北京市第八十中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题B卷

北京市第八十中学2026—2027学年第一学期10月阶段评价 高二数学B卷 2026年10月 班级__________姓名__________考号__________ （考试时间120分钟 满分150分) 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题，共12题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 3．设点在平面上的射影为，则等于（ ） A． B．5 C． D． 4．已知圆被直线分成弧长相等的两部分，则（ ） A． B． C．2 D．6 5．已知，，，若，，共面，则为（ ） A． B． C．3 D．9 6．已知向量，是平面内两个不相等的非零向量，直线的方向向量为，则“，且”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．如图底面为平行四边形的四棱锥，，若，则（ ） A．1 B．2 C． D． 8．三棱锥中，，，两两垂直，．则（）和的夹角为（ ） A． B． C． D． 9．已知三条直线：，：，：将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 10．若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则（ ） A．4 B．1 C．0 D． 11．中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体．该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．在如图所示的“曲池”中，平面，记弧、弧的长度分别为，，已知，，，为弧的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 12．已知曲线：，给出下列四个结论： ①曲线有4条对称轴； ②曲线恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线上任意一点到原点的距离都不超过 ④曲线所围成的图形的面积为 其中所有正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分． 13．已知，，为空间两两垂直的单位向量，且，，则__________． 14．已知两条不重合的直线：和：，，若，则的值为__________． 15．已知圆的圆心坐标为，与直线交于，两点，且． （1）则圆的标准方程为__________； （2）过点与圆相切的直线方程为__________． 16．菱形的边长为，，为的中点（如图1），将沿直线翻折至处（如图2），连接，，若四棱锥的体积为，点为的中点，则到平面的距离为____________________． 17．如图，正方体的棱长为4，动点，在棱上且，动点，分别在棱，上（均不与点重合）．给出以下四个结论： ①直线与直线所成角的范围是； ②三棱锥体积的最大值为； ③当且为中点时，线段上一点到直线的距离的取值范围是； ④当且，分别为，中点时，若空间中一个动点满足，则的最小值为10． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题，共4小题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 18．在平面直角坐标系中，三条直线分别为：，：，：． （1）直接写出直线，的斜率，； （2）设与交于点，与交于点，与交于点． （i）求，，三点坐标及线段的垂直平分线的方程； （ii）求过，，三点的圆的方程． 19．如图，在四棱锥中，侧面底面，且底面是矩形，，． （1）求证：平面平面； （2）从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20．如图，正方形的边长为2，，分别为，的中点．在五棱锥中，为棱上一点，平面与棱，分别交于点，． （1）求证：； （2）若底面，且，直线与平面所成角为． （i）确定点的位置，并说明理由； （ii）求线段的长． 21．（本题共16分）给定正整数（），记集合或，且．对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质． （Ⅰ）在的子集中，写出一个具有性质的三元子集；（结论不要求证明） （Ⅱ）证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质的三元子集； （Ⅲ）在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质的三元子集？说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2026—2027学年第一学期10月 阶段评价高二数学B卷答案 一、选择题，共12题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．B 2．A 3．D 4．C 5．A 6．B 7．A 8．C 9．C 10．D 11．A 12．B 二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分． 13． 14． 15． 和 16． 17．②③④（答对一分3分，答对两个4分，满分5分，错选零分） 三、解答题，共4小题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 18．【答案】（1）， （2）（i），，，线段的垂直平分线的方程为； （ii） 【详解】（1）：的斜率为，：的斜率为． 4分 （2）（i）联立，可得； 5分 联立，可得； 6分 联立，可得； 7分 线段的中点为，， 10分 所以线段的垂直平分线的方程为，即． 12分 （ii）由图可知，过，，三点的圆即是以线段为直径的圆， ，圆心为，所以过，，三点的圆的方程为． 16分 19．【答案】（1）（1）证明： 因为四边形是矩形， 所以， 1分 又平面平面， 且平面与平面相交于， 面 所以平面， 4分 又平面， 所以平面平面． 5分 （2）选条件①，由（1）知，，在等腰中，顶角不确定， 由无法求出，则，都不确定，因此不能求出二面角的大小，即①不可选． 选条件①得零分 选条件②，取中点，连接，过点作交于点， 由（1）知，平面，所以． 因为矩形中，，，所以平面，所以， 所以和都是直角三角形． 因为，，所以，． 6分 因为，，所以，． 7分 因为，为中点， 所以． 因为平面平面， 平面平面， 平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，所以， 8分 所以如图以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为， 所以． 因为平面平面， 平面平面， 又平面， 所以平面， 所以平面一个法向量为． 10分 设平面法向量，，， 由，所以， 令，则，所以． 12分 设平面与平面的夹角为， 则． 15分 因为，所以平面与平面的夹角为． 16分 选条件③取中点，连接，过点作交于点，（分值同上） 由（1）知，平面， 因为矩形中，，， 所以平面， 所以和都是直角三角形， 因为，，所以， 又，，所以， 所以在直角三角形中，， 所以如图以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为， 所以． 因为平面平面， 平面平面， 又平面， 所以平面， 所以平面一个法向量为． 设平面法向量，，， 由，可以取． 设平面与平面的夹角为， 则．因为，所以平面与平面的夹角为． 20．【答案】 （1）证明：在正方形中，，又平面，平面， 所以平面， 2分 又平面，平面平面， 则； 5分 （2）（i）当满足时，有直线与平面所成角为， 6分 解：由平面，可得，， 7分 建立空间直角坐标系，如图所示： 8分 则，，，，， 则，，， 设，，则， 9分 设平面的一个法向量为， 则有，即，令，则， 则平面的一个法向量为， 11分 设直线与平面所成角为， 则， 化简得，解得或（舍去） 13分 故当满足时，有直线与平面所成角为． （ii）． （ii）设点的坐标为， 因为点在棱上，所以可设（）， 即， 所以， 14分 因为是平面的法向量， 15分 所以，即， 解得， 16分 故，则， 所以． 17分 21．解：（Ⅰ）答案不唯一．如． 4分 （Ⅱ）由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集． 6分 将中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组，第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于；同理，所有第二个分量、第三个的分量、……的和均等于16． 8分 假设能选出10个符合题意的三元子集， 由题意，这10个三元子集覆盖了中的30个元素，且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数． 故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为． 这与矛盾． 所以在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 10分 （Ⅲ）记，其中为偶数．不妨设时有意义． 当时，的三元子集只有一个，且具有性质． 11分 所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 记中具有性质的三元子集为． 当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集． 因为的子集，，，和为两两交集为空集，且具有性质的三元子集（共5个）， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 13分 设为中上述具有性质的三元子集中的任意一个， 同理，得中有元素，即最多能有个两两交集为空集的三元子集， 且对于，可以构造出4个两两交集为空集，且具有性质的三元子集，即 ． 又因为为中具有性质的三元子集，且与上述集合的交集为空集， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 以此类推，得在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 16分 学科网（北京）股份有限公司 $