陕西 宝鸡市第一中学西关校区2026-2027学年度上学期九年级数学第一次学情自测试题

2026-2027学年第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分。） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．如图所示，已知，点为边的中点，，则（ ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，连接，．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．如图，四边形的对角线，相交于点，则下列规判断它是正方形的条件是（ ） A． B．， C．，， D．， 6．顺次连结菱形各边中点所得四边形是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 7．如图，过矩形的对角线的中点作，交边于点，交边于点，分别连接、，若．。则的长为（ ） A． B． C． D． 8．关于的一元二次方程，下列命题： ①若、异号，则方程必有两个不相等的实数根； ②若，则方程有一个根为； ③若，则方程的两根互为相反数； ④，，，由根与系数的关系可得，；其中真命题有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分。） 9．若是一元二次方程的一个解，则的值为________。 10．如图，在菱形中，，．则的长为________。 11．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________。 12．某“县超”大区赛的每两个县队之间都要进行两场比赛，共要比赛60场，如果设有个队参加比赛，根据题意，可列由方程为________________。 13．如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作于点，若，菱形的面积为4，则的长为__________。 14、如图，正方形边长是8，在上，且，点为上一个动点，则的最小值是________． 三、计算题：（本大题共1小题，共16分。） 15．用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 四、解答题：（本题共10小题，共62分，解答应写出文字说明，证明过程要验算步骤。） 16．（本小题5分）已知是方程的一个根，求代数式的值。 17．（本小题5分）如图，已知矩形，连接对角线，过点作于点，过点作于点．求证：． 18．（本小题5分）如图，在矩形中，连结，尺规作图，作菱形，使得点，分别在边，上（保留作图痕迹，不写作法）． 19．（本小题5分）已知关于的方程的两根是一个矩形两邻边的长． （1）为何值时，方程有两个实数根。 （2）当矩形的对角线长为时，求的值。 20．（本小题3分）如图，在菱形中，，分别是和上的点，且．求证：． 21．（本小题7分）某古城旅游经济持续向好。具统计，2023年某古城全年接待游客容量为100万人次，到2025年接待的游客量达到144万人次。 （1）求2023年到2025年该古城游客量的年平均增长率。 （2）古城某特产店销售一款纪念品，已知该纪念品平均每天可售出20个，每个盈利40元。在“十一”黄金周期间，该店决定降价促销，如果售价每降低1元，平均每天可多售出2件。在每个纪念品盈利不少于25元的前提下，要使该纪念品每天盈利1200元，每个纪念品应降价多少元。 22．（本小题6分）阅读与思考：著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，交换它的结构，到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1 因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2 求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当 ，即时，的值最小，最小值为． （1）用配方法将因式分解； （2）用配方法求：当为何值时，代数式有值最小，最小值是多少？ 23．（本小题6分）某学校艺术节期同举办电脑绘画作品现场制作比赛，比赛场地设置在操场、如图，学校利用操场东北角的一面最大长度为36米的围墙作一边，其余三边恰好用长为68米的栏杆围成一个矩形场地，场地中间用栏杆隔开分成两个小矩形，每个小矩形都设置了一个2米宽的小门，方便参加比赛的选手出入．设矩形场地的宽为米． （1）请你写出的长为__________米；（用含的代数式表示） （2）若围成的矩形场地的面积为384平方米，请你求出宽的长度。 24．（本小题8分） 如图，是矩形边的中点，是边上一动点，，，垂足分别为，． （1）当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形是矩形？请予以证明。 （2）在（1）中，动点运动到什么位置时，矩形变为正方形？为什么？ 25．（本小题10分） （1）［问题提出］如图1，在矩形中。．．是矩形内一动点，且，则的最小值为__________． （2）［问题探究］如图2，在菱形中，，，分别是边，上的两个动点，且，连接、、．求证：． （3）［问题解决］如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形花园，其中．，．根据要求，现计划在该花园内修建两条笔直的绿色长廊，，且绿色长廊的入口定为点．出口、分别设在边和边上，且．为了节省成本，要求绿色长廊与的长度之和最短。试求的最小值．（绿色长廊的宽度忽略不计） 学科网（北京）股份有限公司 $