28.1图形的旋转同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册28.1图形的旋转同步练习 一、选择题 1．下列现象中，属于旋转的是（　） A．传送带传送货物　　B．电梯的升降　　C．摩天轮的运动　　D．汽车在笔直公路上行驶 2．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′。下列各角中，属于旋转角的是（　） A．∠ABC　　B．∠ACB′　　C．∠BAB′　　D．∠CAB′ 图1 3．如图，正六边形ABCDEF绕其中心O旋转后能与自身完全重合，则旋转的最小角度是（　） A．45°　　B．60°　　C．90°　　D．120° 图2 4．如图，在正方形网格中，△ABC绕某一点旋转后得到△A′B′C′（点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′），则旋转中心是（　） A．点P　　B．点Q　　C．点R　　D．点S 图3 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′。当点C、A、B′在同一条直线上时，旋转角的度数为（　） A．35°　　B．45°　　C．55°　　D．125° 图4 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A′B′C′，点A′恰好落在边AB上。下列结论一定正确的是（　） A．∠A′CB=90°　　B．AA′=A′B　　C．A′B′∥AC　　D．∠B′A′C=30° 图5 7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6,3)，点B的坐标为(0,5)。将△OAB绕原点O按逆时针方向旋转90°得到△OA₁B₁，则点B₁的坐标为（　） A．(−5,0)　　B．(5,0)　　C．(0,−5)　　D．(−3,6) 图6 8．把图形甲绕点O按顺时针方向旋转55°得到图形乙，再绕点O按逆时针方向旋转100°得到图形丙，则图形甲旋转到图形丙的旋转角为（　） A．55°　　B．45°　　C．100°　　D．155° 9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点D恰好在BC的延长线上，则BE的长为（　） A．2√2　　B．4　　C．2√5　　D．2√3 图7 10．如图，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)。将正方形OABC绕原点O按逆时针方向旋转90°得到正方形OA₁B₁C₁，再绕原点O按逆时针方向旋转90°得到正方形OA₂B₂C₂……依此规律连续旋转2025次，则点B₂₀₂₅的坐标为（　） A．(−1,1)　　B．(1,−1)　　C．(−1,−1)　　D．(1,1) 图8 二、填空题 11．下列现象中：①传送带上的货物；②荡秋千；③钟摆的摆动；④电梯的升降。属于旋转现象的是____。（填序号） 12．如图所示的图案绕其中心O旋转后能与自身完全重合，则旋转的最小角度为____度。 图9 13．将△AOB绕点O顺时针旋转80°得到△A′OB′，点A的对应点为点A′。若∠AOB=30°，则∠A′OB的度数为____。 14．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,−3)，将点A绕原点O按逆时针方向旋转90°得到点A′，则点A′的坐标为____。 15．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB的中点，将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△BCE，连接DE，则四边形ADCE的面积为____。 图10 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−3,5)、B(−4,1)、C(−1,2)。 （1）画出△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°后得到的△A₁B₁C₁； （2）写出点A₁、B₁、C₁的坐标。 图11 17．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点D在边AC上，点E在AC的下方，连接BE，其中AC=6，CD=3。 （1）填空：△BCD可以看作△ACE绕点____按____（填“顺”或“逆”）时针方向旋转____度得到； （2）若∠CBD=20°，求∠AEC的度数。 图12 18．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AP′，连接PP′、BP′。 （1）求证：△APP′是等边三角形； （2）若AP=2，求△APP′的周长。 图13 19．如图，E是正方形ABCD内一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到△CBF，连接EF，正方形ABCD的边长为4。 （1）判断△BEF的形状，并说明理由； （2）若BE=3，求EF的长。 图14 20．如图，△ABC与△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC。将△DCE绕点C旋转，直线AD与BE交于点F。 （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求证：AD⊥BE。 图15 21．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)、A(4,0)、B(4,3)、C(0,3)。将矩形OABC绕原点O按逆时针方向旋转90°得到矩形OA₁B₁C₁。 （1）求点B₁的坐标； （2）若按同样的方式连续旋转2025次，求点B₂₀₂₅的坐标。 图16 22．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°。将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（点F的对应点为点G）。 （1）求证：△AEF≌△AEG； （2）求证：EF=BE+DF。 图17 23．如图，P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3。将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP′。 （1）求证：△BPP′是等腰直角三角形； （2）求PP′的长； （3）求正方形ABCD的面积。 图18 参考答案 一、选择题 1．C　【难度：基础】【解析】旋转是图形绕某一点（旋转中心）按一定方向转动一定角度的运动。摩天轮绕轴心转动属于旋转，传送带传送货物、电梯升降、汽车在笔直公路上行驶都属于平移。 2．C　【难度：基础】【解析】旋转角是旋转中心与两个对应点连线所夹的角。点B与点B′是对应点，点A是旋转中心，故旋转角为∠BAB′。 3．B　【难度：基础】【解析】正六边形的中心O与相邻两个顶点所张的圆心角为360°÷6=60°，故正六边形绕中心旋转60°后能与自身完全重合，且60°是最小旋转角。 4．A　【难度：基础】【解析】旋转中心到每一对对应点的距离相等。分别连接AA′、CC′，作它们的垂直平分线，交点即为旋转中心。由图易知点P到A与A′、B与B′、C与C′的距离分别相等，故旋转中心为点P。 5．D　【难度：基础】【解析】在Rt△ABC中，∠BAC=90°−35°=55°。当点C、A、B′在同一条直线上时，点B′在CA的延长线上，所以∠BAB′=180°−∠BAC=180°−55°=125°，即旋转角为125°。 6．B　【难度：基础】【解析】由旋转知AC=A′C，∠ACA′=60°（旋转角），故△ACA′是等边三角形，AA′=AC。在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=30°，所以AB=2AC，故A′为AB的中点，AA′=A′B。A、C、D选项经计算均不成立。 7．A　【难度：基础】【解析】绕原点逆时针旋转90°的坐标变换为(x,y)→(−y,x)。点B(0,5)的对应点B₁=(−5,0)。 8．B　【难度：基础】【解析】旋转角可以叠加：先顺时针旋转55°，再逆时针旋转100°，净旋转为55°−100°=−45°，即相当于逆时针旋转45°，故旋转角为45°。 9．C　【难度：中档】【解析】由旋转知△ADE≌△ABC，AD=AB=√(2²+2²)=2√2。以C为原点、CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,2)、C(0,0)、B(2,0)。绕点A顺时针旋转90°后，D(−2,0)、E(−2,2)，所以BE=√((−2−2)²+(2−0)²)=√20=2√5。 10．A　【难度：难题】【解析】正方形绕原点每旋转4次回到原位置，即旋转具有周期性，周期为4。点B(1,1)绕原点逆时针旋转90°后的坐标为(−1,1)。因为2025=4×506+1，所以B₂₀₂₅=B₁=(−1,1)。 二、填空题 11．②③　【难度：基础】【解析】荡秋千、钟摆的摆动都是图形绕定点转动的现象，属于旋转；传送带上的货物、电梯的升降是平移现象。 12．60　【难度：基础】【解析】图案由6个相同的叶片绕中心O均匀排列而成，相邻两片关于中心所张的角为360°÷6=60°，故图案绕中心旋转60°后能与自身重合，最小旋转角为60°。 13．50　【难度：基础】【解析】由旋转知旋转角∠AOA′=80°。因为∠AOB=30°，所以∠A′OB=∠AOA′−∠AOB=80°−30°=50°。 14．(3,2)　【难度：基础】【解析】绕原点逆时针旋转90°的坐标变换为(x,y)→(−y,x)。点A(2,−3)的对应点A′=(3,2)。 15．18　【难度：中档】【解析】等腰直角三角形ABC中，AB=6√2，D为AB的中点，所以CD=AB=3√2。由旋转知△ACD≌△BCE，CD=CE=3√2，且∠DCE=90°，所以S△DCE=×(3√2)²=9；又S△ACD=×6×3=9，故S四边形ADCE=S△ACD+S△DCE=9+9=18。 三、解答题 16．解：（1）画出△A₁B₁C₁如图11所示。 （2）绕原点逆时针旋转90°的坐标变换为(x,y)→(−y,x)， 所以A₁(−5,−3)，B₁(−1,−4)，C₁(−2,−1)。点A₁、B₁、C₁的坐标分别为(−5,−3)、(−1,−4)、(−2,−1)。 17．解：（1）C；顺；60。因为△ABC与△CDE都是等边三角形，所以BC=AC，CD=CE，∠BCD=∠BCA=60°，∠ACE=∠DCE=60°，即∠BCD=∠ACE，所以△BCD≌△ACE（SAS），故△BCD可以看作△ACE绕点C顺时针旋转60°得到。 （2）由（1）知△BCD≌△ACE，所以∠AEC=∠BDC。 在△BCD中，∠BCD=60°，∠CBD=20°，所以∠BDC=180°−60°−20°=100°。 故∠AEC=100°。 18．解：（1）由旋转知AP=AP′，且∠PAP′=60°。 所以△APP′是有一个角为60°的等腰三角形，即△APP′是等边三角形。 （2）由（1）知△APP′是等边三角形，所以PP′=AP=2。 故△APP′的周长为3×2=6。 19．解：（1）△BEF是等腰直角三角形。 理由：由旋转知BE=BF，且∠EBF=90°（旋转角），所以△BEF是等腰直角三角形。 （2）在等腰直角三角形BEF中，BE=BF=3， 由勾股定理得EF=√(3²+3²)=3√2。 20．解：（1）因为∠ACB=∠DCE=90°，所以∠ACD=∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD=∠BCE，即∠ACD=∠BCE。 又AC=BC，DC=EC，所以△ACD≌△BCE（SAS）。 （2）由（1）知△ACD≌△BCE，且△ACD可以看作△BCE绕点C逆时针旋转90°得到（AC对应BC，CD对应CE，旋转角∠ACB=∠DCE=90°）。 旋转前后对应线段AD与BE的夹角等于旋转角，故AD⊥BE。 21．解：（1）绕原点逆时针旋转90°的坐标变换为(x,y)→(−y,x)。 所以B(4,3)→B₁=(−3,4)，即点B₁的坐标为(−3,4)。 （2）矩形绕原点每旋转4次回到原位置，即旋转具有周期性，周期为4。 因为2025=4×506+1，所以B₂₀₂₅=B₁=(−3,4)。 22．解：（1）由旋转知AG=AF，BG=DF，∠BAG=∠DAF。 因为∠EAF=45°，∠BAD=90°，所以∠BAE+∠DAF=45°，于是∠BAE+∠BAG=45°，即∠EAG=45°=∠EAF。 又AE=AE，AG=AF，所以△AEF≌△AEG（SAS）。 （2）由（1）△AEF≌△AEG，得EF=EG=BE+BG=BE+DF。 23．解：（1）由旋转知BP=BP′，且∠PBP′=90°（旋转角），所以△BPP′是等腰直角三角形。 （2）在等腰直角三角形BPP′中，BP=BP′=2，由勾股定理得PP′=√(2²+2²)=2√2。 （3）设正方形ABCD的边长为a，以B为原点、BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(0,0)、C(a,0)、A(0,a)。设P(x,y)。 由PB=2，PC=3，PA=1，得x²+y²=4，(x−a)²+y²=9，x²+(y−a)²=1。（ 两式相减，得2ax=a²−5，即x=；2ay=a²+3，即y=。 代入x²+y²=4，整理得a⁴−10a²+17=0，解得a²=5±2√2。 又点P在正方形内，x>0，由x=知a²−5>0，故a²=5+2√2。 所以正方形ABCD的面积=a²=5+2√2。 1 学科网（北京）股份有限公司 $