精品解析：河北涿州中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高 三 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据3，2，4，1，3，6的众数为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数的知识确定正确答案. 【详解】样本数据从小到大为：， 所以众数为. 2. 若是第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得，然后逐一判断选项，即可得到结果. 【详解】因为是第二象限角，所以， ，故A错误； 若，则，故B错误； ，故C正确； ，即相当于一个在第四象限的角，所以，故D错误. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于，所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即曲线在点处的切线方程为. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由 ，得 . ； . 分子分母同除以 ，得 5. 甲、乙、丙、丁4人各自写了1张贺卡，将这4张贺卡分给这4人，每人分得1张，则恰有1人得到自己写的贺卡的分法数为（ ） A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，这是一个排列组合中的错位排列问题.可以先选出得到自己贺卡的那个人，剩下的3人必须全部拿错，利用分步乘法计数原理求解. 【详解】分两步完成： 第一步：从甲、乙、丙、丁4人中选出1人拿到自己写的贺卡，有种选法. 第二步：剩下的3人拿到的贺卡都不能是自己写的，即3个元素的错位排列. 设剩下的3人为乙、丙、丁，对应的贺卡为乙、丙、丁， 他们拿贺卡的情况有： 乙拿丙，丙拿丁，丁拿乙； 乙拿丁，丙拿乙，丁拿丙. 共2种情况. 所以，根据分步乘法计数原理，恰有1人得到自己写的贺卡的分法数为种. 6. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先利用对数的运算性质和换底公式化简，并估算的取值范围，比较与的大小关系，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为， 则， 且，所以. 又因为 且，，则，可得. 综上所述，可得. 记命题：，命题：. 因为，所以当时，一定有，即， 所以“”是“”的充分条件； 反之，当时，不一定有.即， 所以“”是“”的不必要条件. 因此，“”是“”的充分不必要条件. 7. 如图，已知海岛到海岸公路的距离，，间的距离，甲先乘快艇从到海岸公路上的某一点登陆，快艇速度恒为，再乘汽车沿海岸公路到，汽车速度恒为．若忽略换乘的时间，则甲从到所需的时间最少为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设（）， 则甲从到所需的时间为，. 因为，. 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，取得最小值，为. 即甲从到所需的时间最少为. 8. 已知函数的相邻两个零点为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，确定的正切值，结合的对称性，得出与的和的关系，进而推导出的表达式，再利用正切的诱导公式计算. 【详解】由辅助角公式可得：， 其中，所以. 因为是的相邻两个零点， 所以， 化简得：， 由是相邻零点，可得， 整理得：，即， 所以. 已知，故， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求得,，结合诱导公式求解即可. 【详解】由题可得, 对于A，,故A不正确； 对于B，，故B正确； 对于C，,故C不正确； 对于D，，故D正确. 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对A，令得，，故A正确； 对B，令得，①，则，故B错误； 对C，再令得，②， 由得，，即，故C错误； 对D，设， 则， 再令得，，故D正确. 11. 已知函数，其中，，且．是的导函数，的所有零点分别为，，…，，其中，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】C用"每个相邻两根之间至少有一个零点、又至多个零点"确定零点的个数；A把的情形直接求导验证；B由韦达定理求出零点之和并与的和比较；D用乘积求导法则把写成，再代入并利用约去. 【详解】对于C，对每个，若在内没有零点， 则在该区间上单调，不可能在两端都取到，矛盾， 所以在每个内至少有一个零点； 又是次多项式，至多有个零点， 故恰有个零点且每个区间内恰有一个，即，，C正确. 对于A，当时， ，其唯一零点，所以，A正确. 对于B，， 求导得. 由根与系数的关系，的个零点之和满足，即； 当时，故B错误. 对于D，由乘积的求导法则得（不等于任何）. 因为是的零点，所以； 又，故，于是，对每个都成立，D正确. 所以正确的是A、C、D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，且，则__________． 【答案】0.6 【解析】 【分析】先由随机变量，观察到正态分布曲线对称轴为直线，根据对称性即可求得答案. 【详解】解：因为随机变量，所以正态分布曲线关于直线对称， 所以， 所以. 13. 定义符号函数：已知函数，则的值域为__________；若函数的值域为，则不等式的解集为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第①问按 的分段定义写出 的分段表达式，发现 ，直接得值域； 第②问由 值域为 反推二次函数 的零点与开口方向，确定 、 与 的关系后再解不等式. 【详解】①由 的定义： 当 时，，； 当 时，，； 当 时，，. 综上，.因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，故 的值域为 . ②设 ，则 . 由 的值域为 ，知 对一切 成立，且最大值为 . 当 时，，需 ； 当 时，，需 ； 当 时，，需 ； 当 时，，需 . 又 ， 则以为零点且开口向上，故 ，且 ，因此 ，. 不等式 化为 ，即 . 因为 ，所以 ，即 ，解得 或 . 故不等式的解集为 . 【点睛】符号函数与绝对值函数的等价转化是突破口；由复合函数值域反推参数关系时，抓住零点两侧符号反转的特征是关键. 14. 若，，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形，可得，再由的单调性可得，构造函数，由，即可得到的范围. 【详解】由题意可得对恒成立，则， 由可得， 即， 令，则，则函数在上单调递增， 即由可得， 令，即对恒成立， 可得，令，则， 当时，即，，在单调递增， 可得，要使，则，即, 又因为，所以不满足； 当时，即，，在单调递增， 得到，符合要求，则； 当时，即，当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 所以当时，有极小值，即最小值， 所以，解得，所以； 综上所述，的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求的单调递增区间． 【答案】（1） （2）（）． 【解析】 【分析】（1）由图象最高点确定振幅，再通过图象上已知的零点与最高点的横坐标差计算周期，进而求得，代入最高点的坐标到函数表达式中，求解，得到的解析式. （2）先根据横坐标伸缩变换的规则得到变换后的函数，再根据图象左移的平移规则得到的表达式，利用余弦函数的单调递增区间建立关于的不等式，求解单调递增区间. 【小问1详解】 由图可知， 的最小正周期，则， 则，得，，则，． 又，所以， 则． 【小问2详解】 将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象， 再将所得的图象向左平移个单位长度，则． 令，， 得，， 故的单调递增区间为（）． 16. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若在上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1）极大值为，无极小值． （2） 【解析】 【分析】（1）函数求导得，研究函数单调性以及极值即可； （2）对原函数求导，条件可转化为恒成立，分离参数后求解的最大值即可. 【小问1详解】 当时，， 则． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则的极大值为，无极小值． 【小问2详解】 由， 得． 因为在上单调递增，所以， 即在上恒成立． 又，所以． 因为，所以． 故的取值范围为． 17. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且． （1）求，的解析式； （2）令函数． （ⅰ）已知，且，，求的值； （ⅱ）求不等式的解集． 【答案】（1），． （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性得，联立解方程组即可求解； （2）（ⅰ）分析单调性，用零点存在性定理找区间即可得到的值； （ⅱ）构造奇函数，再利用函数单调性解不等式． 【小问1详解】 由，得． 因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，， 则，联立， 解得，． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可得， 因为，和在上都为增函数， 所以在上单调递增， 因为，， 所以，， 又，所以． （ⅱ）令．因为是奇函数，所以， 所以， 所以是奇函数， 又在上单调递增，所以在上单调递增， 由，得， 则， 则，解得或， 故不等式的解集为． 18. 某粽子店每天都会制作一批粽子售卖，其中碱水粽占20%，红枣甜粽占30%，蛋黄肉粽占50%，且每个碱水粽的售价为2元，每个红枣甜粽的售价为3元，每个蛋黄肉粽的售价为6元． （1）设某顾客在店里随机购买个粽子． （ⅰ）若，求该顾客没有买到碱水粽的概率； （ⅱ）若，记为该顾客购买碱水粽的费用，求和． （2）某顾客第一天在该店随机选2个粽子，若携带的钱足以购买这2个粽子，则该顾客第二天携带6元钱随机购买2个粽子，若携带的钱不足以购买这2个粽子，则该顾客第二天携带12元钱随机购买2个粽子，重复上述操作．设该顾客第一天携带6元钱，为第天该顾客携带12元钱购买粽子的概率，求． 【答案】（1）（ⅰ）0.64；（ⅱ）4；25.6 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用对立事件的概率公式结合概率的乘法公式求解；（ii）根据题意顾客买到的碱水粽的个数服从二项分布，依据期望和方差的公式和性质求解； （2）要使得携带6元钱足以购买2个粽子，则不能购买蛋黄肉粽，可得携带6元钱足以购买2个粽子的概率为，不足以购买2个粽子的概率为，根据题意可得，且，由此运算得解. 【小问1详解】 （i）由题可知，顾客随机购买1个粽子，不是碱水粽的概率为， 则该顾客随机购买2个粽子，没有买到碱水粽的概率为. （ii）记为顾客买到的碱水粽的个数，则， 由题可知，， 则，， 则，. 【小问2详解】 要使得携带6元钱足以购买2个粽子，则不能购买蛋黄肉粽， 故携带6元钱足以购买2个粽子的概率为，不足以购买2个粽子的概率为. 由题可知，，且， 则， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则， 则. 19. 已知函数． （1）证明曲线是轴对称图形，并求其对称轴的方程； （2）求的最值； （3）若曲线上所有的点均在圆上或圆内，求圆半径的最小值． 【答案】（1）证明：由，得． 要证曲线是轴对称图形，则只需证． 因为，所以．由， 得． 故曲线是轴对称图形，且其对称轴的方程为． （2）最小值为0，最大值为． （3）． 【解析】 【详解】（1）略 （2）令，则． 设，则恒成立， 则在上单调递增， 则，． 故的最小值为0，最大值为． （3）由，得或，由，得， 则曲线经过点，，． 设外接圆的圆心为，则，得， 则外接圆的半径为． 要使得曲线上所有的点均在圆上或圆内，则圆的半径大于或等于． 下面证明的外接圆即为所求的圆，即证在上恒成立，整理得． 由（2）知，可得． 当时，不等式显然成立． 当时，则． 易知函数，在上均单调递增，且函数值均大于0， 所以在上单调递增，从而． 故圆半径的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高 三 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据3，2，4，1，3，6的众数为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 2. 若是第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁4人各自写了1张贺卡，将这4张贺卡分给这4人，每人分得1张，则恰有1人得到自己写的贺卡的分法数为（ ） A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 6. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，已知海岛到海岸公路的距离，，间的距离，甲先乘快艇从到海岸公路上的某一点登陆，快艇速度恒为，再乘汽车沿海岸公路到，汽车速度恒为．若忽略换乘的时间，则甲从到所需的时间最少为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的相邻两个零点为，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，其中，，且．是的导函数，的所有零点分别为，，…，，其中，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，且，则__________． 13. 定义符号函数：已知函数，则的值域为__________；若函数的值域为，则不等式的解集为__________． 14. 若，，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求的单调递增区间． 16. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若在上单调递增，求的取值范围． 17. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且． （1）求，的解析式； （2）令函数． （ⅰ）已知，且，，求的值； （ⅱ）求不等式的解集． 18. 某粽子店每天都会制作一批粽子售卖，其中碱水粽占20%，红枣甜粽占30%，蛋黄肉粽占50%，且每个碱水粽的售价为2元，每个红枣甜粽的售价为3元，每个蛋黄肉粽的售价为6元． （1）设某顾客在店里随机购买个粽子． （ⅰ）若，求该顾客没有买到碱水粽的概率； （ⅱ）若，记为该顾客购买碱水粽的费用，求和． （2）某顾客第一天在该店随机选2个粽子，若携带的钱足以购买这2个粽子，则该顾客第二天携带6元钱随机购买2个粽子，若携带的钱不足以购买这2个粽子，则该顾客第二天携带12元钱随机购买2个粽子，重复上述操作．设该顾客第一天携带6元钱，为第天该顾客携带12元钱购买粽子的概率，求． 19. 已知函数． （1）证明曲线是轴对称图形，并求其对称轴的方程； （2）求的最值； （3）若曲线上所有的点均在圆上或圆内，求圆半径的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $