精品解析：重庆育才中学2026-2027学年高二上学期月考数学试题（一）

重庆育才中学校高2028届高二上数学试题（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知直线：，：．且，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 4. 已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在长方体中，设，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6. 光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A. B. 4x+5y-1=0 C. 3x-4y+1=0 D. 3x-4y-1=0 7. 如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（　　） A. B. C. D. 8. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下命题正确的是（ ） A. 若是平面的一个法向量，直线 上有不同的两点A，B，若 ，则 B. 已知A、B、C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点共面 C. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. ， ，则在上的投影向量为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，m的值为 D. 已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 11. 在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，动点满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则平面与平面夹角的余弦值为 B. 若，则平面平面 C. 若，则点到直线的距离的最小值为 D. 存在唯一有序实数对，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，，则和之间的距离为_________． 13. 如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________；直线与所成角的余弦值为__________. 14. 在正方体中，，点,在线段上，且.点、、是正方体表面上动点,且，则的最小值为______. 四、解答题：本题共4题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． （1）求证：平面； （2）求线段到平面的距离． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，点是的中点，点在棱上，且． （1）求证：； （2）若二面角的正弦值为，求． 18. 已知直线l：. （1）求证：无论k为何值，直线l：恒过定点； （2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求k的值； （3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，设平面平面，且． （1）证明：； （2）若，， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）点是四边形（不含边界）内的动点，且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学校高2028届高二上数学试题（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知直线：，：．且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般式方程判断两条直线平行的方法即可求解. 【详解】因为直线：，：．且， 所以，即，解得. 因此实数. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线的方程可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小. 【详解】由直线，可化为，所以直线的斜率， 设倾斜角为，则，又因为，所以. 故选：A 3. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， . 4. 已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，且线段是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为. 5. 如图，在长方体中，设，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据长方体的结构特征及，应用向量数量积的运算律求值. 【详解】由长方体的性质知，，，，， 所以． 故选：A 6. 光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A. B. 4x+5y-1=0 C. 3x-4y+1=0 D. 3x-4y-1=0 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称的性质，设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0），利用斜率和中点坐标可得A′，可得反射光线所在直线的方程． 【详解】设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0）， 则 解得：A′（﹣4，﹣3）． 由于反射光线所在直线经过点A′（﹣4，﹣3）和B（1，1）， 所以反射光线所在直线的方程为y﹣1＝（x﹣1）•，即4x﹣5y+1＝0． 故答案为A. 【点睛】本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，斜率，中点坐标的应用，属于基础题． 7. 如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平面的法向量求出点，再计算点到直线的距离. 【详解】如图，以点A为原点，分别为轴建立空间坐标系， , 则， 则,，，， 设平面的一个法向量， 则，令，则，且面， 则，即，得，故， 所以，， ，则， P到AB的距离为. 故选：C 8. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，令， 解得，可知定点， 又， 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下命题正确的是（ ） A. 若是平面的一个法向量，直线 上有不同的两点A，B，若 ，则 B. 已知A、B、C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点共面 C. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. ， ，则在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面位置关系的向量形式判断A；根据共面向量定理的推论判断B；根据基底的概念判断C；结合数量积的坐标运算，利用投影向量公式求解判断D. 【详解】对于A，因为 ，所以，则或，故 A错误； 对于B，因为，， 所以由空间向量共面定理可知：P、A、B、C四点共面，B正确； 对于C，假设存在实数使得， 因为是空间的一个基底，所以线性无关， 则有，故线性无关，即也是空间的一个基底，C正确； 对于D，，， 则在上的投影向量为，故D错误． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，m的值为 D. 已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线方向向量的定义，求得直线的斜率，可判定A正确；根据两直线垂直，列出方程，求得的值，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；求得直线过定点，结合与直线垂直时距离最大，求得的值，可判定C正确，结合斜率公式，求得的值，结合图象，可判定D正确. 【详解】对于A，因为直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于，所以A正确； 对于B，由直线与直线互相垂直， 可得，即，解得或， 所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C，因为直线，可化为， 由，解得，即直线恒过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大， 所以，解得，所以C正确； 对于D，因为，可得， 如图所示，要使得过定点的直线与以线段有交点， 则满足或，所以直线l的斜率k的取值范围是，所以D正确. 11. 在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，动点满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则平面与平面夹角的余弦值为 B. 若，则平面平面 C. 若，则点到直线的距离的最小值为 D. 存在唯一有序实数对，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据题意建立空间直角坐标系，再求出平面的法向量，进而根据二面角的向量求法即可判断选项A；利用空间向量证明面面平行即可判断选项B；根据点到直线距离的向量求法即可判断选项C；根据题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，点在以为圆心，为半径的圆上，再数形结合可判断D． 【详解】依题意，以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 由正方体的棱长为，且点为棱的中点， 则，，，，，，， 对于A，若，，则，即点与点重合，即， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为，故A错误； 对于B，若，则，即， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 结合选项A知平面的法向量为， 所以，即，即平面平面，故B正确； 对于C，若，则，与三点共线，即在线段上， 设，，则， 则，， 所以点到直线的距离为， 所以当，即为线段的中点时，点到直线的距离取最小值，且最小值为，故C正确； 对于D，易知与均垂直于平面，连接，， 则，，若，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 若，则，则点在以为圆心，为半径的圆上（均为侧面内部）， 两圆的圆心距，故两圆弧相交（如图所示）， 故符合条件的点有两个，对应的有两组，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，，则和之间的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两平行线的距离公式即可求解. 【详解】直线即， 所以和之间的距离为. 故答案为：. 13. 如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________；直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】表达出，平方后求出，求出；求出，利用向量夹角余弦公式求出异面直线距离的余弦值. 【详解】连接， ， 故； ， 故 ， 故， 则 ， 故直线与所成角的余弦值为. 故答案为：； 14. 在正方体中，，点,在线段上，且.点、、是正方体表面上动点,且，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由已知可得点在球心为半径为2的球面上，由向量的知识可知，求出的最小值解答即可. 【详解】如图， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，由， 则， 即， 也即， 由此可知点都是在球心为，半径为2的球面上， 由于，故是球的直径，为中点， ， 故要求的最小值，只需要求出的最小值， 而在正方体的表面上，设点在平面内的射影为， 则当在处时， 此时，即的最小值为. 四、解答题：本题共4题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． （1）求证：平面； （2）求线段到平面的距离． 【答案】（1）取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面，所以平面，   由于，平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系， 则、、，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以，令，则，所以， 设点到平面的距离为，则， 由（1）知，∥平面， 则线段到平面的距离即为点到平面的距离， 故线段到平面的距离为． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正切求解即得. （2）由（1）的结论，利用三角形面积求出，再利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 又，所以， 所以，即， 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，解得， 又因为， 即，所以， 故的周长为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，点是的中点，点在棱上，且． （1）求证：； （2）若二面角的正弦值为，求． 【答案】（1）连接AC． 因为底面是正方形，所以． 因为底面，所以． 又因为，平面,平面， 所以平面．又因为平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线线垂直可证明平面，进而利用线面垂直的性质可证结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量法和二面角的正弦值求得. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知可得，，，． 所以．由，得，所以． 设平面的法向量为， 则，即，取． 由题意可得平面的一个法向量为． 设二面角的平面角大小为θ，由，得． 即，解得（舍去）． 18. 已知直线l：. （1）求证：无论k为何值，直线l：恒过定点； （2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求k的值； （3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程. 【答案】（1） 证明：直线l：可化为，故过定点 ， 所以无论k为何值，直线l：恒过定点； （2）或 （3）S的最小值为4，直线l的方程为 【解析】 【分析】（1）根据直线的点斜式方程定义，整理直线形式即可； （2）利用直线截距相等列式即可，但要注意讨论直线过原点的情况； （3）根据题意求面积的表达式，之后求最值并求其成立的条件即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①当直线l过原点时，满足在两坐标轴上的截距相等， 将原点代入方程，求得； ②当直线l不过原点时，即时， 又因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以， 直线l：中取得，取得， 所以，求得， 综上，k的值为或； 【小问3详解】 因为直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，所以， 则中取得，取得， ， 当且仅当时，即时取“=”， 所以S的最小值为4，直线l的方程为. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，设平面平面，且． （1）证明：； （2）若，， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）点是四边形（不含边界）内的动点，且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明：因为为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 因为，所以； （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质得线线平行，从而证明出； （2）（i）法一：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到线面角的正弦值； 法二：补体成长方体，得到为直线与平面所成角，求出各边长，求出正弦值； （ii）令，，则，求出平面和平面的法向量，利用面面角的余弦公式和换元得到，根据函数的单调性，得到平面与平面所成角的余弦值的取值范围. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 （i）（法一：向量法）因为平面，且，所以，，两两互相垂直， 以为原点，、、分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 由可得取，则，， 所以， 设直线与平面所成角为， 则； （法二：几何法）补体成长方体， 过点作垂直于点，连接，，则平面， 所以为直线与平面所成角， 在中，，所以， 在中，，， 所以． （ii）因为平面，平面，所以， 因为，所以， 又是四边形（不含边界）内的动点，则点在以为圆心，2为半径的圆上， 令，，则， 又，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则取， 设平面的法向量为， 则取， 故， 令，则， 因为函数在上单调递减，则， 则， 设平面与平面所成角为，则， 所以平面与平面所成角的余弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $