精品解析：安徽阜阳市太和县第八中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

太和八中高二年级10月月考数学卷 时间：120分钟 分数：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法中正确的个数是（ ） ①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥、圆柱的结构特征分别判断. 【详解】①中，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故①说法错误； 根据圆锥的结构特征，显然②说法正确， 根据圆柱的定义可得③说法正确，故说法正确的有2个． 故选：C 2. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】法1，因为，则， 解得，则，则， 所以. 法2，因为，则由，解得， 设，，则； 由向量减法的几何意义，可得 3. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘法以及几何意义即可求解. 【详解】由，得复数在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D． 4. 如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原，即可求解. 【详解】根据斜二测画法得出，，， 将直观图还原，如下图. 四边形是直角梯形， 上、下底分别为，，高， 所以四边形的面积. 故选： A. 5. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面的位置关系及判定方法求解. 【详解】若，，，则或异面，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，，可能有，故C错误； 若，，则，又，则，故D正确， 故选：D. 6. 已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的半径等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆锥母线及轴截面等腰三角形底角正弦，再利用圆锥及其外接球的关系，结合正弦定理求解. 【详解】由圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，得该圆锥母线长为， 令该圆锥轴截面等腰三角形底角为，则，， 由圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，得该圆锥轴截面等腰三角形外接圆为球的大圆， 由正弦定理，球的半径等于. 7. 将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于直线对称，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平移后所得三角函数为，又因为关于平移后图像关于对称，所以，再根据的取值范围，即可得解. 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换，考查了三角函数的最值问题，有一定的计算量，属于基础题. 8. 已知的内角的对边分别为，若，则是（    ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理结合已知得，解方程得到，确定选项. 【详解】由正弦定理，又已知， 所以，所以， 因为，所以，， 又，所以，同理可得， 所以是等腰直角三角形. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理逐项进行判断即可. 【详解】对A：如图： 连接，交于点，连接，则，平面， 且直线与直线不平行，所以直线与平面相交，故A错误； 对B：如图： 因为，平面，平面，所以平面，故B正确； 对C：如图： 取中点，易证四点共面，且，平面， 平面，所以平面，故C正确； 对D：如图： 连接，则，平面，平面， 所以平面，故D正确. 故选：BCD 10. 在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正三棱柱的性质以及相关判定定理，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】在正三棱柱中，，又，故与不平行，A错误； 由题得，，， 所以，所以，B正确； 因为平面，平面，， 且在平面与平面的交线上，与不垂直， 所以平面与平面不垂直，C错误； 因为是正三角形，是的中点，所以， 又，且，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，D正确． 故选：BD. 11. 已知正方体的棱长为2，E为CD的中点，F在棱上（不包括端点），则（ ） A. 若F为棱的中点，则平面ADF截正方体所得截面为矩形 B. 若F为棱的中点，则B，到平面ADF的距离之比为2 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥外接球表面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行和垂直的性质可判断A，根据相似即可求解B，根据等体积法，结合体积公式即可求解C，根据正切的两角差公式，结合外接球的性质即可求解D. 【详解】若F为棱的中点，过F作BC的平行线交于点G，则G为中点， 则,故四边形为截面， 由于平面，平面， 故，因此四边形为矩形，A选项正确； 连接，DG交于点O，则B，到平面ADF的距离之比为，B选项错误； 三棱锥的体积与三棱锥的体积相等， 的面积为定值，而到平面的距离为定值， 故三棱锥的体积为定值，所以三棱锥的体积为定值，C选项正确； 设，则， 当且仅当时取到等号，故的最大值为， 此时由于取到最大值， 所以的最大值为，所以外接圆半径最小值为， 故三棱锥外接球的半径为, 所以三棱锥外接球表面积的最小值为，D选项正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式先求出的值，再由正弦的二倍角公式结合同角三角函数的关系化简可得. 【详解】由，则， 所以， 由可得， 所以. 13. 已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为________. 【答案】 【解析】 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，高为， 又因为圆锥的轴截面是等腰三角形，所以该轴截面是等腰直角三角形， 则圆锥的高等于底面半径， 所以圆锥的母线长， 圆锥侧面积：； 圆柱侧面积：； 圆锥和圆柱的侧面积之比为. 14. 如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 【答案】 【解析】 【分析】应用正弦定理求，再由即可求塔高． 【详解】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米． 故答案为：． 四、解答题：本题包括5道题，共77分． 15. 如图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面． （1）证明：平面； （2）证明：． 【答案】（1）证明： 设，连接， ，Q为侧棱的中点，为的中点， 又是正四棱锥，为的中点， 在中有， 平面，平面， 平面； （2）证明：在正四棱锥中，有， 平面，平面，平面； 又平面，平面平面， 由线面平行的性质定理可得． 【解析】 【分析】（1）先利用三角形的中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理即可证明. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 16. 在中，角的对边分别为，满足． （1）求角； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，求得，即可求解； （2）根据题意，由余弦定理求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，可得， 即， 因为，可得，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，，且 由余弦定理知，即， 解得，所以的面积为． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1），为的中点，. 又底面为菱形，，是等边三角形. 又为的中点，. 又，，平面， 平面. 又平面，∴平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用与可证明平面，再利用面面垂直的判定定理即可. （2）利用的长度可计算，从而得到及，利用四棱锥中的关系可得，从而得到. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，为的中点， . 又是等边三角形，，为的中点， . 又，， ， . 为的中点，. ∴. 又底面为菱形，. . 18. 已知，且. （1）求的值； （2）求角； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出的值，再根据两角差的余弦公式求出； （2）根据已知条件求出的值，再根据两角和的公式求出，进一步求出； （3）根据二倍角公式求出和的值，再根据两角和的正弦公式求出. 【小问1详解】 因为，，则， 所以. 【小问2详解】 由(1)可得，，，则， 因为，所以，解得， 又因为，所以. 【小问3详解】 因为，，， 所以， ，， 所以. 19. 如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，点是上一点，将分别沿折起，使两点重合于，如图，连接. （1）求证：； （2）点是上一点，若平面，则为何值？并说明理由； （3）若点满足（2），求二面角的余弦值. 【答案】（1） 证明：因为，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为在正方形中，点点是的中点，点是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理可证明； （2）连交于，连，由平面几何知识可得，再由线面平行的性质定理得，从而可得结果； （3）由得是二面角的平面角，由平面得到，再设正方形边长，由余弦定理求出即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连交于，连，则为的中点， 因为在正方形中，点是的中点，点是的中点， ， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以，所以， 【小问3详解】 由（2）可得，则， 由（1）知，平面，又平面， 所以， 又平面，平面，平面平面， 所以是二面角的平面角， 由（1）知，平面，平面，所以， 设正方形的边长为4， 则， 所以， 所以， 所以二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太和八中高二年级10月月考数学卷 时间：120分钟 分数：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法中正确的个数是（ ） ①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4 5. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的半径等于（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于直线对称，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角的对边分别为，若，则是（    ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 11. 已知正方体的棱长为2，E为CD的中点，F在棱上（不包括端点），则（ ） A. 若F为棱的中点，则平面ADF截正方体所得截面为矩形 B. 若F为棱的中点，则B，到平面ADF的距离之比为2 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥外接球表面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则_________. 13. 已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为________. 14. 如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 四、解答题：本题包括5道题，共77分． 15. 如图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面． （1）证明：平面； （2）证明：． 16. 在中，角的对边分别为，满足． （1）求角； （2）若，，求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求四棱锥的体积. 18. 已知，且. （1）求的值； （2）求角； （3）求的值. 19. 如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，点是上一点，将分别沿折起，使两点重合于，如图，连接. （1）求证：； （2）点是上一点，若平面，则为何值？并说明理由； （3）若点满足（2），求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $