第2章·反比例函数·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第2章·反比例函数·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年苏科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解反比例函数的概念，会用待定系数法求解析式并处理含字母系数的参数问题 · 掌握反比例函数的图象是双曲线，能由k的符号判断象限与增减性 · 理解k的几何意义，会求矩形、三角形面积并进行反比例函数与几何综合计算 · 掌握反比例函数与一次函数的交点问题，会联立方程组求交点坐标与不等式解集 · 能建立反比例函数模型解决实际问题，并处理与一次函数综合的压轴应用 📚 知识梳理 ☆ 1.反比例函数的概念 定义：形如 y=（k≠0）的函数，x≠0 三种形式：y==kx-1=，等价变形 xy=k 求参数：由定义 x 的指数为 -1 且 k≠0 列条件 待定系数法：已知一组对应值即可求 k 确定解析式 概念辨析例题：若函数 y=(m-1)xm^{2}-2 是反比例函数，求 m 的值 答案：m=-1 解析：需满足 m2-2=-1 且 m-1≠0，由 m2=1 得 m=±1，又 m≠1，故 m=-1 ☆ 2.反比例函数的图象与性质 图象是双曲线，关于原点中心对称，无限接近坐标轴但不相交 k>0 时图象在一、三象限，每一象限内 y 随 x 增大而减小 k<0 时图象在二、四象限，每一象限内 y 随 x 增大而增大 增减性必须在「同一象限内」讨论，跨象限不能直接比较 概念辨析例题：已知反比例函数 y= 的图象上有两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)，若 x1<0<x2，比较 y1 与 y2 的大小 答案：y1<y2 解析：k=6>0，A 在第三象限 y1<0，B 在第一象限 y2>0，故 y1<0<y2 ☆ 3.k的几何意义与函数交点 k的几何意义：图象上点向坐标轴作垂线，矩形面积=|k|，三角形面积= 与一次函数交点：联立两个函数解析式解方程组 交点横坐标即不等式解集的分界点，结合图象判断 正比例与反比例图象的两个交点关于原点对称 概念辨析例题：点 P 在反比例函数 y= 的图象上，过 P 作 x 轴垂线，垂足为 Q，△OPQ 面积为 3，求 k 答案：k=±6 解析：三角形面积==3，故 |k|=6，k=±6 ☆ 4.反比例函数的实际应用 实际情境：路程一定时速度与时间、压强与受力面积、电压一定时电流与电阻 先由题意确定反比例关系，用待定系数法求解析式 注意自变量取值范围受实际意义限制 与一次函数综合：分段函数问题先求解析式再比较方案 概念辨析例题：某蓄水池容积为 480m3，每小时排水量 V（m3）与排空时间 t（h）成反比例，写出 V 与 t 的函数关系式 答案：V=（t>0） 解析：容积=V·t=480，故 V=，时间 t>0 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 解析式 y=（k≠0） 自变量 x≠0 图象 双曲线，两支 与坐标轴不相交 象限 k>0 一三象限；k<0 二四象限 由 k 的符号决定 增减性 同一象限内 k>0 减、k<0 增 不能跨象限比较 k的几何意义 矩形面积=|k| 三角形面积= 交点 联立方程组求解 对称中心为原点 ⚠️ 核心考点 【考点1】反比例函数的概念与定义求参数（第1-4题） · 看是否符合 y=（k≠0）的形式 · 求参数时指数为 -1 且系数 k≠0 · 分式化简题先化简再对照定义 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（25-26九年级上·陕西延安·期末）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·模拟预测）已知：． (1)化简； (2)若函数为反比例函数，求的值． 4．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求m的值． 【考点2】反比例函数的图象与性质（第5-8题） · 由 k 的符号判断图象所在象限 · 增减性只在同一象限内成立 · 比较函数值大小先定点所在象限 5．（2026·广西柳州·二模）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 6．（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数的图象经过点，且，则下列说法错误的是（     ） A． B．图象位于二、四象限 C．当时，y随x增大而增大 D．点也在该图象上 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________． 8．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知反比例函数的图像经过点，当时，y的取值范围是________． 【考点3】求反比例函数解析式与函数值（第9-15题） · 待定系数法：一组对应值即可求 k · 已知图象上点的坐标直接代入求 k · 由自变量求函数值或反向求值 9．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知放在木板上的物体和木板对地面的压力一定时，物体和木板对地面的压强与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强时，木板面积可以为（     ）． A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 10．（2026·山东聊城·二模）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气体的气压不大于时，气球体积的范围是（     ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当R从增加到时，电功率P减少了，则当时，（   ） ． A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·山东菏泽·阶段检测）若反比例函数的图象经过，则这个函数的图象一定过（    ） A． B． C． D． 13．（2022·陕西西安·模拟预测）某物体对地面的压强与物体和地面的接触面积成反比例函数关系，其图象如图，当压强小于等于时，的取值范围是________． 14．（25-26九年级上·四川成都·期末）某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为的甲液体中时，浸在液体中的深度为，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为，则乙液体的密度为______． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求这个函数的表达式； (2)求当时，的值； (3)当取何值时，？ 【考点4】反比例函数与一次函数的交点（第16-18题） · 联立两个解析式解方程组得交点坐标 · 交点横坐标是不等式解集的分界点 · 正比例与反比例两交点关于原点对称 16．（2024·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数（）的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是4.5，则的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 18．（2026·重庆大足·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．8 【考点5】反比例函数与几何综合（第19-27题） · 过点作坐标轴垂线，矩形面积=|k| · 三角形面积= · 结合相似、全等、矩形菱形正方形性质求线段 19．（2025·云南·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点P在A和B之间的反比例函数图象上，分别过点B和P作x轴和y轴的垂线段，垂足为C，D，E，F，则下列说法错误的是（　　） A．矩形和矩形的面积相等 B．矩形的周长是12 C．矩形的周长大于矩形的周长 D．k的取值范围是 20．（2026·四川雅安·一模）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 21．（2025·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于两点．正方形的顶点在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形沿x轴向左平移n个单位长度后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 22．（2024·江苏无锡·二模）如图，双曲线经过矩形的顶点．双曲线交，于点、，且与矩形的对角线交于点．连接，若．则的面积为（　　） A． B． C． D． 23．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段检测）如图，四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，若，则菱形的面积为________． 24．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 25．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为_____________． 26．（25-26八年级下·重庆忠县·期末）李老师家到学校的路程为3千米，设李老师匀速走路去上班速度为x（单位：米/分钟），时间为y（单位：分钟），最快需要30分钟，最慢需要50分钟． (1)以x为自变量，求函数y的解析式，并求出x的取值范围； (2)若点P在该函数图象上，O为坐标原点，作轴于点A，轴于点B，求四边形的面积． 27．（25-26九年级上·河南许昌·期末）下列选项中，两个变量m和n成反比例关系的是（   ） A．长为m，宽为n，周长为1的矩形 B．底面半径为m，高为n，体积为1的圆柱 C．对角线长分别为m、n，面积为1的菱形 D．长为m，宽和高均为n，体积为1的长方体 【考点6】实际问题与反比例函数（第28-35题） · 审清情境中的乘积定值关系 · 先列关系式再用待定系数法 · 自变量取值受实际意义限制 28．（2026·山东泰安·二模）下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 29．（2026·湖北·二模）潜水员在水下呼吸时，携带的压缩空气瓶内的气体遵循波意耳定律：当温度不变时，一定质量的气体压强（单位：）与体积（单位：）成反比例关系，即（为常数）．某潜水员携带的压缩空气瓶，在水面上时，瓶内空气体积为，瓶内压强为200个标准大气压．潜水员在水下某深度处，外界水压为5个标准大气压．若他将瓶内气体释放到呼吸器中，使气体压强降至与外界水压相等，此时气体的体积是（     ） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，轴表示糖水质量，轴表示含糖浓度（瓶中糖固体质量与糖水质量的比值），其中乙、丁两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 31．（2025·河北·模拟预测）小李驾驶汽车在早上从甲地出发到乙地，其行驶的平均速度（千米/时）与行驶所用的时间（时）之间的函数关系图象如图所示，已知全程限速120千米/时． （1）甲、乙两地之间的距离为______千米； （2）小李计划在当天不超过到达乙地，汽车行驶的平均速度的范围为______． 32．（2026·江苏扬州·二模）如图为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清视力表最小“”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足 ，当时，属于正常视力，则正常视力对应的分辨视角的范围是________． 33．（2025·山西晋中·一模）在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 34．（26-27九年级上·全国·课后作业）一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 35．（2026·广东河源·二模）/跨学科/在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图像如图所示．根据图像，下列结论正确的是（     ） A．该函数图像满足的表达式为 B．当振动弦长为时，振动频率为 C．当振动弦长时，振动频率 D．该函数图像与坐标轴有一个交点 【考点7】实际问题与一次函数综合（第36-45题） · 分段函数先分别求两段解析式 · 比较方案优劣取交点为分界 · 注意自变量范围与图象走势 36．（2024·湖南郴州·模拟预测）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米的反比例函数，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（    ） A．7米 B．14米 C．21米 D．28米 37．（2026·江苏南京·一模）某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图像如图所示．该产品的月供应量（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为______元． 38．（2026·吉林松原·模拟预测）项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决    (1)任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； (3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 39．（25-26八年级下·上海金山·期末）在探究通过导体的电流与电阻的关系时，小华得出如下结论：当导体两端的电压保持不变时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足关系．实验中，当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)利用关于的函数表达式，说明当电阻增大为原来的倍（）时，通过导体的电流将如何变化． 40．（2023·内蒙古包头·模拟预测）通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化而变化，刚上课时，学生兴趣激增，10分钟后保持平稳一段时间，20分钟后注意力开始分散．若学生的专注度y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)______． (2)当时，求y与x的函数关系式． (3)数学老师讲一道函数综合题需要25分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60？请说明理由． 41．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段检测）已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 42．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段检测）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 43．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中水温与开机时间(分)满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间(分)成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温与开机时间(分)的函数关系式； (2)求图中的值； (3)若小明下午五点将饮水机在通电开机(此时饮水机中原有水的温度为)后即外出打篮球，预计一个半小时回到家中，回到家时，饮水机内的水温约为多少？请说明你的理由． 44．（23-24九年级上·广西崇左·期中）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图示，当血液中药物浓度上升（）时，满足；当血液中药物浓度下降（）时，y与x成反比例函数关系． (1)求k的值； (2)求当时，y与x之间的函数表达式； (3)若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 45．（2026·河南平顶山·三模）新情境跨学科数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物的质量变化调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R（单位：）与物体质量m（单位：）之间的关系如图2所示，电流I（单位：）与可变电阻R之间的关系式为，其图象如图3所示，则下列说法正确的是（    ） A．I随着m的增大而减小 B．电流I是可变电阻R的反比例函数 C．当物体质量为时，电流 D．若该款电子秤中的电路电流范围设定为，则该电子托盘秤不能称出物体的质量 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：k≠0 且 x≠0，求参数勿漏限制 · 图象过关：k 的符号定象限，增减性限同一象限 · 几何意义过关：矩形 |k|、三角形 · 交点过关：联立方程组，对称与不等式分界 · 应用过关：乘积定值建模，分段综合抓交点 【作业1】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 【作业2】．（2026·山东临沂·二模）护眼台灯亮度调节的原理是台灯内电路的电压为定值，通过控制可变电阻从而调节台灯的亮度，已知台灯的电流是电阻的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．反比例函数的解析式为 B．该护眼台灯的电压为 C．若，则 D．当时， 【作业3】．（2026·广东佛山·三模）在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（    ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 【作业4】．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【作业5】．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【作业6】．（2026·江苏淮安·二模）某新能源汽车品牌推出的快充技术中，电池充满电所需的时间（单位：小时）与充电功率P（单位：）成反比例函数关系，已知用功率充电，需2小时充满；若使用的快充桩，充满电需要_______小时． 【作业7】．（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【作业8】．（2026·山西晋中·二模）某物理兴趣小组通过实验发现气体的压强（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当压强为时，气体的体积为______． 【作业9】．（22-23九年级上·江苏南京·开学考试）已知反比例函数的图象经过点，若，则的取值范围为_____________． 【作业10】．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系内，点， ，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为________． 【作业11】．（2024·湖南·模拟预测）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的有_______．（填序号） ①函数解析式为；②容器内气体的质量是；③当时，；④当时，． 【作业12】．（2026九年级下·全国·专题练习）实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 【作业13】．（25-26八年级下·河南南阳·期中）给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积 0.2 0.3 0.6 0.8 … 所需地砖数量/块 300 200 100 75 … (1)从表格中得到： ①这间教室有_____； ②分别用（单位：平方米）和（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量，用式子表示与的关系为_____，与成_____比例关系； (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室，需要多少块？ 【作业14】．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？ 【作业15】．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章·反比例函数·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解反比例函数的概念，会用待定系数法求解析式并处理含字母系数的参数问题 · 掌握反比例函数的图象是双曲线，能由k的符号判断象限与增减性 · 理解k的几何意义，会求矩形、三角形面积并进行反比例函数与几何综合计算 · 掌握反比例函数与一次函数的交点问题，会联立方程组求交点坐标与不等式解集 · 能建立反比例函数模型解决实际问题，并处理与一次函数综合的压轴应用 📚 知识梳理 ☆ 1.反比例函数的概念 定义：形如 y=（k≠0）的函数，x≠0 三种形式：y==kx-1=，等价变形 xy=k 求参数：由定义 x 的指数为 -1 且 k≠0 列条件 待定系数法：已知一组对应值即可求 k 确定解析式 概念辨析例题：若函数 y=(m-1)xm^{2}-2 是反比例函数，求 m 的值 答案：m=-1 解析：需满足 m2-2=-1 且 m-1≠0，由 m2=1 得 m=±1，又 m≠1，故 m=-1 ☆ 2.反比例函数的图象与性质 图象是双曲线，关于原点中心对称，无限接近坐标轴但不相交 k>0 时图象在一、三象限，每一象限内 y 随 x 增大而减小 k<0 时图象在二、四象限，每一象限内 y 随 x 增大而增大 增减性必须在「同一象限内」讨论，跨象限不能直接比较 概念辨析例题：已知反比例函数 y= 的图象上有两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)，若 x1<0<x2，比较 y1 与 y2 的大小 答案：y1<y2 解析：k=6>0，A 在第三象限 y1<0，B 在第一象限 y2>0，故 y1<0<y2 ☆ 3.k的几何意义与函数交点 k的几何意义：图象上点向坐标轴作垂线，矩形面积=|k|，三角形面积= 与一次函数交点：联立两个函数解析式解方程组 交点横坐标即不等式解集的分界点，结合图象判断 正比例与反比例图象的两个交点关于原点对称 概念辨析例题：点 P 在反比例函数 y= 的图象上，过 P 作 x 轴垂线，垂足为 Q，△OPQ 面积为 3，求 k 答案：k=±6 解析：三角形面积==3，故 |k|=6，k=±6 ☆ 4.反比例函数的实际应用 实际情境：路程一定时速度与时间、压强与受力面积、电压一定时电流与电阻 先由题意确定反比例关系，用待定系数法求解析式 注意自变量取值范围受实际意义限制 与一次函数综合：分段函数问题先求解析式再比较方案 概念辨析例题：某蓄水池容积为 480m3，每小时排水量 V（m3）与排空时间 t（h）成反比例，写出 V 与 t 的函数关系式 答案：V=（t>0） 解析：容积=V·t=480，故 V=，时间 t>0 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 解析式 y=（k≠0） 自变量 x≠0 图象 双曲线，两支 与坐标轴不相交 象限 k>0 一三象限；k<0 二四象限 由 k 的符号决定 增减性 同一象限内 k>0 减、k<0 增 不能跨象限比较 k的几何意义 矩形面积=|k| 三角形面积= 交点 联立方程组求解 对称中心为原点 ⚠️ 核心考点 【考点1】反比例函数的概念与定义求参数（第1-4题） · 看是否符合 y=（k≠0）的形式 · 求参数时指数为 -1 且系数 k≠0 · 分式化简题先化简再对照定义 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了函数的新定义，反比例函数的图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可设，分和两种情况，根据“演绎点”的定义解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴可设， ∵点是反比例函数图象上点的“演绎点”， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 经检验，是分式方程的解， 综上，值为或， 故选：． 2．（25-26九年级上·陕西延安·期末）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；反比例函数的形式为，或，其中k为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】解：A、，是反比例函数，故此选项不符合题意； B、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（2024·广东广州·模拟预测）已知：． (1)化简； (2)若函数为反比例函数，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式化简求值、根据反比例函数的定义求参数、分式除法 【分析】本题主要考查反比例函数的定义和分式的化简求值，正确计算是解答本题的关键． （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）由反比例函数的定义求出，再代入（1）化简的结果进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵函数为反比例函数， ∴， ∴． 4．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求m的值． 【答案】(1)； (2)或． 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的特征． （1）将点代入求解即可； （2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴将代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵点在这个函数图像上， ∴把代入得， 解得：或， ∴的值为或． 【考点2】反比例函数的图象与性质（第5-8题） · 由 k 的符号判断图象所在象限 · 增减性只在同一象限内成立 · 比较函数值大小先定点所在象限 5．（2026·广西柳州·二模）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性、求反比例函数值 【分析】根据反比例函数的性质，结合点的坐标验证、图象象限分布、函数增减性逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 当时，， ∴A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴B错误； ∵ ，当 时，函数图象在第三象限， ∴ 随的增大而减小， ∴正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小，不是增大， ∴错误． 6．（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数的图象经过点，且，则下列说法错误的是（     ） A． B．图象位于二、四象限 C．当时，y随x增大而增大 D．点也在该图象上 【答案】D 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查反比例函数的性质与点和反比例函数图象的关系，先根据已知条件求出的值，再结合反比例函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：∵ 反比例函数经过点， ∴ 将点代入得 ， 解得， ∵ ，∴ ，A选项说法正确，不符合要求； ∵ ，∴ 反比例函数图象位于第二、四象限，B选项说法正确，不符合要求； ∵ 时，反比例函数在每个象限内随增大而增大，当时，图象在第四象限，满足随增大而增大，∴ C选项说法正确，不符合要求； ∵ 对点，计算横纵坐标乘积得，不满足反比例函数的关系，点不在图象上，∴ D选项说法错误，符合要求． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】根据反比例函数的性质，当时，随增大而增大，说明反比例函数的比例系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：反比例函数 中，比例系数， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即，解得 ． 8．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知反比例函数的图像经过点，当时，y的取值范围是________． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的增减性，先由函数图象经过点求出的值，结合反比例函数的增减性可求出的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∴在每个象限内随的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，． 故答案为：． 【考点3】求反比例函数解析式与函数值（第9-15题） · 待定系数法：一组对应值即可求 k · 已知图象上点的坐标直接代入求 k · 由自变量求函数值或反向求值 9．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知放在木板上的物体和木板对地面的压力一定时，物体和木板对地面的压强与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强时，木板面积可以为（     ）． A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】先求出反比例函数解析式，再根据压强范围确定木板面积的取值范围，观察选项即可判断． 【详解】解：设反比例函数解析式为，将点代入解析式，得 ，解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，，解得； 当时，，解得； ∵反比例函数，在第一象限内，随的增大而减小， ∴当压强时，木板面积的取值范围为， 观察选项，只有在此范围内． 10．（2026·山东聊城·二模）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气体的气压不大于时，气球体积的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性、由反比例函数值求自变量 【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出，的值，最后根据反比例函数的增减性判断范围． 【详解】解：设， 将点代入，得， ∴， 令，得， ∵在第一象限内，随的增大而减小， ∴当时，． 11．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当R从增加到时，电功率P减少了，则当时，（   ） ． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出P与R的函数关系式是解答本题的关键．根据反比例函数的图象的性质结合题意可得方程，据此可得P的值，进而得出的值，再把代入函数关系式解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， ∴， ， 当时，， 即当时，P的值为， 故选：C． 12．（23-24九年级上·山东菏泽·阶段检测）若反比例函数的图象经过，则这个函数的图象一定过（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数解析式，再根据函数解析式分析是否经过所给的点，通过已知条件求出，即函数解析式为，然后将选项逐个代入验证即可解题． 【详解】解：反比例函数的图象经过， ，解得， 反比例函数解析式为， 当时，， 这个函数的图象一定过，不过， 当时，，这个函数的图象不过， 当时，，这个函数的图象不过， 综上所述，这个函数的图象一定过， 故选：A． 13．（2022·陕西西安·模拟预测）某物体对地面的压强与物体和地面的接触面积成反比例函数关系，其图象如图，当压强小于等于时，的取值范围是________． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】根据图象上的点坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据压强P的取值范围列出不等式，结合S的实际意义求解即可． 【详解】解：设P与S的反比例函数解析式为：， 把点代入得：， ∴， 即反比例函数解析式为：， 当时，则， 解得：． 14．（25-26九年级上·四川成都·期末）某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为的甲液体中时，浸在液体中的深度为，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为，则乙液体的密度为______． 【答案】1.2 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设h关于ρ的函数解析式为，将，代入求出解析式，把代入解析式即可得到结论． 【详解】解：设h关于ρ的函数解析式为， 将，代入解析式，得， ∴h关于ρ的函数解析式为， 将代入，得， 解得：， 即乙液体的密度为， 故答案为：1.2． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求这个函数的表达式； (2)求当时，的值； (3)当取何值时，？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值、由反比例函数值求自变量 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式计算即可； （3）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式解方程即可． 【详解】（1）解： 是的反比例函数， 设， 当时，， ，解得， 则这个函数的表达式为； （2）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，； （3）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解， 当时，． 【考点4】反比例函数与一次函数的交点（第16-18题） · 联立两个解析式解方程组得交点坐标 · 交点横坐标是不等式解集的分界点 · 正比例与反比例两交点关于原点对称 16．（2024·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数（）的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是4.5，则的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识，证明是解题的关键．过点B分别作于点M， 于点N，证明，得到，即，求出点，则点，进一步由，即可求解． 【详解】解：过点B分别作于点M， 于点N，    设点，则， ∵于点N， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， 即， 即， 则，则， 则点，则点， 设直线的表达式为，则 解得 ∴直线的表达式为：， 当，， 解得，， ∴点； 设直线的表达式为，则 解得 ∴直线的表达式为：， 当，， ∴点，则， ∵， 则， 故选：C． 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】观察函数图象即可求解． 【详解】解：观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 18．（2026·重庆大足·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．8 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】把代入反比例函数解析式，求出m，进而求出n，再将点A、B的坐标代入求出直线的解析式求面积即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点，， ∴， ∴， ∴， 把的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴， ∴， ∴． 【考点5】反比例函数与几何综合（第19-27题） · 过点作坐标轴垂线，矩形面积=|k| · 三角形面积= · 结合相似、全等、矩形菱形正方形性质求线段 19．（2025·云南·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点P在A和B之间的反比例函数图象上，分别过点B和P作x轴和y轴的垂线段，垂足为C，D，E，F，则下列说法错误的是（　　） A．矩形和矩形的面积相等 B．矩形的周长是12 C．矩形的周长大于矩形的周长 D．k的取值范围是 【答案】D 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】题目主要考查反比例函数的综合问题，与一次函数的交点问题，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键 根据反比例函数的意义，与一次函数的交点问题，矩形的性质等依次判断即可 【详解】解：A、∵点P在A和B之间的反比例函数图象上， ∴矩形和矩形的面积均为，故选项正确，不符合题意； B、∵直线与反比例函数的图象相交于点A，B， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴矩形的周长为：，故选项正确，不符合题意； C、延长交直线于点M，过点M作于点N，和交于点H， ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形和矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的周长大于矩形的周长，选项正确，不符合题意； D、由A选项得：， ∴， ∴，选项错误，符合题意； 故选：D 20．（2026·四川雅安·一模）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出矩形的长和宽，结合矩形面积建立关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形，点在轴上，点在轴上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 21．（2025·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于两点．正方形的顶点在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形沿x轴向左平移n个单位长度后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、反比例函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G，易证，则可求，，确定函数解析式，点C向左平移n个单位后为，顶恰好落在反比例函数的图象上，进而求得n的值． 【详解】解：过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G， ∵A，B为函数与x轴、y轴的交点． ∴当时，；当时，， ∴，， ∴，； ∵是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴ 在和中 ∴， 同理可证得：， ∴ ∴，， ∴，， 把，代入中， 解得：， ∴ 把代入中， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形判定与性质，图形平移等，给性比较强，正确添加常用辅助线是解题的关键． 22．（2024·江苏无锡·二模）如图，双曲线经过矩形的顶点．双曲线交，于点、，且与矩形的对角线交于点．连接，若．则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．设，则，由双曲线经过矩形的顶点，得，再根据反比例函数的性质得，双曲线（），，，进而利用面积公式即可得解． 【详解】解：设，过点作轴于点，则,， ∵四边形是矩形， ∴，，, ∴, ∴, ∵， ∴即， ∴， 同理可得： ∴， ∵双曲线经过矩形的顶点， ∴， ∴， ∵双曲线经过点， ∴， ∴双曲线（）， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 23．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段检测）如图，四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，若，则菱形的面积为________． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求面积、用勾股定理解三角形、由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，先确定点的坐标，再利用勾股定理求出的长，由菱形面积底乘高即可求得．解题的关键是掌握：反比例函数图象上点的纵横坐标之积等于． 【详解】解：∵函数的图象经过点，轴，， ∴点的纵坐标为，即， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 故答案为：． 24．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 【答案】3 【知识点】根据矩形的性质求面积、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵矩形的面积为6， ∴， ∵D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的图象在第一象限， ∴， ∴． 25．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为_____________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合运用，根据，设，结合图形，分别用含的式子表示的值，由此可得，根据几何图形面积的计算可得，分别算出的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴，， 如图所示， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴在点的位置，，即， 同理，在点的位置，，即， 在点的位置，，即， ∵分别过点三个点作轴，轴的垂线， ∴四边形是矩形， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为： ． 26．（25-26八年级下·重庆忠县·期末）李老师家到学校的路程为3千米，设李老师匀速走路去上班速度为x（单位：米/分钟），时间为y（单位：分钟），最快需要30分钟，最慢需要50分钟． (1)以x为自变量，求函数y的解析式，并求出x的取值范围； (2)若点P在该函数图象上，O为坐标原点，作轴于点A，轴于点B，求四边形的面积． 【答案】(1)函数解析式为，自变量的取值范围是； (2)四边形的面积为． 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、实际问题与反比例函数、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据路程、速度、时间的关系推导函数解析式，再结合给定的时间范围得到自变量的取值范围； （2）利用矩形面积公式结合反比例函数的性质即可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：千米米， 根据路程公式：路程速度时间，可得， 整理得函数解析式为， 由题意可知， 当时，， 当时，， ∵反比例函数在时，随增大而减小， ∴的取值范围是； （2）解：设点的坐标为， 由轴，轴，可得四边形是矩形， 矩形面积， ∵点在函数的图象上， ∴， 即四边形的面积为． 27．（25-26九年级上·河南许昌·期末）下列选项中，两个变量m和n成反比例关系的是（   ） A．长为m，宽为n，周长为1的矩形 B．底面半径为m，高为n，体积为1的圆柱 C．对角线长分别为m、n，面积为1的菱形 D．长为m，宽和高均为n，体积为1的长方体 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求面积、用反比例函数描述数量关系 【分析】本题根据反比例关系的定义：若两个变量m、n的乘积为非零定值，则m与n成反比例关系，结合各选项的几何公式推导出m、n的关系式，即可判断． 【详解】解：选项A：∵矩形周长为1，∴，即，两个变量和为定值，不是乘积为定值，因此m与n不成反比例关系； 选项B：∵圆柱体积为1，圆柱体积公式为，∴，即，是与n乘积为定值，因此m与n不成反比例关系； 选项C：∵菱形面积为1，菱形面积等于对角线乘积的一半，∴，即，乘积为定值，因此m与n成反比例关系，符合题意； 选项D：∵长方体体积为1，长方体体积公式为长宽高，∴，即， 是m与乘积为定值，因此m与n不成反比例关系． 【考点6】实际问题与反比例函数（第28-35题） · 审清情境中的乘积定值关系 · 先列关系式再用待定系数法 · 自变量取值受实际意义限制 28．（2026·山东泰安·二模）下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【答案】D 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．由，则当压力F一定时，压强P与受力面积S之间成反函数关系，即A选项不符合题意； B．由，则当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间成反函数关系，即B选项不符合题意； C．由，则当行驶的路程s一定时，时间t与速度v成反函数关系，即C选项不符合题意； D．由，则当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间成正比例函数，即选项D符合题意． 29．（2026·湖北·二模）潜水员在水下呼吸时，携带的压缩空气瓶内的气体遵循波意耳定律：当温度不变时，一定质量的气体压强（单位：）与体积（单位：）成反比例关系，即（为常数）．某潜水员携带的压缩空气瓶，在水面上时，瓶内空气体积为，瓶内压强为200个标准大气压．潜水员在水下某深度处，外界水压为5个标准大气压．若他将瓶内气体释放到呼吸器中，使气体压强降至与外界水压相等，此时气体的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】先根据初始压强和体积求出常数，再代入变化后的压强计算对应气体体积即可． 【详解】解： ，初始状态下 ，， ， 当压强降至 个标准大气压时，代入 得 ， 此时气体体积为 30．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，轴表示糖水质量，轴表示含糖浓度（瓶中糖固体质量与糖水质量的比值），其中乙、丁两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，发现的值即为糖水中含糖固体质量成为解题的关键． 根据题意可知，的值即为糖水中含糖固体质量，再根据图象即可确定甲瓶糖水中含糖固体质量最少，丙瓶糖水中含糖固体质量最多，乙、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同解题即可． 【详解】解：根据题意，可知的值即为糖水中含糖固体质量， ∵描述乙、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同， ∵点甲在反比例函数图象下面，点丙在反比例函数图象上面， ∴甲瓶的的值最小，即糖水中含糖固体质量最少，丙瓶的的值最大，即糖水中含糖固体质量最多． 故选∶C． 31．（2025·河北·模拟预测）小李驾驶汽车在早上从甲地出发到乙地，其行驶的平均速度（千米/时）与行驶所用的时间（时）之间的函数关系图象如图所示，已知全程限速120千米/时． （1）甲、乙两地之间的距离为______千米； （2）小李计划在当天不超过到达乙地，汽车行驶的平均速度的范围为______． 【答案】 540 / 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是列出函数解析式． （1）根据路程、速度、时间之间的关系列出y与t的函数解析式，由图象求出s即可； （2）根据，求出，再根据，得出v的取值范围． 【详解】解：（1）由题意得：， ， 甲、乙两地之间的距离为540千米， 故答案为：540； （2）小李计划在当天不超过到达乙地， ， ， 又， 汽车行驶的平均速度的范围为， 故答案为：． 32．（2026·江苏扬州·二模）如图为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清视力表最小“”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足 ，当时，属于正常视力，则正常视力对应的分辨视角的范围是________． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】根据反比例函数的性质可知随的增大而减小，再利用时，求出的取值范围，结合求的范围． 【详解】， 在自变量的取值范围中，随的增大而减小， 时，， ， ． 33．（2025·山西晋中·一模）在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】先求出反比例函数关系式，再分别求出气体体积，作差求解即可． 【详解】解：设反比例函数关系式为， 反比例函数图象经过点， ，解得， 反比例函数关系式为． 当时，即，解得； 当时，即，解得， ． 即气体体积压缩了． 34．（26-27九年级上·全国·课后作业）一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】A、根据电压电流电阻，即可求解；B、根据电压电流电阻，即可求解；C、由图进行判断即可；D、若该电路的最小电阻值为，代入计算即可； 【详解】解：A、根据电压电流电阻， ∴蓄电池的电流，说法正确，不符合题意； B、根据电压电流电阻， ∴这个蓄电池的电压值大约是，说法正确，不符合题意； C、由图可知，图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系，说法正确，不符合题意； D、若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，选项说法错误，符合题意． 35．（2026·广东河源·二模）/跨学科/在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图像如图所示．根据图像，下列结论正确的是（     ） A．该函数图像满足的表达式为 B．当振动弦长为时，振动频率为 C．当振动弦长时，振动频率 D．该函数图像与坐标轴有一个交点 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】首先结合图像确定该反比例函数的解析式，然后结合反比例函数的图像与性质，逐一分析判断即可． 【详解】解：设弦的振动频率与振动弦长的函数关系为， 由图可知，该函数图像经过点，即， 解得， ∴该函数图像满足的表达式为，故选项A错误，不符合题意； 当振动弦长为时，振动频率 ，B选项正确，符合题意； ∵， ∴该函数图像在第一象限内，随的增大而减小， 当振动弦长时，振动频率， 故选项C错误，不符合题意； 该反比例函数的图像只会与坐标轴无限接近，不会与坐标轴相交， 故D选项错误，不符合题意． 【考点7】实际问题与一次函数综合（第36-45题） · 分段函数先分别求两段解析式 · 比较方案优劣取交点为分界 · 注意自变量范围与图象走势 36．（2024·湖南郴州·模拟预测）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米的反比例函数，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（    ） A．7米 B．14米 C．21米 D．28米 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 先用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入反比例函数的解析式求解即可． 【详解】解：设与之间的函数表达式为， ， ， 与之间的函数表达式为； 当时，米， 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； 故选：D． 37．（2026·江苏南京·一模）某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图像如图所示．该产品的月供应量（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为______元． 【答案】 30 【知识点】实际问题与反比例函数、求一次函数解析式、因式分解法解一元二次方程、求反比例函数解析式 【分析】根据待定系数法分别求出月需求量、月供应量关于销售单价x的函数，然后令求解即可. 【详解】解：设， 把代入，得， ∴， 设， 把，；，分别代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为30元. 38．（2026·吉林松原·模拟预测）项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决    (1)任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； (3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 【答案】(1)减小，反比例函数； (2)这个空牛奶盒的质量为； (3)右边托盘应向左边移动 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据表格数据可知，的长度随着总质量m的增大而减小，根据，猜想：l与m满足怎样的函数关系：反比例函数； （2）先设l关于m的函数解析式为，运用待定系数法，求出反比例函数的解析式为，再设空牛奶盒的质量为，根据题意得：，解方程，从而求出这个空牛奶盒的质量； （3）含水的牛奶盒质量为，牛奶盒与砝码的位置互换后，要使天平左边与右边平衡，则有，求出l，并根据任务二，求出右边托盘应向左边移动． 【详解】（1）解：任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而减小， ∵， ∴依此猜想：l与m满足：反比例函数； （2）解：设l关于m的函数解析式为， 则，将代入， 得：， 即l关于m的函数解析式为， 设空牛奶盒的质量为， 根据题意得：， 解得：， 答：这个空牛奶盒的质量为． （3）解：由任务二得，含水的牛奶盒总质量为， ∵将含水的牛奶盒与砝码的位置互换， ∴要使天平左边与右边平衡，可列式为：， 解得：， ∵， ∴要使天平仍保持平衡，右边托盘应向左边移动． 39．（25-26八年级下·上海金山·期末）在探究通过导体的电流与电阻的关系时，小华得出如下结论：当导体两端的电压保持不变时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足关系．实验中，当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)利用关于的函数表达式，说明当电阻增大为原来的倍（）时，通过导体的电流将如何变化． 【答案】(1) (2)电流变为原来的 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】（1）将已知的、数值代入，求出常数，再写出关于的函数表达式． （2）设原来电阻为，表示出原电流；再表示电阻增大为原来的倍后的电阻，求出新电流，对比得出电流变化规律． 【详解】（1）解：，，， ， ， ； （2）解：设原电阻为，原电流． 电阻增大为原来的倍后，新电阻． ， ， ， 电流变为原来的． 40．（2023·内蒙古包头·模拟预测）通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化而变化，刚上课时，学生兴趣激增，10分钟后保持平稳一段时间，20分钟后注意力开始分散．若学生的专注度y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)______． (2)当时，求y与x的函数关系式． (3)数学老师讲一道函数综合题需要25分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60？请说明理由． 【答案】(1)20 (2) (3) 解：经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60． 理由如下： 由题意得：， 解得， ， 经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、不等式组的实际应用： （1）根据描述可直接得出答案； （2）设双曲线解析式为，将C点坐标代入求出k值，进而求出点D、点A坐标，再利用待定系数法求y与x的函数关系式； （3）根据一次函数、反比例函数解析式列出不等式组，求出不等式组的解集，即可判断． 【详解】（1）解：20分钟后注意力开始分散， ， 故答案为：20； （2）解：由（1）可知，点C的坐标为， 设双曲线解析式为， 将代入，得：，解得， 将代入，得， 点A的坐标为， 由图可得点B的坐标为， 设时，求y与x的函数关系式为， 将，代入，得， 解得， y与x的函数关系式为； （3）略 41．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段检测）已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数解析式、正比例函数的定义、用反比例函数描述数量关系、求自变量的值或函数值 【分析】该题主要考查了正反比例函数的定义，解题的关键是正确理解正反比例函数． （1）设，则，然后利用待定系数法即可求得； （2）把代入（1）求得函数解析式求解． 【详解】（1）解：设， 则， 根据题意得：， 解得：， 则函数解析式是：； （2）解：当时，． 42．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段检测）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 【答案】(1)20摄氏度 (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可． 本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：， 根据题意，可得， 解得， 直线， 当时，， 恒定温度为：； （2）由（1）可知：一次函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：； （3）解：当时，， ， 故最多关闭． 43．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中水温与开机时间(分)满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间(分)成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温与开机时间(分)的函数关系式； (2)求图中的值； (3)若小明下午五点将饮水机在通电开机(此时饮水机中原有水的温度为)后即外出打篮球，预计一个半小时回到家中，回到家时，饮水机内的水温约为多少？请说明你的理由． 【答案】(1)； (2)； (3) ，理由：时，． 答：小明回到家中时，饮水机内的水温约为80℃． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次(反比例)函数解析式以及一次(反比例)函数图象上点的坐标特征； （1）根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间分的函数关系式； （2）由点，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间分的函数关系式，再将代入该函数关系式中求出x值即可； （3）将代入反比例函数关系式中求出值，即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间分的函数关系式为．将、代入中，得： ， 解得：， 当时，水温与开机时间分的函数关系式为． （2）解：当时，设水温与开机时间分的函数关系式为 ， 将代入 中，得： ，解得：， 当时，水温与开机时间分的函数关系式为 ． 当 时，， 图中的值为． （3）略 44．（23-24九年级上·广西崇左·期中）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图示，当血液中药物浓度上升（）时，满足；当血液中药物浓度下降（）时，y与x成反比例函数关系． (1)求k的值； (2)求当时，y与x之间的函数表达式； (3)若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 【答案】(1)2 (2) (3) 解：把分别代入和，得 和， ， ∴这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产． 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题主要考查正比例函数以及反比例函数的解析式，以及正比例函数以及反比例函数的应用，正确得到正比例函数以及反比例函数的解析式是解题的关键． （1）利用正比例函数解析式求法得出即可； （2）利用反比例函数解析式求法得出即可； （3）把分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：点在的图象上， ， ； （2）解：设当时，与之间的函数表达式为; 点在的图象上 ∴当时，与之间的函数表达式为； （3）略 45．（2026·河南平顶山·三模）新情境跨学科数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物的质量变化调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R（单位：）与物体质量m（单位：）之间的关系如图2所示，电流I（单位：）与可变电阻R之间的关系式为，其图象如图3所示，则下列说法正确的是（    ） A．I随着m的增大而减小 B．电流I是可变电阻R的反比例函数 C．当物体质量为时，电流 D．若该款电子秤中的电路电流范围设定为，则该电子托盘秤不能称出物体的质量 【答案】D 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】根据图象可判断A，B，C选项，求出，然后结合得到，求出当时，m有最大值1.5，进而判断D． 【详解】解：由图2可知，R随m的增大而减小，由图3可知，I随R的增大而减小， 随着m的增大而增大，A选项错误； 由图3可知，I与R之间的函数图象与y轴有交点，故I不是R的反比例函数，B选项错误； 当时，由图2可知，； 当时，由图3可知，，C选项错误； 由题意，设， 将，代入，得 解得 ． 又， ． 随着m的增大而增大， 当时，m有最大值1.5． 而，故该电子托盘秤不能称出物体的质量，D选项正确． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：k≠0 且 x≠0，求参数勿漏限制 · 图象过关：k 的符号定象限，增减性限同一象限 · 几何意义过关：矩形 |k|、三角形 · 交点过关：联立方程组，对称与不等式分界 · 应用过关：乘积定值建模，分段综合抓交点 【作业1】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 【答案】B 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查反比例关系的量．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵人的身高与年龄不一定有关系，即身高与年龄不成反比例，故A不符合题意， ∵三角形面积一定时，底边与其高乘积为定值，符合反比例关系，故B符合题意， ∵购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用之和为定值，它们的乘积不为定值，故C不符合题意， ∵小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间成正比，故D选项不符合题意， 故选：B． 【作业2】．（2026·山东临沂·二模）护眼台灯亮度调节的原理是台灯内电路的电压为定值，通过控制可变电阻从而调节台灯的亮度，已知台灯的电流是电阻的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．反比例函数的解析式为 B．该护眼台灯的电压为 C．若，则 D．当时， 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】设电流关于电阻的表达式为，利用待定系数法求出，然后逐项求解判断即可． 【详解】解：设电流关于电阻的表达式为， 将代入得，， 解得， ∴该护眼台灯的电压为，故B错误； ∴反比例函数的解析式为，故A错误； 当时，， 解得， 由图象得，I随R的增大而减小， ∴若，则，故C正确； 当时，，故D错误． 【作业3】．（2026·广东佛山·三模）在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（    ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据振动频率低于列出不等式，结合求解即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∵振动频率低于， ∴， ∵为弦长，， ∴， 即． 【作业4】．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】C 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，图象在第一象限，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵当时，图象在第三象限，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围是或，故C错误，符合题意； 若点在函数图象上，则，即， ∴，即点也在函数图象上，故D正确，不符合题意． 【作业5】．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断（画）反比例函数图象、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查新定义和反比例函数的图象，正确理解题意并结合反比例函数图象与系数的关系是解题关键． 按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限即可． 【详解】解：当时，，其图象在第一象限； 当时，，其图象在第二象限． 故选：B． 【作业6】．（2026·江苏淮安·二模）某新能源汽车品牌推出的快充技术中，电池充满电所需的时间（单位：小时）与充电功率P（单位：）成反比例函数关系，已知用功率充电，需2小时充满；若使用的快充桩，充满电需要_______小时． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】根据与成反比例关系设出函数解析式，利用已知条件求出待定系数得到完整函数解析式，再代入所求充电功率计算得到对应充电时间． 【详解】解：设与的函数解析式为 把，代入解析式得， 解得 因此函数解析式为 把代入解析式得． 【作业7】．（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 【作业8】．（2026·山西晋中·二模）某物理兴趣小组通过实验发现气体的压强（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当压强为时，气体的体积为______． 【答案】50 【知识点】实际问题与反比例函数、由反比例函数值求自变量 【分析】因为压强p是体积V的反比例函数，所以设反比例函数解析式为，．因为函数图像过点，所以将该点坐标代入解析式，可求出常数k的值．因为要求压强为时的体积，所以将代入确定后的反比例函数解析式，求解V即可． 【详解】解：∵是的反比例函数， 设解析式为 ． 由图像可知，反比例函数过点， 将代入得： ， 解得 ， 因此函数解析式为 ． 当压强时， 代入解析式： ， 解得 ． 【作业9】．（22-23九年级上·江苏南京·开学考试）已知反比例函数的图象经过点，若，则的取值范围为_____________． 【答案】或 【知识点】求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的增减性，先由函数图象经过点求出的值，进而得出时所对应的函数图象为第三象限的部分和第一象限的全部，再结合反比例函数的增减性可求出的取值范围． 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 又∵， ∴所对应的函数图象为第三象限的部分和第一象限的全部， 又∵， ∴在每个象限内随的增大而减小， ∵当时，， ∴的取值范围是：或． 故答案为：或． 【作业10】．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系内，点， ，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为________． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的定义，找出经过反比例函数图像的点是解题的关键．因为三点在三个不同象限，所以反比例函数经过两点，，待定系数法求反比例函数解析式即可． 【详解】解：点， ，，分别在三个不同的象限，点在第一象限，点在第二象限， ∴点一定在第四象限， ∵反比例函数的图像经过其中两点， ∴反比例函数的图像经过，， ， ． 故答案为：． 【作业11】．（2024·湖南·模拟预测）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的有_______．（填序号） ①函数解析式为；②容器内气体的质量是；③当时，；④当时，． 【答案】①③/③① 【知识点】实际问题与反比例函数、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键．利用待定系数法求出函数解析式为，再逐项求解即可． 【详解】解：密度与体积是反比例函数关系， 设， 由图象可知，反比例函数图象可知，当时，， ， ， 函数解析式为，故①正确； 质量密度体积， 容器内气体的质量，故②错误； 当时，， ∵, ∴由图象可得，在第一象限内，随着的增大而减小， ∴，故③正确； 当时，， 解得：，故④错误， 故答案为：①． 【作业12】．（2026九年级下·全国·专题练习）实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由： 由可得：当时，解得， 从晚上到第二天早上时间间隔为小时， ∵， ∴第二天早上不能驾车去上班． 【知识点】实际问题与反比例函数、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，理解题意，结合函数图像获取所需信息是解题的关键． （1）利用待定系数法，将点代入，直线的解析式为，进而求出，再设双曲线的解析式为，将点代入，求出反比例函数解析式即可； （2）利用（1）求出的解析式，当时，解得，从晚上到第二天早上时间间隔为小时，由，即可求出答案． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 由图可知：直线过， 将代入，可得，解得， 则直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴部分双曲线的函数表达式为； （2）略 【作业13】．（25-26八年级下·河南南阳·期中）给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积 0.2 0.3 0.6 0.8 … 所需地砖数量/块 300 200 100 75 … (1)从表格中得到： ①这间教室有_____； ②分别用（单位：平方米）和（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量，用式子表示与的关系为_____，与成_____比例关系； (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室，需要多少块？ 【答案】(1)①60；②，反 (2)240块 【知识点】用反比例函数描述数量关系、求反比例函数值、用表格表示变量间的关系 【分析】（1）根据教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量，可得与成反比例关系，再根据表格中的数据可得对应的关系式； （2）根据正方形面积计算公式可求出的值，再将其代入解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵教室的面积一定，且教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量， ∴这间教室有； ②∵教室的面积一定，且教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量， ∴与成反比例关系，由表格中的数据可得，即，与成反比例关系． （2）解：5分米米， 每块方砖面积． 又， 当时，． 答：需要240块． 【作业14】．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？ 【答案】(1)所求函数关系式为 (2)需要5台这样的挖掘机 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，x的值，再用x的值除以16即可得到答案． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 点在函数图象上， ， ， 所求函数关系式为． （2）解：当时，， ， ， 答：需要5台这样的挖掘机． 【作业15】．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 【答案】(1)； (2)时，． 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、正比例函数的定义、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查的知识点有正比例关系、反比例关系，函数解析式的求法，确定函数解析式的关键是正确理解图象上的点与函数解析式的关系． （1）由与成正比例关系，与x成反比例关系．分别设，并把、代入中，然后把所给两组数分别代入求出、，即可求出与的函数关系式． （2）把代入（1）中的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， 则 ， 依题意得 ， 解得 ， ； （2）解：当时，． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $