精品解析：陕西汉中中学2026-2027学年高二上学期学情诊断（一） 数学试卷

汉中中学2026-2027学年度高二年级第一学期学情诊断(一) 数学试题（卷） 一、单选题（共8小题，每小题5分，计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 点关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点的对称性，分析即可得答案. 【详解】点关于平面对称的点是. 故选：A 2. 已知向量，，且，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知，， 因为，所以存在实数，使得， 故，解得，，， 所以. 3. 四面体中，G是的中点，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量加法的几何意义，结合几何体中的线段关系求目标式对应的向量. 【详解】由题设，可得如下四面体的示意图， ∴，则. 故选：B 4. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. 或 B. C. D. 与斜交 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以或. 5. 已知，则（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的加法，乘法的坐标运算得出结果. 【详解】由已知可得, ， 则， 故选：A 6. 已知空间中三点，，，则下列结论正确的是（     ） A. 与是共线向量 B. 与共线的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算即可判断AB；由空间向量夹角坐标公式，计算即可判断C，由平面法向量的计算公式，计算即可判断D. 【详解】对于A，， 因为，则与不共线，故A错误； 对于B，与共线的单位向量为，故B错误； 对于C，，所以， 所以与夹角的余弦值是，故C正确； 对于D，设为平面的法向量， 则，取，则， 所以，平面的一个法向量是，故D错误. 7. 已知，，，若，，共面，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，据此可得答案. 【详解】因为，，共面，所以可设， 即，则，解得，，． 故选：C． 8. 空间直角坐标系中，定义经过点且法向量为的平面方程为，平面外的一点到平面的距离．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，在轴上求一点使它到平面的距离为6，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面外一点到平面的距离公式代入计算解方程即可得结果. 【详解】设点的坐标为， 由题意可知，即， 解得或； 所以点的坐标为或. 故选：D 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知空间向量，则（    ） A. B. 向量不是共面向量 C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 直线的方向向量，平面的法向量，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 若直线的方向向量，平面的法向量，若，则实数 D. 若，，，则点在平面内 【答案】BD 【解析】 【分析】A由可得进而可判断；B证得可得，进而可判断；C由可得，解出即可判断；D证得向量共面，即可判断. 【详解】A因为，所以，故A错误； B因为，所以，因此，故B正确； C因为，所以，因此，即，故C错误； D因为，所以向量共面，即点四点共面， 从而点P在平面ABC内，故D正确. 故选：. 11. 如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面ABCD是正方形，且，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 长为 D. 异面直线AC与所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间基底法，来进行空间向量的线性运算和数量积运算，即可判断各选项. 【详解】因为，根据过一点只有一条直线与平行，而与显然不共线，所以是不成立的，故A错误； 设，因为， 且， 则， 所以，故B正确； 因为， 即，所以长为，故C正确； 因为，且， 可得 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故D错误； 故选：BC 三、填空题（共3小题，每小题5分，计15分．） 12. 在正四面体O－ABC中，，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______________(用表示)． 【答案】 【解析】 【详解】因为在四面体中，为的中点，为的中点， ，故答案为. 13. 已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】由求解，再排除与共线时的值即可得答案. 【详解】与的夹角为钝角， ，解得， 由题意得与不共线，则，解得， 的取值范围是. 故答案为：. 14. 如图在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为，，，四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据，，，四点共面得到. 四、解答题（本题共4小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演示步骤．） 15. 已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)． (1)求|2a＋b|； (2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点) 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)先求出2a＋b＝(0，－5,5)，再求.(2)，再由·b＝0求出t＝，即得点E的坐标. 【详解】(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故. (2)． 若⊥b，则·b＝0. 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝. 因此存在点E，使得⊥b，E点坐标为. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量的模，考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 16. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近点的三等分点.设，，，，. （1）用，，表示向量； （2）若，，求. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）根据三棱柱的性质得到，再由向量加法的三角形法则即可求解； （2）利用（1）中结果，结合向量数量积的定义即可求解. 【小问1详解】 在三棱柱中,四边形为平行四边形， 所以 因为为的中点,为上靠近点的三等分点， 所以，， 所以； 【小问2详解】 因为,故， 又， 所以. 17. 在直三棱柱中，△为等腰直角三角形，，点在侧棱上，且满足． （1）求证：； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明：由题意得，以为坐标原点，以所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， ， 由， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积等于零来证明即可； （2）求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题得， 设平面的一个法向量为， 则，即，取， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 四棱锥中，平面，，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为45°，如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）取中点，连接， 则， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. （2）存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，令，利用空间向量法求解面面角建立关于的方程，解出，再次利用空间向量法求解线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知得，，，， 所以，所以， 又平面，平面， ， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则. 假设存在点，满足要求，令， 又，所以， 所以，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的法向量为， 显然平面的一个法向量为， 若平面与平面的夹角为45°， 则， 即，解得，所以， 所以， 记与平面所成角为， . 所以存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，，，，，分别为的中点，． （1）求证：平面平面； （2）设，若平面与平面所成锐二面角，求的取值范围． 【答案】（1） ∵，，，为的中点， ∴为矩形，，又∵，是中点， ∴，∵，∴， ∵，平面，∴平面， 又平面，∴平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由题目给出的条件，可得四边形为矩形，说明，再证明，由线面垂直的判定可得平面，再根据面面垂直的判定得到平面平面； （2）以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，分别为的中点，∴， 又，，∴，又， 平面，∴平面， 平面，∴， 如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，， 平面的法向量， 设平面的法向量为， 则，即，取，得，， 则， ∴， ∵平面与平面所成锐二面角， ∴，即， 由，得：，由得：或， ∴的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉中中学2026-2027学年度高二年级第一学期学情诊断(一) 数学试题（卷） 一、单选题（共8小题，每小题5分，计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 点关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 四面体中，G是的中点，连接，则（ ） A. B. C. D. 4. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. 或 B. C. D. 与斜交 5. 已知，则（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. -2 6. 已知空间中三点，，，则下列结论正确的是（     ） A. 与是共线向量 B. 与共线的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 7. 已知，，，若，，共面，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 8. 空间直角坐标系中，定义经过点且法向量为的平面方程为，平面外的一点到平面的距离．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，在轴上求一点使它到平面的距离为6，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知空间向量，则（    ） A. B. 向量不是共面向量 C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 直线的方向向量，平面的法向量，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 若直线的方向向量，平面的法向量，若，则实数 D. 若，，，则点在平面内 11. 如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面ABCD是正方形，且，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 长为 D. 异面直线AC与所成角的余弦值为 三、填空题（共3小题，每小题5分，计15分．） 12. 在正四面体O－ABC中，，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______________(用表示)． 13. 已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是____________. 14. 如图在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为__________. 四、解答题（本题共4小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演示步骤．） 15. 已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)． (1)求|2a＋b|； (2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点) 16. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近点的三等分点.设，，，，. （1）用，，表示向量； （2）若，，求. 17. 在直三棱柱中，△为等腰直角三角形，，点在侧棱上，且满足． （1）求证：； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 18. 四棱锥中，平面，，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为45°，如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由． 19. 如图，在四棱锥中，，，，，分别为的中点，． （1）求证：平面平面； （2）设，若平面与平面所成锐二面角，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $