精品解析：陕西省西咸新区秦汉中学2026-2027学年上学期第一次素质调研九年级数学

初三第一学期第一次素质调研 数学 考试时间：120分钟满分：120分 说明： （1）全卷共三个大题，26个小题，满分120分，时间120分钟； （2）请将所有答案填写在答题纸上． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：中未知数最高次数为1，不符合题意； 选项B：不是整式方程，且含有两个未知数和，不符合题意； 选项C：是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合题意； 选项D：中未知数最高次数为3，不符合题意； 故答案为C． 3. 如下图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是矩形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定逐一分析即可． 【详解】解：A选项，∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，选项正确，不符合题意； B选项，∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，B选项正确，不符合题意； C选项，平行四边形中， ，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，C选项正确，不符合题意； 选项，当时，平行四边形是菱形，不一定是矩形，结论错误，D选项符合题意． 4. 如果，那么（ ） A. 3∶6 B. 6∶1 C. 1∶2 D. 2∶1 【答案】D 【解析】 【分析】比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，根据可知3和x互为内项或互为外项，则6和y为外项或内项，据此写出x和y的比，再根据比的基本性质把结果化成最简整数比即可． 【详解】解：根据可得． 5. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 2，4，6，12 B. 2，3，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 【答案】A 【解析】 【分析】根据成比例线段的性质，若四条线段中，最大线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段为成比例线段，依次验证各选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：，， ∴，故A符合题意； 对于选项B：，， ∴，故B不符合题意； 对于选项C：，， ∴，故C不符合题意； 对于选项D：，， ∴，故D不符合题意． 6. 某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：每个站点到其余个站点各有1种去程车票，往返车票不同， 总车票数为，结合共56种往返车票， 得方程. 7. 如图，，、相交于，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，则可得的长，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知三角形①的面积是3，则三角形②的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得∠AOB＝∠BOC＝360°÷12＝30°，设AB＝x，利用特殊角的三角函数值可求得，，再根据三角形①的面积是3可得，最后再利用特殊角的三角函数值可求得，进而可求得答案． 【详解】解：如图，根据题意得：∠AOB＝∠BOC＝360°÷12＝30°， 设AB＝x， ∵在中，，， ∴，， ∴，， ∵三角形①的面积是3， ∴， 整理得：， ∵在中，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及解直角三角形的相关知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 因式分解：m2﹣mn=_____． 【答案】m（m﹣n） 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式m即可：m2﹣mn=m（m﹣n）． 10. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例将各分子用对应分母表示，提取公因式后化简即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴，， ∴ ∵ ∴ ． 11. 如图，平面直角坐标系中，点，，，以原点O为位似中心，把缩小为，且与的相似比为，则点C的对应点的坐标为 _____． 【答案】或 【解析】 【详解】解：∵以原点O为位似中心，把缩小为，且与的相似比为，且， ∴点C的对应点的坐标为或，即或． 12. 唢呐是山西八大套的乐器之一．如图，唢呐主要由唢呐杆和唢呐碗两部分组成．制作唢呐时，通常将连接点设计在唢呐的黄金分割点（即），这样唢呐既美观又有最好的音效．现有一个长度为的唢呐杆，准备用其制作一个这样的黄金分割唢呐，则需要制作的唢呐碗的长度是________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到，再由即可求解． 【详解】解：∵连接点设计在唢呐的黄金分割点，而由题意得， ∴， ∴ ∴唢呐碗的长度是． 13. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是__________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算和配方法求最小值问题，解决此题的关键是正确理解题目中新定义；由题中新定义得到的值，再把配方得到最小值即可； 【详解】解：∵一元二次方程与是“同族二次方程”， 即一元二次方程与是“同族二次方程”， 由新定义可知：此两个方程是一样的， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴代数式的最小值是2025． 14. 如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为__ ． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，证明，得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，得出最小，即当点E与点N重合时，最小，即最小，求出最小值即可． 【详解】解：如图所示，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，如图所示： ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E与点N重合时，最小，即最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 又∵， ∴（平行线间间距相等）， ∴的最小值为4， 故答案为：4. 三、解答题（本大题共11个小题，共78分） 15. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：      ； 【小问2详解】 解：， 移项得， 因式分解得， 则或， 解得：，． 16. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）移项合并同类项即可求解； （2）去分母转化为整式方程求解，检验后得到原方程的解． 【小问1详解】 解： 移项得 合并同类项得 ． 【小问2详解】 由分母不为零得 ，即 ． 方程两边同乘，得 展开得 解得 ． 检验：当时， ， ， 因此是原方程的解． 17. 先化简，再求值，其中，． 【答案】 化简结果为，原式的值为 【解析】 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 18. 如图，是以为底的等腰三角形，若，请用尺规作图法在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所作， 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．作的角平分线交于，点即为所作，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可得：平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 2025年1月29日大年初一，电影《哪吒之魔童闹海》正式上映，电影一上映就引起了热烈的反响，票房一路飙升，从2月6日的约60亿元到2月8日同一节点上升到约亿元，求这两天电影票房的平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设这两天电影票房的平均增长率为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这两天电影票房的平均增长率为． 依题意得， 解得（舍）， 答：这两天电影票房的平均增长率为． 20. 如图，在中，，为的中线．，，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，为的中线， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】根据，，得出四边形为平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，即可证明四边形为菱形． 【详解】略 21. 在一次数学综合实践活动中，小颖和同学准备测量学校某幢教学楼的高度，他们选择平面镜、强光电筒、皮尺等工具进行测量．小颖身高为且位于图中的处，平面镜位于点处，教学楼高为．小颖头戴强光电筒，同学们帮忙调节强光电筒和平面镜的位置进行观察与测量（误差忽略不计），当强光电筒开启，光线通过平面镜反射后恰好照射在教学楼顶点的位置（点、、在同一水平线上，且），此时同学们测得，，请求教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的实际应用，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证得后，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，， ，， ， ，即， ． 故教学楼的高度为． 22. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请解答下列问题： （1）求的取值范围； （2）若方程的两个实数根之积为，求的值． 【答案】（1） （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）根据判别式与根的个数的关系，列不等式，求解即可； （2）根据根与系数的关系可得两根之积，结合题干列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得； 【小问2详解】 解：设方程的两根为、， 由根与系数的关系可得， 根据题意可得， 整理，得， 解得或，均符合， ∴的值为或． 23. 如图，在中，于点D，于点E，与相交于点F， （1）求证：． （2）连接，小明进行了深入探究，他发现，得到老师和同学们的认同，他利用（1）中的结论，具体推理过程如下： ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 请你仿照小明的方法证明． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2） 证明：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等求出，结合可得结论； （2）连接，先证明，可得，变形得到，再根据即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 24. 如图，中，点D，E，F分别在，，边上． （1）求证：； （2）设． ①若．求线段的长； ②若的面积是20，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴． （2）①； ②20 【解析】 【分析】（1）根据，得即可得证； （2）① 根据，得，继而得到，结合．求线段即可； ②根据，得，结合的面积是20，得到， 根据题意，得，继而得到求得，于是四边形的面积为． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① ∵， ∴， ∴， ∵． ∴． ②解：∵， ∴， ∵的面积是20， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴四边形的面积为． 25. 如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、． （1）当动点运动时间 秒时，与相似． （2）在运动过程中，当时，为何值？请说明理由． 【答案】（1）或 （2）当时，秒．理由： 如图，过点E作于F， 设经过运动时间为t秒时，， 则，，，； ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， （秒）． 【解析】 【分析】（1）本题考查了三角形相似的判定和性质，判断何时与相似是解决问题的关键．已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间． （2）本题考查了三角形相似的判定和性质，构造辅助线，找到三角形相似是解决问题的关键．当时，过点作于，证明，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出时间． 【小问1详解】 解：设经过运动时间为t秒时，与相似． 则，，，； 1）当，即时， ； ，即， ． ２）当，即时， ， ，即， ． 和都符合， 当动点运动秒或秒时，与相似． 故答案为：或． 【小问2详解】 略 26. 综合与实践 在和中，，，，是的中点，连接，，将绕点顺时针旋转，试判断和的关系． [探索发现] （1）如图（1），当点在上时，和的数量关系为________，直线和直线相交所成的锐角的度数为___________； [验证猜想] （2）如图（2），当点不在上时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； [拓展应用] （3）如图（3），在中，，，点在上，连接，以为斜边作等腰直角，连接．若，求四边形的面积． 【答案】（1）， （2）解：成立，证明如下： 如图，连接，延长交的延长线于点P，记与交于H， 由（1）得：和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，再由点F是的中点，可得是等腰直角三角形，点C，D，F三点共线，从而得到，直线和直线相交所成的锐角的度数为，即可求解； （2）连接，并延长交的延长线于点P，记与交于H，根据等腰直角三角形的性质可得，，可证明，从而得到，，再证明，可得，即可； （3）过点作于，根据等腰直角三角形的性质求得，的长，再由勾股定理得到的长，从而可证得，，进而可求得四边形的面积． 【小问1详解】 解：在和中， ∵， ∴和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点F是的中点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形，点C，D，F三点共线， ∴，直线和直线相交所成的锐角的度数为； ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于，如图（3）： ∵在中，， ∴，点为的中点 ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三第一学期第一次素质调研 数学 考试时间：120分钟满分：120分 说明： （1）全卷共三个大题，26个小题，满分120分，时间120分钟； （2）请将所有答案填写在答题纸上． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如下图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是矩形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是矩形 4. 如果，那么（ ） A. 3∶6 B. 6∶1 C. 1∶2 D. 2∶1 5. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 2，4，6，12 B. 2，3，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 6. 某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，、相交于，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知三角形①的面积是3，则三角形②的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 因式分解：m2﹣mn=_____． 10. 已知，则_____． 11. 如图，平面直角坐标系中，点，，，以原点O为位似中心，把缩小为，且与的相似比为，则点C的对应点的坐标为 _____． 12. 唢呐是山西八大套的乐器之一．如图，唢呐主要由唢呐杆和唢呐碗两部分组成．制作唢呐时，通常将连接点设计在唢呐的黄金分割点（即），这样唢呐既美观又有最好的音效．现有一个长度为的唢呐杆，准备用其制作一个这样的黄金分割唢呐，则需要制作的唢呐碗的长度是________．（结果保留根号） 13. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是__________． 14. 如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为__ ． 三、解答题（本大题共11个小题，共78分） 15. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）解方程：． 16. 计算 （1）； （2） 17. 先化简，再求值，其中，． 18. 如图，是以为底的等腰三角形，若，请用尺规作图法在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 2025年1月29日大年初一，电影《哪吒之魔童闹海》正式上映，电影一上映就引起了热烈的反响，票房一路飙升，从2月6日的约60亿元到2月8日同一节点上升到约亿元，求这两天电影票房的平均增长率． 20. 如图，在中，，为的中线．，，连接，求证：四边形为菱形． 21. 在一次数学综合实践活动中，小颖和同学准备测量学校某幢教学楼的高度，他们选择平面镜、强光电筒、皮尺等工具进行测量．小颖身高为且位于图中的处，平面镜位于点处，教学楼高为．小颖头戴强光电筒，同学们帮忙调节强光电筒和平面镜的位置进行观察与测量（误差忽略不计），当强光电筒开启，光线通过平面镜反射后恰好照射在教学楼顶点的位置（点、、在同一水平线上，且），此时同学们测得，，请求教学楼的高度． 22. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请解答下列问题： （1）求的取值范围； （2）若方程的两个实数根之积为，求的值． 23. 如图，在中，于点D，于点E，与相交于点F， （1）求证：． （2）连接，小明进行了深入探究，他发现，得到老师和同学们的认同，他利用（1）中的结论，具体推理过程如下： ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 请你仿照小明的方法证明． 24. 如图，中，点D，E，F分别在，，边上． （1）求证：； （2）设． ①若．求线段的长； ②若的面积是20，求四边形的面积． 25. 如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、． （1）当动点运动时间 秒时，与相似． （2）在运动过程中，当时，为何值？请说明理由． 26. 综合与实践 在和中，，，，是的中点，连接，，将绕点顺时针旋转，试判断和的关系． [探索发现] （1）如图（1），当点在上时，和的数量关系为________，直线和直线相交所成的锐角的度数为___________； [验证猜想] （2）如图（2），当点不在上时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； [拓展应用] （3）如图（3），在中，，，点在上，连接，以为斜边作等腰直角，连接．若，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $