安徽省滁州中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

滁州中学2025级高二上第一次月考试卷 数学 时长：120分钟 分值：150分 考试范围：人教A版选择性必修一（空间向量与立体几何+2.1~2.3） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题　共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为 （ ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 3．已知两条不重合的直线和，，若，则的值为 （ ） A． B．或1 C．1 D．或2 4．过点，且纵横截距的绝对值相等的直线的条数为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知，，，则点到直线的距离为 （ ） A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系中，已知，，，，，其中，则当点到平面的距离最小时，直线与平面所成角的正弦值为 （ ） A． B． C． D． 7．三条直线，，不构成三角形，则的所有取值个数是 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，，点在侧棱上，满足，上有一点，上有一点，有，，则的长为 （ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中正确的是 （ ） A．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 C．点为平面上一点，为平面外一点，且，则 D．非零向量，，若，则为锐角 10．已知直线，下列说法正确的是： （ ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 11．如图，已知正方体的棱长为2，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是 （ ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得 C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为 D．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 第二部分（非选择题　共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为__________． 13．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 14．两条异面直线，所成的角为，在直线上取点，，直线上取点，，使，且．已知，，，则线段的长为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知空间中三点，，，设，． （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值； （3）若点在平面上，求的值． 16．（15分）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点，的坐标； （2）求的面积． 17．（15分）如图，在平行六面体中，，，， ． （1）以，，为基底向量，表示向量，； （2）求证：； （3）求的长． 18．（17分）已知直线：． （1）求证：直线过定点； （2）若到直线的距离为，求的方程； （3）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点， （i）当面积最小时，求的值； （ii）已知，求的最小值． 19．（17分）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点． （1）证明：； （2）若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，判断球心的位置，并求出球心到平面的距离； （3）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $滁州中学2025级高二上第一次月考试卷 数学答案 考试范围：人教A版选择性必修一（空间向量与立体几何+2.12.3) 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.A 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.C 8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.AC 10.ABC 11.ABD 第二部分（非选择题共2分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 1 ≤k≤2 12.5 14. V72-m2-n2±2 mncos0 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【答案】【详解】q)BC=(21,-2),设=BC 因为=6，而BC=3,所以=士2： 故=(4,2，-4)或C=(4,-2,4）. …4分 （2)a=AB=（1,-1,0）,6=AC=(10,-2),a-b=-1, 由kā-b与万互相垂直得： (ka-b)6=ka万-b2=0 解得k=-5 8分 (3)点P(L,-lm)在平面ABC上，AP=元AB+uAC (-1,-1,m+2)=(-1,-1,0)+4(1,0,-2) -1=-2+4 -1=-2, m+2=-24 解得：m=-2 …13分 16.【答案】解：(1)设B(a,b) 因为边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0,边AC上的高所在直线方程为2x-y-9=0, 2a-b-9=0, a+3-3 b+2 a=8, +8=0 所以( 2 解得6=7即B的坐标为（⑧，7） ..…4分 设C(m,n) 因为边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0,边AC上的高所在直线方程为2x-y-9=0, m-3n+8=0, n-21 m=1, 所以〔m-32解得n=3,即C的坐标为，3) …8分 (2)因为4(3,2)，B(8,7),所以4B=V3-82+(2-7y=5√2 y-2_x-3 因为边AB所在直线的方程为7-28-3，即x-y-1=0, 1-3-1_32 3W2 所以点C(,3)到边AB的距离为V22,即边AB上的高为2， 5N2x3W_15 故△ABC的面积为2 22 .…15分 17.【答案】 (1)BD=BA+AD=-AB+AD ACi=AB+BC+CC=4B+AD+AA 4分 (2)因为AB=AD=3,AA=2，,∠BAD=90°，∠BA=∠DAA'=60°， 所以AB·AD=0,AB·Af=AD·AA=3×2×cos60°=3， 由)得BD·Ac=(D-B)(aB+D+a) AD.4B+AD'+AD.AA-AB'-AB.AD-AB.AA =0+32+3-32-0-3=0, 所以BD⊥AC,即BD⊥LAC': ……10分 (3)由(1)得AC=AB+AD+AA, 所以4C=(aB+D+A AB'+AD+AA+24B.AD+24B.A4+2AD.A4 =32+32+22+2×0+2×3+2×3=34, 所uC-34.4C的长%N4 …15分 18.【答案】(1)证明：由直线：(a-)y=(2a-3)x+l整理可得： aw-2ax-y+3x-1=0,即a(y-2ar)+(-y+3x-l)=0, y-2x=0 ∫x=1 则由-y+3x-1=0,即y=2, 故直线1过定点（1,2)， …3分 2(2a-3)-(1-a)+1 =5 (2)直线化为一般式1：(2a-3)x+(1-a)y+1=0.故V2a-3+1-a 7 Q= 得5，所以l的方程为X+2y-5=0…7分 3)D由1：(a-ly=(2a-3列x+l可得： 1 1 当y=0时， X=2a-3,当x=0时，y=a, X=- 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 1 >0 2a-3 1 >0 a-1 1<a<2: .3 ，解 此时三角形面积为 要使面积取最小值，只需取y=2a2-5a+3的最小值即可： 521 由 卫=2a2-5a+3=2a-48可知」 、5 1 当4时，y=22-5a+3取最小值8，此时面积最小… …12分 (其他方法也可) x+y=1 (i)设直线1的截距式方程为mn(m>0,n>0),由(1)知(1,2)点在1上，所以 1+2=1 m n, 此时1(m,0),B(0,川），由于这三点共线，且在A、B之间，所以 有Ag外：2B=A0·QB=m+2n-5 m+2m=(m+2m)+2）=5+2m+2”≥5+24=9 m n) n m 当且仅当m=n=3时取等号 所以4№B的最小值为4.… …17分 19.【答案】(1)证明：取AC的中点E,连接SE,BE, :AB=BC,SA=SC,且AC的中点为E, ∴.SE⊥AC,BE⊥AC, :SE∩BE=E,SE,BEc平面SBE, AC⊥平面SBE,SBC平面SBE,AC⊥SB.…4分 B (2) 当SC⊥BC时，△CBS≌△ABS,则SA⊥BA, 取BS的中点O,连接OA,OC,故O到A,B,C,S四点的距离相等， 所以O为三棱锥S-ABC外接球的球心， AB=BC=2,AS=CS=22,SE=6,SB=2V3,EB=2, 设S到平面ABC的距离为A,B到平面SAC的距离为h, B -A8c='a-4AC→ SAAc×h 由等体积法可得 ·'Cos∠SEB= SEP+EBP-ISBP 3 2SE·EB 3 ∠SEB∈(0，m).sin∠SEB=-eos2∠SEB=6 , 之么=SE:sm(元-∠SEB)=V6×=26=BEsin∠SB=V2xV625 33 ∴.O到平面SAC的距离 3 …9分 (3) 以E为坐标原点，EA为x轴，EB为V轴，垂直向上的方向为2轴建立空间直角坐标系， S x 设∠SEB=(0<0<π). 由于SE=V6,结合三角函数.易得S0,v6cos8,v6sin0) 可求解出平面SAC的法向量i=(0,sin8,-cos0) 平面S8C的法向量i=(V5sin0,V5sin81-V5coso） (V3-cos0)2 cos<m,n>= √5-cos0 所以 7-3cos20-23cose V7-3cos20-23cos0 6-0-9,5-15+9-5 (W3-cos0)2 1 1 ≥ 7-3cos0-23cos日-3r+8W3a-8-8+8v5-3-82-5y+3 所 t2 1v3 所以当t2,即3 cos0= 3时，cos<m,i>有最小值3 5 即平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值为3… …17分