精品解析：山东省日照市五莲县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

高二年级上学期数学阶段性测试试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法运算求出，再求出复数的模. 【详解】复数，则， 所以. 故选：D 2. 已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），有下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量法分别判断即可得到答案. 【详解】因为不重合，对①，平面平行等价于平面的法向量平行，故①正确； 对②，平面垂直等价于平面的法向量垂直，故②正确； 对③，若，故③错误； 对④，或，故④错误． 故选：B． 3. 现有一段底面周长为厘米和高为12厘米的圆柱形水管，是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到达点，另一只从沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到达点，则此时线段长（单位：厘米）为（ ） A. B. C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件建系结合弧长得出角及点的坐标，最后应用空间向量两点间距离计算. 【详解】应用圆柱的特征取上下底面的圆心为轴，再过作的垂线为轴，如图建系， 过向圆作垂线垂足为，，设圆半径为，所以， 所以圆弧的长度为：，， 则， 同理，过向圆O作垂线垂足为，则， 所以. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法运算法则和共轭复数的概念求解即可. 【详解】由题意知，, 所以, 故选：C 5. 正方体中，点M是上靠近点的三等分点，平面平面，则直线l与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据面面平行性质定理得出交线l,再结合空间向量法求异面直线的余弦值. 【详解】因为是正方体，所以平面平面, 平面平面,平面平面, 所以,是靠近的三等分点， 所以, 平面平面即是, 如图建立空间直角坐标系,设正方体边长为3， 则 设直线l与所成角为 . 故选：D. 6. 在棱长为a的正方体中，M，N分别是，的中点，则与面MBD的距离是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则可得到点 的坐标以及的坐标，再求出平面 BDM 的法向量，最后用点到面的距离公式可求得答案. 【详解】如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则 所以 设平面的法向量，则 即 设，则 所以 则点到平面的距离为. 故选:A 7. 如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 三棱锥的体积为 D. 直线BC与平面所成的角为 【答案】B 【解析】 【分析】A选项根据正方体的性质判断；对于B，D利用空间向量判断，对于C，利用体积公式求解即可. 【详解】A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误； 如图建立空间直角坐标系，则， 对于B，设平面的法向量为，则， 令，则， 因为，所以，所以， 因为在平面外，所以直线与平面平行，所以B正确， 对于C， ，所以三棱锥的体积为，所以C错误， 对于D，，直线BC与平面所成的角为，，所以D错误， 故选：B. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） ①的外接球表面积为； ②异面直线与所成角的取值范围是； ③直线平面； ④三棱锥的体积随着点的运动而变化. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体棱长可知其外接球半径为,其表面积为，可判断①错误；建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的余弦值可求得②正确，求出平面的法向量为，可知，即③正确，易知点到平面的距离是定值，利用等体积法可知三棱锥的体积为定值，即④错误. 【详解】对于①，根据题意，设棱长为2的正方体外接球半径为, 则满足，可得， 此时外接球的表面积为，可知①错误； 对于②，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，所以， 设，其中； 可得， 异面直线与所成角的余弦值为， 易知时，， 可得， 所以异面直线与所成角的取值范围是，即②正确； 对于③，由②可知，，则； 设平面的法向量为，又， 则，取，则； 所以平面的法向量为， 此时，可得，又平面， 所以直线平面，即③正确； 对于④，根据正方体性质平面，所以， 易知直线到平面的距离是定值，底面的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，因此三棱锥的体积不会随点的运动而变化，即④错误； 综上所述，正确的结论为②③. 故选：C 【点睛】方法点睛：求解异面直线所成角的方法： （1）平移法：将两异面直线通过平移作出其平面角，再利用余弦定理取得余弦值； （2）向量法：建立空间直角坐标系利用空间向量所成的角与异面直线所成的角的关系，求得两向量夹角的余弦值. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. D. 若是关于的方程：的根，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据虚数单位乘方的周期性可判断A选项，设根据复数的四则运算及模长公式可判断BC选项，再根据复数范围内二次方程的解互为共轭复数且满足根于系数关系，判断D选项. 【详解】A选项：由虚数单位的定义，，则，A选项错误； 设， B选项：由，则，且， 则，， 又，所以当时取最小值为，B选项正确； C选项：，，， 所以，C选项错误； D选项：由已知复数范围内二次方程的两根满足， 且与互为共轭复数，由可知， 则，即，D选项正确； 故选：BD. 10. 如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 平面与平面的夹角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A由线面平行的判定定理可证；选项B由线面垂直可证线线垂直；选项CD可由空间向量法可得. 【详解】选项A： 如图连接交于，连接， 由题意可知为的中点，又为的中点，故， 又平面，平面，故平面，故A正确； 选项B：由题意为等边三角形，为的中点， 故, 又棱柱为直三棱柱，故， 又，平面，平面， 故平面，又平面，故，故B正确； 选项C： 如图建立空间直角坐标系，则，，， 因，故， 所以，， 设异面直线与所成角为，则 故C错误； 选项D：由题意平面的一个法向量为， ，，， 设平面的法向量为，则 ，即，设，则，， 故， 设平面与平面的夹角为，则， 故， 故，故D正确， 故选：ABD 11. 在边长为1的正方体中，分别为棱的中点，为正方形的中心，动点平面，则（ ） A. 正方体被平面截得的截面面积为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若，则的最小值为 D. 将正方体的上底面绕点旋转，对应连接上、下底面各顶点，得到一个侧面均为三角形的十面体，则该十面体的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出正方体被平面截得的截面，得出截面为正六边形即可判断A；建立空间直角坐标系，由线面垂直得出，结合勾股定理得出点的轨迹为以为圆心半径为的圆，即可判断B；由空间向量得出关于平面的对称点为点，根据空间向量模长的坐标计算即可判断C；作出十面体，将该十面体放在一个四棱台中，根据棱台体积及三棱锥体积计算公式即可判断D． 【详解】对于A，连接并延长，与所在直线交于点，连接，交于点，交直线于点，连接，交于点，连接，如图所示，则正方体被平面截得的截面为六边形， 连接，则， 因为为正方体，所以平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以，又分别为棱的中点，所以， 所以，则点为中点，， 同理可得，， 所以六边形为正六边形，则，故A正确； 对于B，由A可知，平面即为平面， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，连接，取中点，连接，如图所示， 则，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 因为，所以，令，则， 因为，所以，所以平面， 又平面，所以， 因为，， 所以， 所以点的轨迹为以为圆心半径为的圆，点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为，所以为靠近的三等分点，则， 连接，由，，得， 所以，所以关于平面的对称点为点， 所以，故C正确； 对于D，如图所示，即为侧面均为三角形的十面体，在平面，以为对角线作正方形，连接，则是上底和下底都是正方形的四棱台，底面边长为和1，高为1， 所以， 因为， 所以，故D正确； 故选：ACD． 【点睛】关键点睛：空间不规则几何体的体积，可以将几何体放在一个规则几何体中，减去多余部分的体积，从而简化计算进行求解． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知i为虚数单位，是实系数一元二次方程的一个虚根，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】可知也是实系数一元二次方程的根，从而利用韦达定理求解． 【详解】是实系数一元二次方程的根， 也是实系数一元二次方程的根， ，， 解得，，故. 故答案为：4 13. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线运算得解. 【详解】由，得，解得， 又，得，解得， 所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且. 故答案为：. 14. 已知梯形如图1所示，其中，A为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面⊥平面，得到如图2所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面，则λ的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】应用空间向量法计算已知面面垂直即法向量垂直即可求参. 【详解】如图，以A为坐标原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ∴ 则， 若是平面的一个法向量， 则 可得， 若是平面的一个法向量， 则可得 由平面平面，得， 即， 解得． 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解； （2）根据条件得到，再利用，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又，所以，得到. 【小问2详解】 因为，又，所以，解得或， 所以的坐标为或. 16. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出直线的方向向量，平面的法向量，再利用线面角的向量法求解即得. （2）根据给定条件，求出平面的法向量及所过的一个点，再利用空间向量求出点到平面的距离. 【小问1详解】 依题意，直线的一个方向向量坐标为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 【小问2详解】 依题意，平面的法向量为，且平面过点，由，得， 所以点到平面的距离为. 17. 如图，在三棱柱中，底面，，，，，点，分别为与的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的正切值. 【答案】（1） 连结，因为点是的中点，则， 则点是的中点，且是的中点， 所以， 且平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，结合中位线的性质，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用向量公式，即可求解二面角的正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系， ，，， ，， 设平面的法向量， ，令，则，， 则平面的法向量， 平面的法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 所以. 二面角的平面角的正切值为 18. 如图，PC是圆台的一条母线，是圆的内接三角形，AB为圆的直径，． （1）证明：； （2）若圆台的高为3，体积为，求直线AB与平面PBC夹角的正弦值． 【答案】（1） 证明：由题知，因为为圆的直径，所以， 又，所以， 因为为的中点，所以， 由圆台性质可知，平面，且四点共面， 因为平面，所以， 因为是平面内的两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）转化为证明平面，利用圆台性质即可证明； （2）先利用圆台体积求出上底面的半径，建立空间坐标系，利用空间向量求线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 圆台的体积，其中， 解得或(舍去). 由（1）知两两垂直，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以. 设平面的一个法向量为， 则解得 于是可取. 设直线与平面的夹角为， 则， 故所求正弦值为. 19. 如图①所示，矩形中，，，点M是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，N为中点， （1）若平面平面，求直线与平面所成角的大小； （2）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小. （2）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 取中点，连接，由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 过作，则平面，又平面，于是， 在矩形中，，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为，则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. 【小问2详解】 连接，由，得，而，则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面PAM的法向量为，则， 令，得，设平面的法向量为， 因为，， 则，令，得， 设平面和平面为， 则 令，，则，即，则当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为． 【点睛】利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级上学期数学阶段性测试试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），有下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 现有一段底面周长为厘米和高为12厘米的圆柱形水管，是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到达点，另一只从沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到达点，则此时线段长（单位：厘米）为（ ） A. B. C. 6 D. 12 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 正方体中，点M是上靠近点的三等分点，平面平面，则直线l与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为a的正方体中，M，N分别是，的中点，则与面MBD的距离是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 三棱锥的体积为 D. 直线BC与平面所成的角为 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） ①的外接球表面积为； ②异面直线与所成角的取值范围是； ③直线平面； ④三棱锥的体积随着点的运动而变化. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. D. 若是关于的方程：的根，则 10. 如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 平面与平面的夹角的正切值为 11. 在边长为1的正方体中，分别为棱的中点，为正方形的中心，动点平面，则（ ） A. 正方体被平面截得的截面面积为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若，则的最小值为 D. 将正方体的上底面绕点旋转，对应连接上、下底面各顶点，得到一个侧面均为三角形的十面体，则该十面体的体积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知i为虚数单位，是实系数一元二次方程的一个虚根，则______. 13. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 14. 已知梯形如图1所示，其中，A为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面⊥平面，得到如图2所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面，则λ的值为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 16. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离； 17. 如图，在三棱柱中，底面，，，，，点，分别为与的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的正切值. 18. 如图，PC是圆台的一条母线，是圆的内接三角形，AB为圆的直径，． （1）证明：； （2）若圆台的高为3，体积为，求直线AB与平面PBC夹角的正弦值． 19. 如图①所示，矩形中，，，点M是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，N为中点， （1）若平面平面，求直线与平面所成角的大小； （2）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $