精品解析：北京市第三十五中学2026-2027学年高二上学期10月月考测试数学试题

北京市第三十五中学2026-2027学年第一学期 月考测试 高二数学 行政班________教学班________姓名________学号________ 试卷说明：试卷分值120，考试时间90分钟． Ⅰ卷 一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处） 1. 已知点、，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线的斜率为. 2. 已知空间中点，则点A关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据空间坐标系的对称性得到答案. 【详解】空间中点，则点A关于平面对称的点的坐标是. 故选：A. 3. 已知空间中、、三条直线，则下列命题正确的是（ ） A. 、、交于点、、共面 B. ，、、共面 C. 、、共面 D. ，，（、、是不同的个点）、、共面 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：三条直线交于同一点，它们可能不在同一平面内（例如正方体从同一顶点出发的三条棱），所以A错误； 对于B：，则确定一个平面，但时不一定在这个平面内，所以B错误； 对于C：，三条平行直线不一定共面（例如正方体中三条两两平行的棱），所以C错误； 对于D：，，，且是三个不同的点， 由，知确定一个平面，因为，所以， 因为，所以，又经过和两个不同点，所以， 因此共面，所以D正确. 4. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量．若直线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线平面，则直线的方向向量与平面的法向量平行， 所以存在实数，使得，即，所以， 解得，所以 5. 如图，空间四边形中，，，，点M在线段上，且，点N为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】由题意可得： 故选：D. 6. 如图，在正四棱柱中，是边长为2的正方形，侧棱是线段的中点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得. 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， 所以. 故选：C 7. 把正方形沿对角线折起，当点到平面的距离最大时，直线与平面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为对角线的中点.折叠过程中长度不变，且.在过且垂直于的截面内，点到平面的距离等于点到直线的距离；该距离最大时.此时平面，再由求直线与平面所成角. 【详解】设正方形的边长为，为对角线的中点.由正方形的性质，，，且. 折叠过程中，始终垂直于，所以点在过且垂直于的平面内运动，且的长度不变. 平面与平面的交线为； 又因为且平面，所以平面平面. 在平面内，点到直线的距离就是点到平面的距离.由于该距离不超过，且当且仅当时取到最大值，所以点到平面的距离最大时，. 又因为，而是平面内的两条相交直线，所以此时平面，点为点在平面上的垂足. 于是直线在平面上的射影为，直线与平面所成角为. 在直角三角形中，，所以. 因此直线与平面所成角为. 8. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的运算性质，结合空间向量垂直的性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】 ， 因为，所以， 所以，则中的元素个数为1. 故选：A. 9. 《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著．其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体，下底面是矩形，假设屋脊没有歪斜，即中点在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(长度单位：丈)．则楔体的体积为(体积单位：立方丈)（ ） A. 10 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，把楔体分成一个三棱柱和两个四棱锥，即可求解. 【详解】根据题意，分别过点，作平面的垂直平面，则可以把楔体分成一个三棱柱和两个四棱锥. 三棱柱的体积(立方丈)， 四棱锥的体积(立方丈)， 故楔体的体积(立方丈). 故选：D. 10. 设正方体的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，得点的坐标满足，由题意分六种情况讨论即可求解. 【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 显然点到平面的距离为， 设点，在上取一点，而， 所有，从而， 所以点P到直线的距离为， 所以， 令，得，此时点的轨迹就是一个点，此时点的轨迹长度是0， 令，得，此时点在以为圆心半径为2的四分之一的圆周上面运动，此时点的轨迹长度是， 令，得，即，此时点的轨迹长度是0， 令，得，即，此时点在线段上运动，轨迹长度是， 令，，即，此时点在线段上运动，轨迹长度为， 令得，，即，此时点的轨迹长度是0， 综上所述，所求为. 故选：D. Ⅱ卷 二、填空题（共5个小题，每空5分，共25分．请将正确答案填写在答题卡相应位置处．） 11. 若，，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】，则； ，则. 12. 已知空间三点，，共线．则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】 由题易得， ， 因为三点共线，所以，故 ， 解得，. 13. 在空间直角坐标系中，已知点，，，若点在平面内，写出一个符合题意的点的坐标________． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】先利用、确定平面的一个法向量，再由平面得与该法向量垂直，从而得到的关系，任取一组满足条件的数即可. 【详解】由得 向量满足所以是平面的一个法向量. 又在平面内，所以与垂直，即因此 例如取，可得一个符合题意的点 答案不唯一，任取满足的均可. 14. 如图，直三棱柱的侧棱长为1，底面ABC为直角三角形，，．则二面角的大小为________；点A到平面的距离等于________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】先证明平面，得到就是二面角的平面角，由边角关系求得，即得的值，取等腰直角三角形的斜边的中点，则平面，故即为所求，根据求出结果． 【详解】直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， ，， 又因为是平面内的两条相交直线， 平面，因为平面， 就是二面角的平面角． △中，， ． 取等腰直角三角形的斜边的中点，则， 因为平面， 因为平面，所以， 又因为是平面内的两条相交直线， 则平面， 故即为A到平面的距离． 故， 故答案为：；． 15. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面（含边界）上的一个动点，，分别是棱，的中点，有以下结论： ①在平面上的投影图形的面积为定值； ②平面截该正方体所得的截面图形是等腰梯形； ③的最小值是； ④若保持，则点在上底面内运动路径的长度为． 其中正确的是________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据正方体的结构特征以及空间中点、线、面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于①，过点向引垂线，交于点，连接， 由正方体的性质可知，在平面上的投影图形为， 当在上底面运动时，的面积保持不变，其面积为，故①正确； 对于②，取的中点，连接，取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以，且， 由正方体性质可知，，且，所以，且， 即四边形为平行四边形，所以， 因为分别为中点，所以，即有， 所以四点共面， 所以平面截该正方体所得的截面图形是梯形， 因为，， ，故梯形不是等腰梯形，故②不正确； 对于③，延长使得，则由对称性可知：， 所以， 当三点共线时，取到最小值， 因为， 所以，即的最小值是，故③正确； 对于④，取中点，连接，由正方体性质可知，， 因为，， 所以由可得， 所以点在上底面内运动路径是在正方形内以为圆心，2为半径的一段圆弧， 如图，由，可得，同理 所以圆弧的长度为，故④正确； 三、解答题（共4个题，共55分） 16. 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 由于,故建立如图所示的空间直角坐标系， 则 , 故， 故，因此 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的垂直及可求解， （2）求解平面法向量，即可根据夹角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于平面，故平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， , 故，令，则， 设二面角的平面角为，由图可知为钝角， 故 17. 如图，正方体的棱长为2，E为BC的中点.点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定，并解答问题. 条件①： 条件②：； 条件③：平面. （1）求证：为的中点； （2）求直线EM与平面所成角的大小，及点E到平面的距离. 【答案】（1）证明：选条件①：由， 根据正方体的对称性，此时点为上的任意一点，所以不成立； 选条件②：， 连接，在正方体中，由平面， 因为平面，所以， 又因为，， 所以， 因为平面，所以， 又因为为的中点， 所以为的中点． 选择条件 ③：平面， 连接，因为平面，平面， 且平面平面，所以， 因为为的中点，所以为的中点． （2）； 【解析】 【分析】（1）分别选条件①②③，结合线面平行位置关系的判定定理和性质定理，即可得证； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量为，利用向量的夹角公式，求得，结合，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则．于是， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的大小为， 点到平面的距离为. 【点睛】 18. 如图1所示，在等腰梯形中，，，垂足为，，．将沿折起到的位置，使平面平面，如图2所示，点为棱上一个动点． （1）当点为棱中点时，求证：平面； （2）是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在图1中，过作的垂线，垂足为，因为，所以.又因为 ， ，，所以四边形为正方形，，为中点. 在图2中，连接，因为点是的中点，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面平面. 又因为平面 ，所以平面. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）通过构造辅助线并利用面面平行的判定定理证明平面平面，进而利用面面平行的性质定理可得平面； （2）先建立空间直角坐标系，用空间向量的方法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为三线两两垂直，如图，建立空间直角坐标系. 所以，，，. 假设存在点满足题意，设，则， 所以. 设平面的法向量为，所以，即. 取，则. 设平面的法向量为，，所以， 即. 取，则. 令， 解得或（舍）. 所以存在点，使得两个平面夹角的余弦值为 ，且，，得. 19. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 【答案】（1）不具有性质,具有性质, （2） “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”, 假设两个元素均不在中, 则有 不妨设, 若, 则由, 可得, 与矛盾, 故, 同理, 从而, 所以, 与具有性质矛盾, 所以假设不成立,即; （3） 【解析】 【分析】(1)根据性质的定义,观察到,可得不具有性质,根据,可以发现中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故具有性质,根据定义代入求值,即可得出; (2) “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,利用反证法假设两个元素都不在中,通过范围推出矛盾即可. (3) 设中元素个数最小值为,根据新定义可得,以此类推可得,由(2)中的结论可得,即可得,再进行验证即可. 【小问1详解】 解:由题知, 即 因为, 所以不具有性质, 由于, 即 因为 故具有性质, 因为 故; 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设 规定时,, 时,, 则, 所以, 考虑数列, , 由题设可知,他们均具有性质, 设中元素个数最小值为, 所以, 所以, 由(2)知,从而, 当时,令, 当时,令, 此时均有, 所以中元素个数的最小值为. 【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有: (1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思; (2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言; (3)将已知条件代入新定义的要素中; (4)结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第三十五中学2026-2027学年第一学期 月考测试 高二数学 行政班________教学班________姓名________学号________ 试卷说明：试卷分值120，考试时间90分钟． Ⅰ卷 一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处） 1. 已知点、，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间中点，则点A关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间中、、三条直线，则下列命题正确的是（ ） A. 、、交于点、、共面 B. ，、、共面 C. 、、共面 D. ，，（、、是不同的个点）、、共面 4. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量．若直线，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，空间四边形中，，，，点M在线段上，且，点N为中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正四棱柱中，是边长为2的正方形，侧棱是线段的中点，则（　　） A. B. C. D. 7. 把正方形沿对角线折起，当点到平面的距离最大时，直线与平面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 9. 《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著．其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体，下底面是矩形，假设屋脊没有歪斜，即中点在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(长度单位：丈)．则楔体的体积为(体积单位：立方丈)（ ） A. 10 B. 8 C. D. 10. 设正方体的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（ ） A. B. C. D. Ⅱ卷 二、填空题（共5个小题，每空5分，共25分．请将正确答案填写在答题卡相应位置处．） 11. 若，，则________，________． 12. 已知空间三点，，共线．则________，________． 13. 在空间直角坐标系中，已知点，，，若点在平面内，写出一个符合题意的点的坐标________． 14. 如图，直三棱柱的侧棱长为1，底面ABC为直角三角形，，．则二面角的大小为________；点A到平面的距离等于________． 15. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面（含边界）上的一个动点，，分别是棱，的中点，有以下结论： ①在平面上的投影图形的面积为定值； ②平面截该正方体所得的截面图形是等腰梯形； ③的最小值是； ④若保持，则点在上底面内运动路径的长度为． 其中正确的是________．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（共4个题，共55分） 16. 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 17. 如图，正方体的棱长为2，E为BC的中点.点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定，并解答问题. 条件①： 条件②：； 条件③：平面. （1）求证：为的中点； （2）求直线EM与平面所成角的大小，及点E到平面的距离. 18. 如图1所示，在等腰梯形中，，，垂足为，，．将沿折起到的位置，使平面平面，如图2所示，点为棱上一个动点． （1）当点为棱中点时，求证：平面； （2）是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 19. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $