精品解析：重庆市合川中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.1． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的． 1. 已知直线l经过点，，则直线l的斜率为（ ） A. B. 4 C. D. 5 2. 在平行六面体中，与向量相等的向量是（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，与关于x轴对称，则（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱柱中，D是BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点和，点在轴上，且为直角，则点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 在空间直角坐标系中，，，，，，且平面，则（ ） A. B. 2 C. D. 7. 设点，若在直线：与直线：上分别存在点M，N，使得为等边三角形，则（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 0或 8. 空间直线l经过点，且直线l的方向向量为，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系Oxy中，直线的位置如图所示，记的斜率和倾斜角分别为和，其中，2，3，4，则（ ） A. B. C. D. 10. 现有如下记载：刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术曰：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.现有一个刍甍如图所示，四边形为矩形，四边形为等腰梯形，平面，点在线段上，则（ ） A. B. 存在实数，使得 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 的取值范围为 11. 定义集合是满足下列性质的所有空间向量构成的集合：若，，，，，，且，，则．在正方体中，，，.若，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则_______． 13. 在平面直角坐标系中，、、，若是的边上的动点，则直线的斜率的取值范围为______． 14. 在四棱台中，平面，底面为正方形，M为的中点，N为底面内的动点，．若，则点的轨迹长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间向量，． （1）若，求z的值； （2）若，求与的夹角． 16. 如图在正方体中，E，F分别为棱，的中点． （1）证明：平面． （2）求异面直线与所成角的余弦值． 17. 如图，圆锥PO的底面半径为6，高为6，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，且，H为PA的中点，点M为的重心.以O为坐标原点，OC、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系． （1）求点M的坐标． （2）证明：为直角三角形． （3）求点D到平面PBC的距离． 18. 已知四边形和均是边长为3的正方形，且平面平面，点P，Q分别在线段，上，且． （1）证明：平面． （2）当取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 如图，O为坐标原点，M，N均为函数的图象在第一象限的点，P，Q均为函数的图象在第一象限的点．已知O，M，N三点共线，且直线与直线均与x轴平行． （1）若是直线的一个方向向量，求直线的斜率． （2）证明：O，P，Q三点共线 （3）已知直线的倾斜角为． （i）求四边形的面积． （ii）将三角形沿着直线进行翻折，使得点N到达点E的位置，且平面平面，连接．试问在线段上是否存在点F，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.1． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的． 1. 已知直线l经过点，，则直线l的斜率为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】直线l的斜率． 2. 在平行六面体中，与向量相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】与向量相等的向量，需和向量的方向相同，模相等. 如图，因为，所以向量与向量相等， 因为向量与向量的方向不同，所以和向量不相等. 3. 在空间直角坐标系中，与关于x轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意可得，所以，，． 4. 在三棱柱中，D是BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用空间向量加减法计算求解. 【详解】． 5. 已知点和，点在轴上，且为直角，则点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】设，则，． 因为为直角，所以， 整理可得，解得或，故点的坐标为或． 6. 在空间直角坐标系中，，，，，，且平面，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意可得，，． 设平面的法向量为，则, 令，则． 因为平面，所以，则，解得，经检验满足题意． 7. 设点，若在直线：与直线：上分别存在点M，N，使得为等边三角形，则（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 0或 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意可得点H在上，也在上． 因为为等边三角形，所以与的夹角为． 因为的倾斜角为，所以的倾斜角为或， 所以或． 8. 空间直线l经过点，且直线l的方向向量为，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意可得，，直线l的方向向量为， 所以点P到直线l的距离为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系Oxy中，直线的位置如图所示，记的斜率和倾斜角分别为和，其中，2，3，4，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图中四条直线的上升、下降方向及陡缓程度判断各斜率的正负与大小，再结合倾斜角的定义比较各倾斜角。 【详解】因为，所以，则由图可得，． 10. 现有如下记载：刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术曰：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.现有一个刍甍如图所示，四边形为矩形，四边形为等腰梯形，平面，点在线段上，则（ ） A. B. 存在实数，使得 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质即可判断A，根据线线平行即可求解B，根据投影向量的定义即可求解C，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解D. 【详解】对于A,由于平面，平面，故,进而，A正确， 对于B,取中点，连接,由于,故且，因此四边形为平行四边形，故，由于点在线段上，不在直线上，因此与不平行，因此不存在，使得，B错误， 对于C,由于 故向量在向量上的投影向量为，C正确， 对于D, 如图，建立平面直角坐标系，设，则， 当时，取到最小值12，当或8时，取到最大值，故的取值范围为，D错误. 11. 定义集合是满足下列性质的所有空间向量构成的集合：若，，，，，，且，，则．在正方体中，，，.若，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意：由两个向量确定一个平面，向量在这个平面内，就在内；不在这个平面内的向量，就不属于. 【详解】如图 由已知：若，，，，， 且，，则． 即说明若，，共面，. 选项A易知，，三个向量不共面，即，选项A正确； 选项B若，当时，， 所以平面，平面，而不在平面内， 所以，选项B错误； 选项C易知，，共面于平面，选项C正确； 选项D若，当时，向量，同在平面， 而不在平面内，所以，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】由题可知，两个平面平行则它们的法向量必定平行，即， 若两个非零向量平行，则对应坐标成比例，故，解得. 13. 在平面直角坐标系中，、、，若是的边上的动点，则直线的斜率的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】如图，由题意得，， 所以直线的斜率的取值范围为． 14. 在四棱台中，平面，底面为正方形，M为的中点，N为底面内的动点，．若，则点的轨迹长度为________． 【答案】## 【解析】 【分析】以为原点建系，设，根据得出，再求线段长即可. 【详解】如图，以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 由，得， 即，其与的交点分别为， 则点的轨迹长度为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间向量，． （1）若，求z的值； （2）若，求与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量垂直等价于数量积为0，先求出的坐标，再利用数量积公式列方程求解参数，最后检验向量非零. （2）先求得的坐标，分别计算数量积与向量模长，代入夹角公式求出余弦值，再结合向量夹角范围求出夹角. 【小问1详解】 因为，，所以． 因为，所以， 即， 解得，此时为非零向量，所以． 【小问2详解】 若，则，， 所以. 又，， 所以. 因为，所以与的夹角为． 16. 如图在正方体中，E，F分别为棱，的中点． （1）证明：平面． （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设，则，，，，，，，． 设平面的法向量为， 则令，则． 因为， 所以，故平面． 法二：取的中点H，连接，． 因为E，F分别为棱，的中点，所以为的中位线，所以， ， 所以四边形是平行四边形， 所以． 因为平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解，注意异面直线所成角范围为，向量点积结果需要取绝对值；法二：采用几何法证明线面平行，通过取的中点，利用三角形中位线性质得到线段平行且相等，构造平行四边形，证得，再依据线面平行判定定理完成证明. （2）法一：采用空间向量法，利用向量夹角公式，计算异面直线所成角的余弦值；法二：利用（1）中证明的，将异面直线所成角转化为相交直线与的夹角.求出三边长后，借助余弦定理计算角度，把空间角问题转化为平面三角形的边角计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：（接（1）的法一） 设异面直线与所成角为，，则： ， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 解法二：（接（1）的法二） 因为，所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角． 设，则，，， 由余弦定理得：，所以异面直线与EC所成角的余弦值为． 17. 如图，圆锥PO的底面半径为6，高为6，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，且，H为PA的中点，点M为的重心.以O为坐标原点，OC、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系． （1）求点M的坐标． （2）证明：为直角三角形． （3）求点D到平面PBC的距离． 【答案】（1） （2）， 向量：， 点积：， ，即，所以是直角三角形. （3）距离为 【解析】 【分析】立空间直角坐标系，利用三角形重心坐标公式，代入三点坐标求出重心坐标，即可得解； 先求出中点的坐标，写出向量与，算向量点积，由点积为证两向量垂直，判定为直角三角形； 求平面的两个方向向量，解方程组得到平面法向量，利用向量投影的几何意义，计算点到平面的距离. 【小问1详解】 底面半径，高；为轴，为轴，为轴， ，， ，，，，， ，在平面，， 由是的重心，得. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 ，设法向量， ，取， 在平面取一点，而，则， 点到平面的距离为向量,在法向量方向上投影的绝对值：， 代入计算：， ，. 18. 已知四边形和均是边长为3的正方形，且平面平面，点P，Q分别在线段，上，且． （1）证明：平面． （2）当取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：在正方形中，． 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． 又平面，所以． 在正方形中，， 又，、平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得到平面，推出；结合正方形对角线互相垂直得，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）先利用面面垂直性质建立空间直角坐标系，设参数表示坐标，写出关于的二次函数，求出最小时对应的；再求出两个平面的法向量，利用平面夹角公式计算余弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知平面．又，所以平面，则，，两两垂直．以A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 设，所以． 因为，所以，所以， 则， 当时，取得最小值，即取得最小值， 此时，． 设平面的法向量为，则即 令，得，得：． 由（1）知平面，所以平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为，，则： 由， 得平面与平面夹角的余弦值为． 19. 如图，O为坐标原点，M，N均为函数的图象在第一象限的点，P，Q均为函数的图象在第一象限的点．已知O，M，N三点共线，且直线与直线均与x轴平行． （1）若是直线的一个方向向量，求直线的斜率． （2）证明：O，P，Q三点共线 （3）已知直线的倾斜角为． （i）求四边形的面积． （ii）将三角形沿着直线进行翻折，使得点N到达点E的位置，且平面平面，连接．试问在线段上是否存在点F，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：设，，则，，其中，， 所以直线的斜率，直线的斜率． 因为O，M，N三点共线，所以，则，即， 所以，又，有公共点，故O，P，Q三点共线． 法二：设，，则，，其中，. 直线与直线均与x轴平行，所以，，得，. 直线的斜率，直线的斜率． 因为O，M，N三点共线，所以，则，即， 所以，又，有公共点，故O，P，Q三点共线． （3）（i）；（ii）存在符合题意的点F，且． 【解析】 【分析】（1）已知直线的方向向量，利用方向向量与斜率的关系，纵坐标与横坐标的比值即为直线斜率，直接求解即可. （2）法一：利用指数函数求出坐标，结合三点共线的斜率相等条件，证明，即可证三点共线.法二：利用平行轴，得到纵坐标相等，结合指数运算求出横坐标与横坐标的关系；再由共线得到斜率等式，推导出，证明三点共线. （3）（ⅰ）由直线倾斜角为得到横坐标相等，结合第（2）问三点共线条件求出参数，确定四个顶点坐标，再利用梯形面积公式求解四边形面积；（ⅱ）翻折问题，利用面面垂直性质得到线面垂直，建立空间直角坐标系；设参数表示点坐标，求出平面的法向量，借助线面角的向量公式建立方程，求解参数并验证取值范围，判断点是否存在. 【小问1详解】 因为是直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：（ⅰ）因为直线MQ的倾斜角为，所以由（2）得，即． 因为O，M，N三点共线，故，所以，则，解得，所以， 则，，，． 四边形为直角梯形，上底，下底，高为 故面积为． （ⅱ）因为直线与x轴平行，直线的倾斜角为，所以，则． 因为平面平面PMQ，平面平面，所以平面PMQ． 以O为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴，平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．根据题意可得，，，，，． 设平面的法向量为，则令，则． 设，则． 假设存在符合题意的点F，设直线与平面所成的角为， 则， 即，得，解得或（舍去）， 故存在符合题意的点F，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $