安徽合肥市第四十六中学 2026～2027 学年第一学期九年级小练习数学 试题卷

2026~2027学年第一学期九年级小练习 数学 试题卷 温馨提示： 1.试卷满分150分，考试时间120分钟；试卷由“试题卷”和“答题卷”两部分组成，共23小题 2.务必在答题卷的装订线内和指定区域答题，否则无效。考试结束后，请将“答题卡”交回， 一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.若点（-4，-2)在反比例函数y=的图象上，则k的值为： A.-8 B.-6 C.6 D.8 2.下列函数解析式中，一定为二次函数的是： A.y=3x-1 B.y=2+日 C.S=22-2+1 D.y=ax2+bx+c 3.如图，点P在反比例函数y=-是(x<0)的图象上，则矩形，OAPB的面积是： A.1 觳 B.2 C.4 D.6 超 邮 4.反比例函数y= 长 5的图象位于： 第3题图 A,第一、三象限 B,第二、四象限 E C.第一、四象限 D,第二、三象限 5.下列各组图形中不一定是相似形的是： 斯 A.两个等腰直角三角形 B.两个等边三角形 C.两个正方形 D,两个直角三角形 痴 6. 将抛物线y=x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是： A.y=(x-3)2+4 B.y=（x+3)2+4 C.y=(x-3)24 D.=（x+3)24 阳 7. 观察下列表格，可得出一元二次方程x2+12x-15=0的一个近似解的范围是： 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 5.25 A.1.1<x<1.2 B.1.2<x<1.3 C.1.3<x<1.4 D.1.4<x<1.5 带 8.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达主 h=-2+24+1.则下列说法中正确的是： A.点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B.点火后24s火箭落于地面 C.点火后10s的升空高度为139m D,火箭升空的最大高度为145m 9. 二次函数y=ax2+bx+1与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是： ,制 2026-2027学年第一学期九年级小练习数学试题卷 第1页（共4页） 10.如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B(-1,-3), 与x轴的一个交点为A（-4,0).点A和点B均在直线2=mx+n（m0)上，则：①2a+b=0: ②abc<0.©抛物线与x轴的另一个交点是(4,0)：④n+b1c>-m+n;⑤不等式mx+n>ax2+br+c 的解集为-4<x<-1.其中结论正确的是： A.②④⑤ B.①③⑤ C.②⑤ D.①②⑤ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.二次函数y=-2（x-1)2+3的顶点坐标是 第10题图 12.若点A(x1,-3),B(2,-1),C(3,在反比例函数y=3的图象上，则x1,2,3的大 小关系 ·（用“<”连接) 13.将一张矩形纸片对折后得到的两个矩形与原矩形相似，则原矩形较长边与较短边的比 为 14.在平面直角坐标系xOy中，M(x,y),N(x2,2)是抛物线y=ax2+bx+c（a>0)上任意两 点，设抛物线的对称轴为直线x=t. (1)若对于x1=1,x2=2,有y1=y2,则仁 (2)若对于0<x<1,1<x2<2,都有y1≤y2,则t的取值范围为 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.(1)如图，△ABC∽△A'B'C',m表示已知数.求a、x的值 (2)用配方法求二次函数y=2x28x+7图象的对称轴和顶点坐标. 110 18 12 10* 30 0 409 2m 优 第15题图 16.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+mx+n经过点A(0,3),B(-1,0). （1)求抛物线的解析式： (2)判断点（-2，-1)是否在该函数图像上. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600'℃高温之后停止加热，玻璃温度会 逐渐降低至室温(30C),加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，如图是玻璃温度y(℃)与 时间x(mi)的函数图象，其中降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列 问题： y/C (1)求降温阶段y与x的函数表达式： 600 (2)求温度从600'℃降到室温30℃所需要的时间. 0 4 x/min 第17题图 2026-2027学年第一学期九年级小练习数学试题卷第2页（共4页） 18.己知抛物线)=x2.（m-2)x+m-3(m是常数) （1)求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有交点： (2)若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，求m的值. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.如图，A、B为一次函数y=x-5的图象与二次函数y=x2+bx+c的图象的公共点，点A,B的横 坐标分别为0,4.P为二次函数=-x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的上方，连接 PA、PB. y=x-5 (1)求b、c的值： (2)求△PAB的面积的最大值 A y=x2+ba+c 第19题图 20.某小区有一个半径为3的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线， 在距水池中心1m处达到最大高度为3m,且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处 汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系 (1)求水柱所在抛物线对应的函数关系式： (2)王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2处， 通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？ D A B 1 C 1 3 第20题图 六、（本题满分12分） 21.如图，一次函数y=6+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(2,3)、B（-3.n)两点. （1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)求△AOB的面积： (3)根据图象直接写出kx+b>”时x的取值范围. A(2,3) 2 (-3,n)B 第21题图 2026-2027学年第一学期九年级小练习数学试题卷第3页（共4页） 七、（本题满分12分）大蒜是我国重要经济蔬菜、依托冷库储存错峰销售是农户、经销商增收致 富的重要方式。某农产品经销商张经理在大蒜上市初期，以6元/千克的市场价收购2000千克 大蒜存入冷库。经市场调研得到如下规律： ①.大蒜市场价格持续上涨，每日每千克涨价02元： ②.冷库存放期间，每日固定支出管理费、水电费等合计170元： ③.大蒜会自然损耗，平均每天有5千克大蒜损坏，无法售卖： ④这批大蒜在冷库中最多储存90天。 设这批大蒜存放×天后一次性全部出售(x为非负整数，0≤x≤90)，完成下列探究问题： （1)探究一：建立销售金额函数模型 存放x天后，·大蒜的销售单价为_元，可出售大蒜的质量为千克：销售总金额y（元) 与存放天数x之间的函数关系式为)=」 :(用含x的代数式表示) (2)探究二：定量探究目标利润存放天数 若张经理想要获得5100元的销售利润，请求出大蒜的存放天数。（利润=销售总金额一-收购总 成本一冷库储存总费用)。 （3)探究三：最值探究最优销售方案 写出利润W(元)关于存放天数x的函数关系式，并探究：存放多少天出售可获得最大利润？ 最大利润为多少元？ (4)拓展探究 若冷库升级设备，每日储存费用降低a元（a>0),其余条件不变，最终最大利润可提升至10800 元，求a的值。 八、（本题满分14分) 23.在平面直角坐标系x0中，抛物线=ax2+bx+1(a40)经过(1,3)点，对称轴为x=- （1)a=,b= （2)已知A（x1,),B（x2,2)两点均在该抛物线上，且x1≠x2,x1+x2=2. ①求-y的值：②求证：y1+y2>6. X1-X2 (3)当s≤0时，设该二次函数的最大值和最小值分别为m和n,且m-n=1,则t的值为 2026-2027学年第一学期九年级小练习数学试题卷第4页（共4页） 合肥46南2026-2027学年第一学期九年级第一次月考（小 练习) 数学试卷·逐题解析 满分150分考试时间120分钟共23小题考查范围：二次函数（主）、反比例函数、相似三角形 一、试卷总评 本卷以二次函数为主线（约100分)，同时穿插反比例函数（第1、3、4、12、21题）与相似三角 形（第5、15题）的早期渗透，是一次“代数为主、兼顾几何”的综合性小练习。分值结构：选择 10×4=40分，填空4×5=20分，解答90分。整体难度中档偏易，第9、10、14、20、22(4)、23题具 有一定区分度。备考重点：①反比例函数k的几何意义与图象分布：②抛物线平移与待定系数：③ 二次函数与系数、对称轴的综合判断（数形结合）：④铅垂高法求三角形面积最值：⑤利润类应用题 的分段讨论与“顶点不在范围内”的最值处理。 板块核心考点 题号 分值 选择反比例函数、二次函数概念与图象、相似判定、平移、根的估计 1-10 40 填空顶点坐标、图象上点的大小比较、相似比、对称轴与最值 11-14 20 解答 相似计算、配方法、待定系数、分段函数、根的判别 15-18 32 压轴铅垂高最值、喷水抛物线、双曲交点、利润建模、新定义综合 19-23 58 一、选择题（每小题4分，共40分) 1.若点(-4，-2)在反比例函数y=的图象上，则k的值为（）A8B.-6C.6D. 【解析】图象上的点满足k=xy=(-4)×(-2)=8。 【答案】A 【易错警示】负负相乘为正，别丢符号；k=y是反比例函数最基本的待定手段。 2.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（) 【思路点拨】二次函数须同时满足：整式、最高次数为2、二次项系数不为0。 【解析】A中)=3证-1是一次函数：B中)=2+是含分式，不是整式：D中y=a2+证+e 未注明a≠0，不“一定”是二次函数；C中s=2t2-2t+1是整式且二次项系数2≠0，是二次 函数。 【答案】C 【易错警示】D选项的陷阱在“一定”二字一a=0时它就退化为一次函数：字母表示的系数必 须检验是否可能为0。 3。知图，点P在反比例函数V=-是(：<0)的图象上，则矩形OAPB的面积是（）A.1 B.2C.4D.6 【思路点拨】反比例函数k的几何意义：过双曲线上任一点作坐标轴的垂线，与两轴围成的矩形面 积为。 【解析】设P(x0,0),则xo0=k=-2,矩形OAPB的面积=xol·lyol=xo0l=|-2=2。 【答案】B 第1页共9页 【易错警示】面积只与风有关，与点在哪个象限无关：本题P在第二象限只是定出图象位置，不 影响面积。 4. 反比例函数=一5的图象位于（)A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、四象 限D.第二、三象限巴 【解析】k=-5<0,双曲线两支分别位于第二、四象限。 【答案】B 5.下列各组图形中还一定是相似形的是（)A.两个等腰直角三角形B.两个等边三角形C. 两个正方形D.两个直角三角形 【思路点拨】此题是经典题的变式：判断两组图形是否相似，看对应角是否都相等、对应边是否都 成比例。 【解析】两个等腰直角三角形的内角都是45°，45°，90°，一定相似：两个等边三角形内角都是60°， 一定相似：两个正方形四角都是90°且四边相等、对应边成比例，一定相似：两个直角三角形只有 一条直角相等，其余两角未必相等，不一定相似。需要指出：若严格按卷面文字“一定是相似形的 是”理解，A、B、C三项均符合，单选无法作答；本题的原型是“下列各组图形中不一定是相似图 形的是”，按此命题意图应选D(卷面题干中“还”当为“不”之笔误)。 【答案】D(按原型题“不一定是相似形的是”) 【易错警示】“等腰三角形”“直角三角形”形状不固定，不一定相似；“等边三角形”“等腰直角 三角形”“正方形”形状唯一确定，一定相似。复习时把这四类放在一起对比记忆。 6.将抛物线y=x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（) 【思路点拨】平移口诀“左加右减（自变量）、上加下减（常数项）”。 【解析】向右平移3个单位：y=(x-3)2;再向上平移4个单位：y=(x-3)2+4。 【答案】A 【易错警示】“右移减”别写成(x+3)2:两次平移分别作用于x与常数项。 7.观察下列表格，可得出该一元二次方程x2+12x-15=0的一个近似解的范围是（) 2 1.11.21.31.41.5 x2+12x-15-0.590.842.293.765.25 【解析】方程的解即代数式值为0的x。x=1.1时值为-0.59<0，x=1.2时值为0.84>0，值 由负变正，故解在1.1<x<1.2之间。 【答案】A 【易错警示】找符号由负变正（或由正变负）的相邻两个x,与数值是否接近0无关。 8.学校航模组设计的火箭升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足h=-t2+24t+1,则下列说 法中正确的是() 【思路点拨】配方求顶点得最大高度：逐项代入检验。 【解析】h=-(t-12)2+145,顶点(12,145)。A:h(9)=-81+216+1=136,h(13)=-169+312+1= 144,不相同，错误；B:h(24)=-576+576+1=1≠0，点火后24s时火箭还在离地1m处，并 第2页共9页 未落地（落地需t=12+V145≈24.04s),错误；C:h(10)=-100+240+1=141≠139，错误； D:最大高度为145m,正确。 【答案】D 【易错警示】“9s和13s高度相同”这类说法要用对称轴检验：对称轴t=12,与9对称的是15 而非13。 9.二次函数y=ax2+bx+1与一次函数y=2ac+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是 () 【思路点找】关键恒等关系：直线)=2十b与x轴交点的横坐标为-力，恰好等于抛物线的对 称轴位置：再结合抛物线恒过(0,1)、直线与y轴交点的纵坐标为b、直线的升降方向与抛物线的开 口方向都由a的符号决定，逐项排查。 【解析】A:抛物线开口向下(a<0),直线下降一致：但图中直线与x轴的交点落在抛物线右交 点处，在对称轴（虚线)右侧，而直线与x轴交点应恰在对称轴处，矛盾，排除；B:抛物线开口 向下，直线下降一致：但直线与x轴的交点落在抛物线左交点处，在对称轴左侧，矛盾，排除：C: 抛物线开口向上(>0，对称轴在轴右侧，则->0，得6<0，直线与轴交点的纵坐标 b应为负，图中直线却从x轴上方穿过y轴，矛盾，排除：D:抛物线开口向上、过(0,1)：直线上 升(2a>0)、与x轴的交点恰在对称轴（虚线）处、与y轴交于原点下方(b<0),所有特征一 致，正确。 【答案】D 2a 示例a=】,b=-B:值线恰过对称轴与x轴的交点 【易错警示】本题的“隐藏钥匙”是-。的双重身份：既是抛物线的对称轴，又是直线)=2c+b 与x轴交点的横坐标。四个选项中只有D让直线穿过“对称轴与x轴的交点”。 10.如图是抛物线1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，顶点为B(-1,-3),与x轴的一个 交点为A(-4,0),点A、B均在直线2=mx+n(m≠0)上，则：①2a+b=0;②abc<0; ③抛物线与x轴的另一个交点是(4,0)；④a+b+c>m+n;⑤不等式mx+n>a22+bm+c 的解集为-4<x<-1。其中结论正确的是(）A.②④⑤B.①③⑤C.②⑤D.①②⑤ 【思路点拨】先由顶点与交点求出a、b、c及直线的m、n,再逐条判断；也可全部用图象位置关 系快速判断。 【解析】对称轴x= -6=-1,得b=2a,故2a-b=0,①(2n+b=0)错误。由A(-4,0): 2a 9a-3=0,得a=3,b=号：当x=0时y=c=(0+1)2-3=-8<0,②abc=3×号×(-)<0， 第3页共9页 正确：③由对称性，另一交点横坐标为2×(-1)-（-4)=2，即(2,0)，不是(4,0)，错误：④直线过 A(-4,0)、B(-1,-3):m=-1,n=-4,m+n=-5:而x=1时y=a+b+c=3+号-=-号， -号>-5，正确（图上x=1处抛物线确实在直线上方）：同两图象交于A(-4,0)、B(-1,-3),在两 交点之间(-4<x<-1)直线在抛物线上方，故mx+n>ax2+bx+c的解集恰为-4<x<-1, 正确。正确的有②④⑤。 【答案】A 【易错警示】①与③是“对称轴”的一正一反两个应用：由顶点得b=2a(即2a-b=0),由一 根得另一根x=2:⑤读图时先确认两交点横坐标，再看两线之间的上下位置关系。 二、填空题（每小题5分，共20分) 11.二次函数y=-2(x-1)2+3的顶点坐标是 【解析】顶点式直接读出顶点(1,3)。 【答案】(1,3) 12.若点A(1,-3),B(2,-1),C(,)在反比例函数y=3的图象上，则1,2.的大小 关系是 （用“<”连接) 【思路点拨】直接用x=3逐个求值最稳妥：也可用“上下符号分区十同支内增减性”。 3 【解桥2兰3,9民26，故3<1<6 【答案】2<x1<x3 【易错警示】k=3>0时每一支上y随x增大而减小，但B、A在第三象限支、C在第一象限 支，跨支比较必须先分象限，不能直接用增减性。 13.将一张矩形纸片对折后得到的两个矩形与原矩形相似，则原矩形较长边与较短边的比为 【思路点拨】设原矩形长a、宽6(a>b,对折后的矩形长0、宽分，相似即对应边成比例。 【解折1名=品2即2=2识，分=V2. 【答案】v2(即V2:1) 【易错警示】这是“标准纸”A系列纸张比例的由来：列比例式时注意对折后长边变为b、短边变 为a/2,对应关系不能错。 14.在平面直角坐标系xOy中，M(x1,1),N(x2,2)是抛物线y=ax2+bz+c(a>0)上任意 两点，设抛物线的对称轴为直线x=t。（1)若对于x1=1,x2=2,有y1=2,则t=；（2) 若对于0<x1<1,1<x2<2,都有1<2，则t的取值范围为 【思路点拨】开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远函数值越大。（1)函数值相等即两点关于对 称轴对称；(2)要把“对0<x1<1、1<x2<2内的任意两点都成立”翻译成“0<x<1内的点 到直线x=t的距离总小于1<x<2内的点到直线x=t的距离”。 【解析】(1)6三1+2=g。2)由a>0,抛物线开口向上，班<次相当于1-<2-！对一切 0<<1、1<2<2都成立。当t≤号时：对0<<1，若西≥，则-到=1-t<1- 第4页共9页 若1<，则国-科=t-1<t≤51-无总之国-<1-t又购>1≥t故 -利=->1-6所以恒有西-利<1-t<2-孔即1<功成立。当>号时：若 <t≤1，取2满足1<%<2（因21>1，这样的存在）.则m-川=2-t<:再取1 满足0<c1<t-c2-t(这样的1存在，因为t-k2-t>0),则c1-=t-x1>z2-机， 出现1>2，与“都有1<2”矛盾。若t>1,对1<x2<2内的任意一点都有2-<t（由 x2>0、2<2<2t可得)，同样取1满足0<1<t-2-,即得班>2，矛盾。故t≤ 【答案】(1)t=:(2)t≤ 【易错警示】“都有（任意)”类问题的破题口：找到最不利的位置一0<<1内离t最远的点 与1<父<2内离t最近的点：临界位置是x=1,临界值t=2恰使两侧“最远距离”相等。 三、解答题（15-16每题8分，共16分) 15.（1)如图，△ABC~△ABC,m表示已知数，求a、x的值；(2)用配方法求二次函数 y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标。 【思路点拨】(1)先由三角形内角和求出各角、确定对应关系，再用“对应边成比例”求x:本题 的相似比可由BC=2m与BC=m直接读出。(2)配方时先把二次项、一次项提系数，常数项 最后补。 【解析】(1)在△ABC中，α=180°-110°-30°=40°。由对应角相等验证对应关系：∠A= AO=2,即 A=110°，LB=LB=30°，2C=2C三A=40.相似此为器=2m=2,故AC 18=2,解得x=9.(2)y=2x2-8x+7=2(2-4)+7=2(z2-4红+4到-8+7=2(c-22-1. 所以对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2，一1)。 【答案】（1)a=40°，x=9;（2)对称轴x=2,顶点(2，-1) 【易错警示】相似三角形的对应关系要靠相等的角来确定（两个110°对应、两个30°对应)，不能 想当然按字母顺序硬套：配方提系数后，常数项要“补上再减去”保持恒等。 16.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+mx+n经过点A(0,3),B(-1,0)。（1)求抛物 线的解析式；(2)判断点（-2，-1)是否在该函数图象上。 【解析】(1)由A(0,3)得n=3:由B(-1,0):1-m+3=0,得m=4。所以y=x2+4x+3。(2) 当x=-2时，y=4-8+3=-1,与点的纵坐标相等，故点(-2，-1)在该函数图象上。 【答案】（1)y=x2+4x+3;（2)在 【易错警示】判断点是否在图象上，就是把横坐标代入算纵坐标再比对，语言表述要完整。 四、解答题（17-18每题8分，共16分) 17.某种玻璃原材料需在0°C环境保存，取出后匀速加热至600°C高温之后停止加热，玻璃温度 会逐渐降低至室温(30°C),加热和降温过程中可以对玻璃进行加工。图中玻璃温度y(°C)与时 第5页共9页 间x(min)的函数图象中，降温阶段y与x成反比例函数关系。（1)求降温阶段y与x的函数 表达式；(2)求温度从600°C降到室温30°C所需要的时间。 【思路点拨】降温段是双曲线的一支，最高点(4,600)在图象上，先求k:降温到30°C对应的x 与4的差才是所需时间。 【解析】)由图象，加热4min时温度达到600°C,即降温段图象过点(4.600。设y=仁，则 4x600=240,故=2400(e≥4.(2)令y=0:30-240, ，解得亚=80。所需时间为 80-4=76(min)。 【答案】(1)影=2400（在≥4；(2）76min 【易错警示】反比例函数实际问题要写自变量取值范围；所求“时间”是两时刻之差，直接答80 min会丢分。 18.已知抛物线y=x2-(m-2)x-m-3（m是常数)。（1)求证：无论m取何值，抛物线与 x轴总有交点；(2)若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，求m的值。 【思路点拨】(1)判别式整理后若为“平方+正数”型，则恒正：(2)用求根公式写出两根，两 根之差就是两交点间的距离。 【解析】(1)△=[-(m-2)]2-4×1×(-m-3)=(m-2)2+4m+12=m2-4m+4+4m+12=m2+16。 因为m2≥0，所以△=m2+16>0恒成立，抛物线与x轴总有两个交点。(2)令y=0,由求根 公式c=m-2)±Vm2+6,两交点的横坐标分别为m-2+m2+6与m-2-ym2+6, 2 2 2 其差为Vm2+16。由√m2+16=4,得m2+16=16,m=0。 【答案】(1)见解析（△=m2+16>0)；(2)m=0 【易错警示】含参判别式要完全配方成m2+16再说明恒正，只说“△>0”不给理由不得满分：两 根之差恰为v个(a=1时由求根公式立得)，这一结论可直接使用。 五、解答题(19-20每题10分，共20分) 19.如图，A、B为一次函数y=x-5的图象与二次函数y=-x2+bx+c的图象的公共点， 点A、B的横坐标分别为0、4。P为二次函数图象上的动点，且位于直线AB的上方，连接PA、 PB。(1)求b、c的值；(2)求△PAB的面积的最大值。 【思路点拨】先定出A(0,-5)、B(4,-1),用待定系数求b、c:(2)是经典铅垂高模型：过P作y 轴的平行线交直线AB于Q,把△PAB分成△PAQ与△PBQ,以铅垂线段PQ为公共底，面 积等于号×水平宽×铅垂高，把面积转化为“抛物线减直线”的二次函数求最值。 【解析】（1)直线y=x-5中，c=0时y=-5,故A(0,-5):x=4时y=-1,故B(4,-1)。 把A(0,-5)代入抛物线，得c=-5;把B(4,-1)代入：-16+4b-5=-1,得b=5。所以 y=-x2+5x-5。(2)设P(t,-t2+5t-5)(0<t<4),过P作y轴的平行线交直线AB于 Q(t,t-5),则铅垂高 PQ=(-t2+5t-5)-(t-5)=-t2+4t=-(t-2)2+4. 因P在直线上方，PQ>0,且当t=2时PQ最大为4。把△PAB分成△PAQ与△PBQ:以 铅垂线段PQ为公共底，点A、B到直线PQ的距离分别为t与4一t,所以 5aPaB=号P0t+号PQ-(4-)=2PQ=-202+8t=-2t-2y+8 第6页共9页 当t=2时，△PAB的面积最大，最大值为8。 【答案】(1)b=5,c=-5;(2)最大面积8 【易错警示】铅垂高PQ等于“抛物线纵坐标减直线纵坐标”，抛物线在直线上方时它为正：求面 积时把△PAB沿铅垂线分成两个三角形、以PQ为公共底，不能误用号×AB×PQ(PQ不是 AB边上的高)。 20.某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线， 在距水池中心1m处达到最大高度为3m,且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处 汇合。以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系。（1)求水柱所在抛物线对应的 函数关系式；(2)王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离 为2m处，通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？ 【思路点拨】由“距中心1m处最大高度3m”得顶点(1,3)：水柱从池边喷头(3,0)喷出，故抛 物线过(3,0)，顶点式待定：(2)算出x=2处水柱高度与1.8m比较。 【解析】(1)设)=ag-12+3。水柱从喷头3,0)喷出，代入：4a+3=0,Q=-。敬 g-1+30≤≤3.2)当x=2时，y=-×2-1y+3=9=2256m.因为 ≈、3 2.25>1.8,水柱在距中心2m处的高度高于王师傅的身高，水柱从其头顶上方越过，所以身高1.8 m的王师傅不会被淋湿。 【答案】(1)y=-红-1P+3;(2)不会被淋湿 【易错警示】顶点横坐标是“距水池中心1m”即x=1(不是1.5)：比较对象是该处水柱高度与 身高，结论要回答“会/不会”并说明理由。 六、解答题（本题满分12分） 21.如图，一次函数)=kx+b的图象与反比例函数y=”的图象交于A(2,3)、B(-3,n)两 点。（1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积；(3)根据图象直接写出 kx十b>”时x的取值范围。 【思路点拨】交点坐标是两个解析式的公共解：先用A定反比例函数，再求B、定直线：(2)用 直线与y轴的交点割分三角形（或用“底×高”分别算）：(3)“直线在双曲线上方”按交点横坐标 分三段读图。 6 【解折】1)把A2,3)代入=：m=6,故y=t=-3时n三3=-2，即B(-3,-2。 把A(2,3)、B(-3,-2)代入y=x+b: 2k+b=3,解得k=1,b=1,故)=x+1。(2) -3k+b=-2 直线与镇交于C0,,则S4o2=5a4oc+SaB0c=豆x1x2+分×1×3=多.(3) 1 1 由图象，直线在双曲线上方的部分对应的x范围为-3<x<0或x>2。 【答案】(1)y=8,y=x+1;(2):(3)-3<x<0或x>2 【易错警示】(3)不等式的解集就是交点横坐标“切开”后直线在上方的段落，千万别把x=0 (双曲线断开处)并进任何一段。 第7页共9页 七、解答题（本题满分12分） 22.大蒜是我国重要经济蔬菜，依托冷库储存错峰销售是农户、经销商增收致富的重要方式。某农 产品经销商张经理在大蒜上市初期，以6元/千克的市场价收购2000千克大蒜存入冷库。经市场 调研得到如下规律：①大蒜市场价格持续上涨，每日每千克涨价0.2元；②冷库存放期间，每日固 定支出管理费、水电费等合计170元；③大蒜会自然损耗，平均每天有5千克大蒜损坏，无法售 卖；④这批大蒜在冷库中最多储存90天。设这批大蒜存放x天后一次性全部出售(x为非负整数， 0≤x≤90)。(1)存放x天后，大蒜的销售单价为元，可出售大蒜的质量为 克，销售总金额y(元)与x的函数关系式为y=」 ;（2)若张经理想要获得5100元的 销售利润，请求出大蒜的存放天数（利润=销售总金额一收购总成本一冷库储存总费用）；(3) 写出利润W(元)关于x的函数关系式，并探究：存放多少天出售可获得最大利润？最大利润为多 少元？(4)若冷库升级设备，每日储存费用降低α元(a>0),其余条件不变，最终最大利润可提 升至10800元，求a的值。 【思路点拨】三个“随x变化的量”分别建模：单价6+0.2x、质量2000一5ax、储存总费用170x: 利润=总金额一收购成本-储存费用。(3)的关键是顶点横坐标100落在0≤x≤90之外，在 范围内W随x的增大而增大，最值在端点x=90取得：(4)把α代入同一框架，仍由“顶点在 范围外、x=90取最值”列方程。 【解析】(1)销售单价为(6+0.2)元，可出售大蒜质量为(2000-5x)千克， y=(6+0.2x)(2000-5x)=12000+400x-30x-x2=-x2+370x+12000. (2)收购总成本=6×2000=12000元，储存总费用=170x元，利润 W=y-12000-170x=-x2+370x+12000-12000-170x=-x2+200x. 令-x2+200x=5100,即x2-200x+5100=0,解得x=30或x=170。因0≤x≤90，x=170 舍去，故存放30天出售可获得5100元利润。(3)W=-x2+200x=-(x-100)2+10000。因为 抛物线开口向下，对称轴x=100,而0≤x≤90位于对称轴左侧，W随x的增大而增大，所以当 x=90时W最大，最大值为-902+200×90=9900（元）。即存放90天出售，可获得最大利润 9900元。(4)此时W=-2x2+(200+a)x=-x- 200+a +(200+a)2 。因为a>0,项点横坐 2 4 标200+0>100>90，最大值仍在x=90处取得：W(90)=-8100+(200+a)×90=9900+90a。 由9900+90a=10800,解得a=10。 【答案】(1)(6+0.2x);(2000-5x);y=-x2+370x+12000;(2)30天；(3)W=-x2+200z, 存放90天，最大利润9900元；(4)0=10 【易错警示】本题最大的陷阱在(3)：顶点x=100不在允许范围内，必须利用“在范围内W随 x的增大而增大”在端点x=90取最值，直接答“100天、10000元”是最典型错误；(4)中要重 新判断“降费后顶点是否进入范围”一a>0时顶点只会更靠右，结论不变。 八、解答题（本题满分14分） 23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1（a卡0)经过点(1,3)，对称轴为直线 x=-2（1）a=一，b=—;(2)已知A(c1,h),B(x2,2)两点均在该抛物线上，且1≠x2, 第8页共9页 1+2=2。①求班-业的值；②求证：1+2>6；(3)当t≤x≤0时，设该二次函数的最 x1-E2 大值和最小值分别为m和n,且m-n=1,则t的值为。 【思路点拨】(1)两个条件两个方程：(2)①把1、2都用x1、x2表示，利用平方差公式因式 分解，提出公因式1-2后整体代入心1十x2=2,避免求出具体点：(3)动范围内的最值必须按 “对称轴是否落在这个范围内、两端哪端离对称轴更远”分三类讨论，再逐类解m-n=1。 1 析】(1)由(L,3:a+b+1=3,即0+b=2：由对称轴：一22=2得b=2 以a=b=1,抛物线为y=2+r+1。(2)0功-2=好+1+1)-（号+2+）= c1-C2 x1-x2 1-2c1+2）+(@1-2）=1+2+1=2+1=3。②设出1=1+k,2=1-k(由 x1一x2 x1+x2=2,且x1≠x2知k卡0)，则 1+2=[1+)2+(1+)+1+[(1-)2+(1-)+1]=6+2k2>6. 8g=产++1-(e+}+子对卷维：=会：-0时y=1时论意阳民46：60实 中t≤0，①当-号<t≤0（对称轴在范国的左侧之外）：此时y随x的增大而增大，最大值m 在x=0处取得，m=1:最小值n在x=t处取得，n=t2+t+1。m-n=1-(2+t+1)= 1)2 -2-1=日-(+对)°≤<1，无解，国当-1≤t≤-专（对称轴在范围内，且x=0端离对称 .3 轴不比x=t端近)：最小值n在顶点处取得，n=x=0时=1，而x=t时g=2+t+1≤1， 故最大值m=1,m-n=1-}-日≠1，无解：©当6<-1（对称轴在范园内，但云端 8对称轴更远)：最小值仍为n二9最大值m在x=t处取得，m=?+t+1(此时大于1 m-+1+1-是=+兮(+)》-1得+号红，即=会，不满起<- 或1=-多（满足。综上t=-多 答案】u=1,b=12)①3；②见解析：3)1三 【易错警示】第(2)②问用“x1=1+k,2=1-k”的对称设元最简洁，也可用1x2< 1+2）2 2 1得1+2=8-2x1x2>6;第(3)问按对称轴与t≤x≤0的位置关系分三种情况讨论，缺一 不可：最后必须回检t是否落在所讨论的范围内(t=号就是这么舍掉的)。 九、备考建议 ①反比例函数要抓“三件套”：k=y的待定、风的几何意义、增减性必须在同一支内使用：②二 次函数与系数a、b、c的综合判断题（第9、10题)，要熟记“开口、对称轴、特殊点(x=±1)、交 点跨度~四查法，尤其本卷第9思“云 的双重身份”是高频考点；③铅垂高法（第19题）是求 “抛物线与直线间三角形面积”的通法：S=号×水平宽×铅垂高（铅垂高取最大值）：④利润类应 用题（第22题）三步走：建模型→解方程→范围内取最值，顶点不在范围内时必须用增减性在 端点取最值：⑤动区间最值（第23题）按“顶点在区间左、内、右”三类讨论，是初三上学期压轴 题的基本功，建议专项强化。 第9页共9页