山东日照市五莲县第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

五莲一中高二年级2026-2027学年度十月考数学参考答案 一、CDCB DADB ACD AB ABD 三、 15．（13分）（1）； （2）或． 16．【详解】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故，故， 由（1）知，， 故 ，∴． 17．【详解】（1）取中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则，因为，所以， 因为，为的中点，所以， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，所以，因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面 （2）因为平面，， 如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，， ，，，设平面的一个法向量为， 则，令，可得，设直线与平面所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 18．（17分）【详解】（1）如图所示：设的边上的高为，边上的高为，    设：，：，联立得， 解得，所以垂心；（2）， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得，解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：. （3）设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得，所以，所以到直线的距离为． 19．（17分）.【详解】（1）连结交于，连接交于点，连结，在等腰梯形中，分别为中点，可得， 在正方形中，，又，平面， 所以平面，因为平面，所以， 作，为垂足，在等腰梯形中，， ，得，由得， 在中，，所以即， 又平面，，所以平面. （2）（i）因分别为正四棱台的两底面的中心， 则平面，且， 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， ， 则，，， 设平面的一个法向量， 则，故可取， 设在平面上的投影为点，则， 设直线与平面所成角为，则，解得， 所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则的轨迹长度为. （ii）设的坐标为， 因，即，得， 设， 即， ，解得，，从而， 记点到的距离为，则， 所以点到距离的最大值为，所以， 又， 记点到平面距离为，则， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 五莲一中高二年级2026-2027学年度十月考数学学科试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线经过点和点，则的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．点关于平面对称的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．设，，向量，，，且，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，点是二面角棱上的一点，分别在、平面内引射线、，若，，那么二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 7．已知点，，若直线：与线段相交（包含端点的情况），则实数的取值范围是（ ） A． B．或 C． D．或 8．如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（ ） A．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 B．在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 C．已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 D．以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形 10．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 11．如图，在棱长为3的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点，，分别是线段，，（不含端点）上的动点，则下列选项正确的是（ ） A．若为的中点，则平面 B．存在点，使得平面 C．的最小值为 D．若，则取得最小值时平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．向量在向量上的投影的模为____________． 13．如图，在正方体中，点在线段上运动，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为____________． 14．如图，在三棱锥中，，平面，于点，是的中点，，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知直线：，：． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 16．（15分）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 17．（15分）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 19．（17分）如图，正四棱台中，，，． （1）求证：平面； （2）若点在平面内，且直线与平面所成的角的正切值为． （ⅰ）求的轨迹的长度； （ⅱ）求三棱锥体积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $