精品解析：安徽合肥市第四十五中长丰路校区2026-2027学年 九年级上学期数学第一次学情自测

专项训练（一） 一、选择题：本题共10小题，共40分． 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A. y＝（x+1）2﹣x2 B. y＝ax2+bx+c C. y＝3x2﹣1 D. y＝3x﹣1 2. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 函数有最大值为 4. 将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是( ) A. B. C. D. 5. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数的图象与线段AB交于点C，且AB=3BC，若△AOB的面积为12，则k的值（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 7. 在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随增大而增大 B. 函数图象经过点 C. 函数图象位于第一、三象限 D. 当时， 9. 将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则的取值范围是________． 12. 将二次函数的图象绕原点O旋转，所得到的图象对应的函数表达式是________． 13. 已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为__________． 14. 在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点． （1）若对于，有，则______； （2）若对于，都有，则的取值范围是______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知二次函数 （1）直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标________，________； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象，在图中标出与y轴交点坐标； （3）结合图象，请回答：当时，y的取值范围是________． 16. 已知二次函数． （1）求证：对于任意的实数，该二次函数图象与轴总有公共点； （2）若该二次函数图象与轴有两个公共点，，且点坐标为，求点坐标． 17. 已知二次函数，当时，函数取得最小值，且它的图象与y轴交于点． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点，都在该二次函数的图象上，比较与的大小． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为1． （1）求的值及点的坐标； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 19. 在炎热的夏天，重庆某脐橙生产基地为保证脐橙的产量，在养殖大棚安装了恒温系统。如图是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 与时间()之间的函数关系图，其中线段，表示恒温系统开启至稳定后的阶段，曲线段 表示恒温系统关闭后阶段(曲线段 为反比例函数一部分)，根据图中信息解答下列问题： （1）这个恒温系统开启一段时间后，达到稳定阶段，则该稳定温度为多少？ （2）求该天的温度 与时间()之间的函数关系式； （3）该恒温系统在开启达到最高温度后，至少稳定5小时才可关闭系统，且温度低于后，脐橙的生长会受到影响，请问该生产基地在时开启系统后最多可关闭多少小时，才能使脐橙生长不受影响？ 20. 如图，一段长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． （1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围； （2）当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？最大面积是多少？ 21. 杭州亚运会羽毛球比赛项目中，中国队收获金银铜共枚奖牌；在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面米的点处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分，当球运动到最高点时，离甲运动员站立地点的水平距离为米，其高度为米．在离点水平距离米处，放置一个高1.55米的球网，以点O为原点建立如图所示的坐标系，回答下列问题． （1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； （2）试通过计算判断此球能否过网； （3）乙运动员在球场上处接球（不能触网），乙原地起跳后使得球拍达到的最大高度为米，若乙因接球高度不够而失球，求的取值范围． 22. 如图，已知：抛物线经过点、点，且交轴于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上有一点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）点坐标为（2）中的坐标，若抛物线的图像上存在点，使的面积等于面积的一半，则点的坐标为__________． 23. 已知抛物线（a，b，c是常数且），a，b满足，抛物线的最低点纵坐标为p． （1）若，求该抛物线的顶点坐标； （2）已知是该抛物线上的一点： ①若，求m的值； ②点与点（）也在该函数图象上，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项训练（一） 一、选择题：本题共10小题，共40分． 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A. y＝（x+1）2﹣x2 B. y＝ax2+bx+c C. y＝3x2﹣1 D. y＝3x﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义和概念 一般地，把形如（）（是常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项． 【详解】A. y＝（x+1）2﹣x2，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意； B. y＝ax2+bx+c（），故该选项不正确，不符合题意； C. y＝3x2﹣1，是二次函数，故该选项正确，符合题意； D. y＝3x﹣1，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题的关键． 2. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换．本题考查抛物线平移的规律，掌握“左加右减，上加下减”是关键． 【详解】解：原抛物线为． ∵向左平移2个单位， ∴，得． ∵向上平移3个单位， ∴整体加3，得． ∴得到的抛物线是． 故选：C． 3. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 函数有最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将二次函数配方为顶点形式，分析开口方向、顶点坐标、抛物线的增减性和最值． 【详解】解：，， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，当 时，随的增大而增大，函数最大值为 ； 故D正确． 故选：D． 4. 将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是理解“单价没上涨1元，其销售量就减少5元”的含义． 根据获得的利润销售量每个利润，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元；即每个利润为元，销售量为：个，结合获得的利润为元，可得与的函数关系式，化简即可． 【详解】上涨前每件商品的利润为元，能卖出200个，上涨元后利润为元，能卖出个，根据题意得： 即： 故选：C 5. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数的图象与线段AB交于点C，且AB=3BC，若△AOB的面积为12，则k的值（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】连结OC，如图，根据三角形面积公式，由AB=3BC得到S△AOB=3S△BOC，可计算出S△BOC=4，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|=4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】连结OC，如图， ∵AB⊥y轴于点B，AB=3BC， ∴S△AOB=3S△BOC， ∴S△BOC=×12=4， ∴|k|=4， 而k＞0， ∴k=8． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 7. 在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象确定m的取值范围，再由此判断同一坐标系中的二次函数图象是否符合； 对于选项A，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项A是否符合题意；对于选项Ｂ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｂ是否符合题意；对于选项Ｃ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项Ｃ是否符合题意；对于选项Ｄ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｄ是否符合题意．问题即可解答． 【详解】解：A、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向上，故A选项错误； B、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故B选项错误； C、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向下，故C选项错误； D、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故D选项正确． 8. 定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随增大而增大 B. 函数图象经过点 C. 函数图象位于第一、三象限 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案即可． 【详解】解：根据题意可得，是一个反比例函数， ∵ ∴反比例函数经过二、四象限，当时，随增大而增大，故A选项正确；C选项错误； ∵， ∴反比例函数不经过点，故B选项错误； 在反比例函数中，当时，，故D选项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的基本性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键． 9. 将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象与线段的交点问题，二次函数图象的几何变换，先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数的经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于的方程求解，最后总结得出的范围即可，运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：将配成顶点式为，此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定，则此二次函数的顶点在直线的直线运动， 如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数经过点，此时取最小值， 将代入得，， 解得，（不合，舍去）， ∴的最小值是； 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴的最小值是； 综上，， 故选：． 10. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根． 【详解】解：①抛物线图象开口向上， ， 对称轴在直线轴左侧， ，同号，， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故①正确． ②， 当时，由图象可得， 当时，，由图象可得， ，即， 故②正确． ③，， ， 点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离， ， 故③错误． ④抛物线的顶点坐标为， ， ， 无实数根． 故④正确， 综上所述，①②④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第一、三象限， ∴， ∴. 12. 将二次函数的图象绕原点O旋转，所得到的图象对应的函数表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点坐标特点，二次函数顶点式等．根据题意先得出二次函数顶点坐标为，再求出点关于原点对称的点坐标为，再根据二次函数图象性质即可求出本题答案． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴绕原点O旋转点坐标为， ∴， ∴所得到的图象对应的函数表达式：， 故答案为：． 13. 已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题． 先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分，和三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：或（舍去）， 若，即，则当时，函数y取最大值0，不符合题意； 若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：（舍去）或， 综上，h的值为-1或， 故答案为：或． 14. 在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点． （1）若对于，有，则______； （2）若对于，都有，则的取值范围是______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质： （1）把代入，可得即可； （2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出与的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答． 【详解】解：（1）∵对于，有， ∴， 解得：； 故答案为：3 （2）∵， ∴， ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小， 点距离对称轴的距离小于点距离对称轴的距离，且点的中点在对称轴的右侧， ∴． 故答案为： 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知二次函数 （1）直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标________，________； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象，在图中标出与y轴交点坐标； （3）结合图象，请回答：当时，y的取值范围是________． 【答案】（1）直线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先列表，再描点并连线画图即可； （3）根据函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：列表如下： 函数图象见答案； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，y的取值范围是． 16. 已知二次函数． （1）求证：对于任意的实数，该二次函数图象与轴总有公共点； （2）若该二次函数图象与轴有两个公共点，，且点坐标为，求点坐标． 【答案】（1） 证明：当二次函数图象与轴相交时， ， ． 该二次函数图象与轴总有公共点． （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知当二次函数与轴有两个不同的交点，则一元二次方程有两个不同的实数根是解答本题的关键． （1）由，由此得到该二次函数图象与轴总有公共点． （2）将点坐标为代入中，得到，所以二次函数表达式为：，令，得：，解得：或，由此得到点坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 将点坐标为代入中， 得， ， 二次函数表达式为：， 令，得：， 解得：或， 二次函数图像与轴有两个公共点的坐标是：，， 又点坐标为， 点坐标为． 17. 已知二次函数，当时，函数取得最小值，且它的图象与y轴交于点． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点，都在该二次函数的图象上，比较与的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二次函数的最值确定顶点坐标，设顶点式代入已知点求解系数； （2）利用二次函数的对称性判断两点函数值的大小关系． 【小问1详解】 解：由题意可得抛物线的顶点为， 则设抛物线解析式为， 把代入可得， 解得， ； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为1． （1）求的值及点的坐标； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1），的坐标为； （2）的面积为； （3）不等式的解集为或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）由题意先求点的坐标代入即可求的值，进一步通过联立直线和反比例函数的方程即可求点的坐标； （2）由题意设直线与轴交于点，与轴交于点，再根据三角形的面积等于三角形的面积加上三角形的面积进行计算即可； （3）由直线与反比例函数的图象可以得出不等式的解集． 【小问1详解】 解：点的横坐标为1，且点在直线上， 点的坐标为， 又点也在反比例函数上， 联立直线和反比例函数， 解得，所以点的坐标为； 【小问2详解】 设直线与轴交于点，与轴交于点， 可得点的坐标为，点的坐标为， 三角形的面积等于三角形的面积加上三角形的面积， 即； 【小问3详解】 由直线与反比例函数的图象可知， 关于的解集为：或． 19. 在炎热的夏天，重庆某脐橙生产基地为保证脐橙的产量，在养殖大棚安装了恒温系统。如图是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 与时间()之间的函数关系图，其中线段，表示恒温系统开启至稳定后的阶段，曲线段 表示恒温系统关闭后阶段(曲线段 为反比例函数一部分)，根据图中信息解答下列问题： （1）这个恒温系统开启一段时间后，达到稳定阶段，则该稳定温度为多少？ （2）求该天的温度 与时间()之间的函数关系式； （3）该恒温系统在开启达到最高温度后，至少稳定5小时才可关闭系统，且温度低于后，脐橙的生长会受到影响，请问该生产基地在时开启系统后最多可关闭多少小时，才能使脐橙生长不受影响？ 【答案】（1） （2） （3）小时 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键． （1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为：， 根据题意，将，代入 得， 解得， 直线， 当时，， 恒定温度为：； 【小问2详解】 由（1）可知：一次函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：； 【小问3详解】 当时，， ， ∴该生产基地在时开启系统后最多可关闭小时，才能使脐橙生长不受影响 20. 如图，一段长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． （1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围； （2）当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2）当的长为5米时，围成的花圃的面积最大，为45平方米. 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积公式列出函数关系式，根据矩形的边长为正数，且平行于墙的一边的边长不超过墙长，求出自变量的范围即可； （2）利用二次函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 解：由题意， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∵； ∴当时，最大为； 答：当的长为5米时，围成的花圃的面积最大，为45平方米. 21. 杭州亚运会羽毛球比赛项目中，中国队收获金银铜共枚奖牌；在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面米的点处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分，当球运动到最高点时，离甲运动员站立地点的水平距离为米，其高度为米．在离点水平距离米处，放置一个高1.55米的球网，以点O为原点建立如图所示的坐标系，回答下列问题． （1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； （2）试通过计算判断此球能否过网； （3）乙运动员在球场上处接球（不能触网），乙原地起跳后使得球拍达到的最大高度为米，若乙因接球高度不够而失球，求的取值范围． 【答案】（1） （2）能过网 （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入得，，求出的值即可得到答案； （2）在中，当时，，与进行比较即可； （3）令得，，解得，，结合以及乙运动员不能触网，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：顶点坐标为，且经过点， 设抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 此球能过网 【小问3详解】 解：令得，， 解得：，， ，开口向下， 当时，， 又乙运动员不能触网， ， ． 22. 如图，已知：抛物线经过点、点，且交轴于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上有一点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）点坐标为（2）中的坐标，若抛物线的图像上存在点，使的面积等于面积的一半，则点的坐标为__________． 【答案】（1） （2）面积的最大值为2，此时点的坐标为 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）将点，点代入解析式，利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴，与交于点，求得直线的解析式为，则可设，则，然后表示出的面积，根据二次函数的性质即可求解； （3）分两种情况讨论：当点在直线上方时和当点在直线下方时，表示出的面积，分别求解即可． 【小问1详解】 解：将点，点代入抛物线解析式， 可得，解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 如下图，过点作轴，与交于点， 设直线解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 可设点，则， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大，最大值为2，,此时点的坐标为； 【小问3详解】 当点在直线上方时，如下图， 过点作轴，与交于点， 则设点，则， 根据题意，若使的面积等于面积的一半， 即， 则有， 整理可得， 解得或， 当时，， 当时，， ∴，； 当点在直线下方时，如下图， 过点作轴，与交于点，与轴交于点， 则设点，则， ∵， 即有， 整理可得， 解得或， 当时，， 当时，， ∴，． 综上所述，满足条件的点坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、利用二次函数解决面积问题等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题的关键． 23. 已知抛物线（a，b，c是常数且），a，b满足，抛物线的最低点纵坐标为p． （1）若，求该抛物线的顶点坐标； （2）已知是该抛物线上的一点： ①若，求m的值； ②点与点（）也在该函数图象上，求的值． 【答案】（1）该抛物线的顶点坐标为 （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）先根据已知求出抛物线的对称轴为直线，再结合抛物线的最低点纵坐标为p，且，即可得出答案； （2）①由（1）可知该抛物线的解析式为，将代入得，结合，得出方程求解即可； ②将，代入，得到，，消去n和p，得到，再结合，，消去n和p，得到，可求得，再计算即可． 【小问1详解】 解：， ， 该抛物线的对称轴为直线， 又抛物线的最低点纵坐标为p，且， 该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①由（1）可知该抛物线的解析式为， 在函数的图象上， ， 又，， ， 整理，得， 解得，； ②点和点都在函数的图象上， ，， 两式相减，得， 化简，得， ， ， 在函数的图象上， ， 又， 两式相减，得， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】在解关于二次函数性质的综合性问题，要熟练掌握二次函数的性质，理解二次函数图象上点的坐标特征，通常通过消元，配方，解字母方程或不等式进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $