2),a.b=-1, 由a-b与b互相垂直得：(ka-bb=ka.b-b2=0, 解得k=-5, ---8分 (3)点P(1,-1,m)在平面ABC上，AP=AB+uAC, (-1,-1,m+2)=2(-1,-1,0)+4(1,0,-2), -1=-2+4 -1=-， m+2=-24 解得：m=-2 -13分 16.(本小题15分) 已知△ABC的顶点A(3,2),边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0,边AC上的高所在直线方程为 2x-y-9=0. (I)求顶点B,C的坐标 (2)求△ABC的面积 【答案】解：(I)设B(a,b), 因为边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0,边AC上的高所在直线方程为2x-y-9=0, 2a-b-9=0, 所以a+3-3×b+2 8=0解得 =8 即B的坐标为(8,7).--4分 b=7, 02 2 设C(m,n), 因为边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0,边AC上的高所在直线方程为2x-y-9=0, -3n+8=0, =1, 所以{n-21解得 -32’ n=3, 即C的坐标为1,3).-8分 (2)因为A(3,2),B(8,7),所以14B1=V3-8)2+(2-7)2=52. 因为边，18所在直线的方程为子号-少1=0。 所以点O0.》脸8的E高为儿-，甲边s的演为 2 10/14 故ABC的面积为x55x3V5_15 --15分 22 17.如图，在平行六面体ABCD-AB'C'D'中，AB=AD=3,A=2,∠BAD=90°，∠BAA=∠DAA'=60°. D (1)以AB,AD,AA为基底向量，表示向量BD,AC: (2)求证：BD⊥AC': (3)求AC的长. 【答案】(I)BD=BA+AD=-AB+AD AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA': .-4分 (2)因为AB=AD=3,AA=2,∠BAD=90°，∠BAA=∠DA'=60°， 所以AB.AD=0,AB.AA=AD.AA=3×2×cos60°=3， 由(1)得BD·AC=(AD-AB(AB+AD+AA AD.AB+AD'+AD.AA-AB'-AB.AD-AB.AA =0+32+3-32-0-3=0 所以BD⊥AC,即BD⊥AC'; ----10分 (3)由(1)得AC=AB+AD+AA, 所以AC2=(AB+AD+A =AB+AD+AA+2AB.AD+2AB.AA+2AD.AA =32+32+22+2×0+2×3+2×3=34, 所以AC=V34,即AC的长为V34 ---15分 18.已知直线1：(a-1)y=(2a-3)x+1. (1)求证：直线过定点： (2)若P(2,-1)到直线1的距离为√5，求1的方程： (3)若直线I分别与x、y正半轴交于A、B两点， 11/14 (i)当△AOB面积最小时，求a的值； (i)已知(1,2)，求Ag外2B的最小值. 【答案】(1)证明：由直线l:(a-1)y=(2a-3)x+1整理可得： ay-2ax-y+3x-1=0,即a(y-2x)+(-y+3x-1)=0, ，”。 「x=1 则由 y=2' 故直线l过定点(1,2)； -3分 (2)直线化为一般式1：(2a-3)x+(1-a)y+1=0, 2(2a-3)--四+l=5 V(2a-3)2+1-a)2 7 得a=5所以1的方程为x+2y-5=0 ---7分 (3)(i)由1：(a-1)y=(2a-3)x+1可得： 当y=0时，=2a-3:当x=0时，y=a a-1: 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 1 ->0 2a-3,解得1<a<名 1 t时三舟能国积8-分。》。0o0 要使面积取最小值，只需取y=2a2-5a+3的最小值即可： 。5)2 由y=2d2-5a+3=2a-4) 可知， 8 当a-时，y=2-5a+3取最小值名此时面积最小 -12分 4 (其他方法也可) ()设直线1的截距式方程为+=1(m>0,>0),由(1)知Q0,2)点在1上，所以1+2-1， m n m n 此时A(m,O),B(0,m),由于这三点共线，且Q在A、B之间，所以 有Ag2B=Ao.OB=+2n-5 12/14 而m+2n=m+20+3=5+2+2≥5+24=9，当且仅当m=1=3时取等号 1 mn 所以AQ2B的最小值为4 ---17分 19.如图，在平面四边形ABCD中，△ABC为等腰直角三角形，△ACD为正三角形，∠ABC=90°，AB=2, 现将△DAC沿AC翻折至△SAC,形成三棱锥S-ABC,其中S为动点. B (I)证明：AC⊥SB: (2)若SC⊥BC,三棱锥S-ABC的各个顶点都在球O的球面上，判断球心O的位置，并求出球心O到平面 SAC的距离； (3)求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值. 【答案】(I)证明：取AC的中点E,连接SE,BE, :AB=BC,SA=SC,且AC的中点为E, .SE⊥AC,BE⊥AC, SEBE=E,SE,BEc平面SBE, B .AC⊥平面SBE,SBc平面SBE,.AC⊥SB. ---4分 (2) 当SC⊥BC时，△CBS2△ABS,则SA⊥BA, 取BS的中点O,连接OA,OC,故O到A,B,C,S四点的距离相等， 所以O为三棱锥S-ABC外接球的球心， :AB=BC=2,AS=CS=2√2，故SE=V6,SB=2V3,EB=V2, 设S到平面ABC的距离为h,B到平面SAC的距离为h,, 由等体积法可得m=信→×4兮×么， cos∠SEB=lSE+EB-SBV5 2SE·EB 3 ∠SEBe(0,,∴sin∠SEB=V-eos'∠SEB-N6 13/14 4=S0rsm(-2∠S8)=6×62,么=B9sm么R=2xV623 3-3 0到平面4C的距离d=)么= 3 -9分 2 3 (3) S 以E为坐标原点，EA为x轴，EB为y轴，垂直向上的 方向为z轴建立空间直角坐标系，设∠SEB=θ(0<0<π)， 由于SE=√6，结合三角函数，易得S(0√6cos0,√6sin0), 可求解出平面SAC的法向量m=(0,sin6,-cos0), x 平面SBC的法向量=(-√3sin0,√3sim0,l-V3cos8), 所以cos<,n 3-cos0 (V3-cos8)2 √7-3cos2θ-2W3cos日 V7-3cos20-213 cose --wa则-1以-5 所以 (3-cose)2 7cas9-2w5c9-318W6x-8-872+8v5-3 1 1 2)2+3 3 所以当 1=3 3 3 即平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值为 V3 --17分 3 14/14滁州中学2025级高二上第一次月考试卷 数学 命题人：关礼杰审题人：岳一曼时长：120分钟分值：150分 考试范围：人教A版选择性必修一(（空间向量与立体几何+2.1~2.3) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.在空间直角坐标系中，点A1,2,4)关于平面Oxy对称的点的坐标为 () A.(1,2,-4) B.(-1,-2,4) C.(1,-2,4) D.(2,1,-4) 2.直线x+(a+1)y-1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是 () 3π A. 4 B. 4,π c D.[ 3.已知两条不重合的直线l:x+2y-1=0和l,:x+(a+1)y-1=0,a∈R,若l1∥l2,则a的值为() A.-2 B.-2或1 C.1 D.-1或2 4.过点A(1,4),且纵横截距的绝对值相等的直线的条数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为 () A.② B.22 c.2w3 D.22 3 3 6.在空间直角坐标系中，己知A(,2a,6),B(0,0,1),C(1,1,2),D(-1,0,3),E(a2,0,5),其中 a∈R,则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平面BCD所成角的正弦值为() 4343 c4v35 21 1 D. 35 1/4 7.三条直线x+=0,x-y0,+=3不构成三角形，则a的所有取值个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA⊥底面ABCD,PA=6,点G在侧棱PB上， 满足2PG=GB,PC上有一点O,DG上有一点M,有OM⊥PC,OM⊥DG,则OM的长为() A.3V77 B.3V14 77 14 c.3V21 D.35 7 15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.给出下列命题，其中正确的是 ( A.若{a,b,c是空间的一个基底，则{a+i,6+c,c+}也是空间的一个基底 B.已知直线I的一个方向向量为p= (smcos到》则直线的饭斜角为 C.点P为平面ABC上一点，O为平面ABC外一点，且OP=7OA+xOB+y0C(x,y∈R),则x+y=- 6 D.非零向量a,b,若a.b≥0，则(a,b)为锐角 10.已知直线1：y=3x+3,下列说法正确的是： () A.点P(4,5)关于1的对称点的坐标是（-2,7)； B.直线y=x-2关于I的对称直线的方程是7x+y+22=0; C.直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程是3x-y-17=0: D.过点P(4,5),垂直于直线1的直线的方程是x+3y-17=0 11.如图，己知正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论 正确的是 () D C A.三棱锥B-CDP的体积为定值 B.存在点P,使得DP⊥AC B C.若D,P⊥BD,则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为√2 D.若点P是AD的中点，点Q是BB的中点， 过P,Q作平面a⊥平面ACCA,则平面a截正方体ABCD-AB,CD的截面面积为3√3 2/4 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.经过点P(-2,0)作直线1，若1与连接A(-1,2),B(3,1)两点的线段有公共点，则1的斜率k的取值范围 为 13.已知空间向量ā=(2，-2，-1)，b=(3,0,-4),向量ā在向量6上的投影向量坐标为 14.两条异面直线a,b所成的角为0，在直线a上取点A',E,直线b上取点A,F,使AA⊥a, 且AA'⊥b.已知AE=m,AF=n,EF=1,则线段AA'的长为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设ā=AB,6=AC. (1)若=6，且c∥BC,求向量c: (2)已知向量ka-b与b互相垂直，求k的值： (3)若点P(1,-1,m)在平面ABC上，求m的值. 16.(15分)己知△ABC的顶点A(3,2),边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0,边AC上的高所在 直线方程为2x-y-9=0. I)求顶点B,C的坐标 (2)求△ABC的面积. 17.(15分)如图，在平行六面体ABCD-AB'CD'中，AB=AD=3,AA'=2,∠BAD=90°， ∠BAA=∠DAA=60°. D' (1)以AB,AD,AA为基底向量，表示向量BD,AC: A (2)求证：BD⊥AC': D (3)求AC的长. 314 18.(17分)已知直线：(a-1)y=(2a-3)x+1. (1)求证：直线过定点： (2)若P(2,-1)到直线I的距离为√5，求1的方程； (3)若直线1分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A、B两点， (i)当△AOB面积最小时，求a的值； (ii)已知Q1,2),求AQQB的最小值 19.（17分)如图，在平面四边形ABCD中，△ABC为等腰直角三角形，△ACD为正三角形，∠ABC=90°， AB=2,现将ADAC沿AC翻折至△SAC,形成三棱锥S-ABC,其中S为动点. B (1)证明：AC⊥SB; (2)若SC⊥BC,三棱锥S-ABC的各个顶点都在球O的球面上，判断球心O的位置，并求出球心O到 平面SAC的距离； (3)求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值. 414