精品解析：四川达州市达州中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

四川省达州中学九年级上学期9月大练习数学试题 A卷 一、单选题（每题4分） 1. 下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件: 未知数的最高次数是 2，二次项系数不为 0，是整式方程，含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、未知数最高次数为1，故不符合题意； B、，当时，不是一元二次方程，故不符合题意； C、，不是整式方程，故不符合题意； D、是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 2. 一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根的情况为（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝13＞0，进而可找出该方程有两个不相等的实数根． 【详解】∵△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 C. 四条边都相等的四边形是菱形 D. 四个角都相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，熟练掌握相关判定方法是解题的关键．根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项进行分析判断即可得答案． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，该选项说法正确，不符合题意； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法说法错误，符合题意； C、四条边都相等的四边形是菱形，该选项说法正确，不符合题意； D、四个角都相等的四边形，每个角都是直角，那么它一定是矩形，该选项说法正确，不符合题意． 故选：B． 4. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 且， 故选：D． 5. 若方程的两根是等腰三角形的底边长和腰长，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系，等腰三角形的定义，由得，，然后通过三边关系即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ，， ∴当三边为，，，不能构成三角形； 当三边为，，，能构成三角形，此时周长为； 故选：． 6. 如图，四边形为菱形，点、、、在坐标轴上，，，则菱形的面积等于（ ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质与面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据菱形的性质，可得，，然后利用勾股定理求得，最后利用求出面积即可． 【详解】解：四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， 菱形的面积为：， 故选：B． 7. 如图，在中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，若，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的中位线定理的运用，解题的关键是根据三角形的中位线定理求出，再根据平行四边形的性质得出结果． 【详解】解：点，分别是，的中点，， ， 四边形是平行四边形， ， 故选：D． 8. 如图，在正方形中，点是对角线的交点，过点作射线分别交于点，且，交于点．给出下列结论：①；②；③；④正方形面积是四边形的面积为的4倍．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理逐一分析即可得出正确答案． 【详解】解：在正方形中，，，， ∵， ∴， ∴，故①正确； 在正方形中，即，所以不全等于；故②错误； ∵， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故③正确； 由①全等可得四边形的面积与面积相等， ∴正方形面积是四边形的面积为的4倍，故④正确． 综上所述，结论正确的是①③④． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明． 二、填空题（每题4分） 9. 用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方即可变形成完全平方的形式，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 【详解】解： ， ， ∴， 故答案为：，． 10. 若是方程的根，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程根的定义，得到的值，再整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程得， ∴整理得， ∴． 11. 如图，菱形中，交于，于，连接，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可知，，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得出，进而得到，，再利用三角形内角和定理与外角的性质求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ∵， 在中，， ，， ， ， ． 12. 如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点，作直线，分别与，交于点M，N，连接，．若，．则四边形的周长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．利用基本作图可判断垂直平分，则，，设，则，，在中利用勾股定理得到，解方程得到，同理可得，然后计算四边形的周长． 【详解】解：由作法得垂直平分， ，， 设，则，， 在中，， 解得， 即， 同理可得， 四边形的周长为． 故答案为：15． 13. 如图，在矩形中，，，P是上的动点，于E，于F，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质求出，根据勾股定理得到，然后根据解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 14. 解方程 （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法是解题的关键． （1）利用配方法解题即可； （2）利用因式分解法解题即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 或 ， 15. 已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值． 【答案】, 【解析】 【详解】试题分析：设另一根为x1,由根与系数的关系得,两根和为4,求得x1,,再根据两根积求得常数项c. 试题解析：设另一根为x1,由根与系数的关系得: 考点：根与系数的关系. 16. 每年3.12是我国植树节，为了解学生对环保知识的掌握情况，增强学生环保意识，某学校举行了环保知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，8分及8分以上为优秀）进行整理、描述和分析，下而给出了部分信息． 七年级20名学生的测试成绩为：7，8，6，10，7，6，5，9，10，9，9，5，8，8，6，7，9，8，8，6． 八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图： 七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 7.55 a 8 八年级 7.55 7 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中的a，b的值： （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握环保知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级分别有900名、600名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩优秀的学生约有多少名？ 【答案】（1）a＝8，b＝7；（2）七年级学生测试成绩较好；由于七、八年级学生的测试成绩的平均数相同，但七年级学生测试成绩的众数、中位数均比八年级高；（3）该校参加测试的七年级900名、八年级600名学生中成绩为优秀的学生约有765名． 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可； （2）比较七年级、八年级学生测试成绩的中位数、众数的大小得出结论； （3）分别求出七年级、八年级优秀学生人数即可． 【详解】（1）七年级20名学生测试成绩出现次数最多的是8分，共出现5次，因此众数是8，即a＝8， 将八年级20名学生的测试成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的都是7分，因此中位数是7，即b＝7， 答：a＝8，b＝7； （2）由于七、八年级学生的测试成绩的平均数相同，但七年级学生测试成绩的众数、中位数均比八年级高，因此七年级学生测试成绩较好； （3）900×+600×＝765（人）， 答：该校参加测试的七年级900名、八年级600名学生中成绩为优秀的学生约有765名． 【点睛】本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握它们的计算方法是正确求解的前提． 17. 在菱形ABCD中，过点B作于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若BD＝2，BE＝4，求BC的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）5 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，求出，利用有一个角是的平行四边形是矩形即可得证； （2）利用勾股定理求出，再根据菱形的性质和勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中： ， 设的长为，则， 由勾股定理得： 即：， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定，以及利用勾股定理求边长．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 18. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于，点是直线上的一动点． （1）求直线的解析式； （2）如图，点在运动过程中，当时，求点的坐标； （3）平面内是否存在一点，使得以点、、、四点为顶点形成的四边形是菱形．若存在，求出点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为，； （3）存在，，，，． 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，然后再用待定系数法求直线的解析式即可； （2）先求出，由题意可得，那么，或，然后解方程即可求出点的纵坐标，然后利用的解析式，求得点的横坐标即可； （3）分三种情况考虑：当四边形是菱形，设相交于点，那么，不妨设，， 过点作轴于点，利用，得到，从而求得，然后在利用，推出 ，从而得出答案；同理可以推出当四边形是菱形和当四边形是菱形时，点的坐标． 【小问1详解】 解：将代入直线，得； 将代入直线，得； 直线与轴交于点，与轴交于点， ， 设直线为，代入，， ， ， 直线为：； 【小问2详解】 解：，， ，， ， ， 点在直线上， ，或， ①当时， ， ， 将代入，得， ， ， ②当时， ， ， 将代入，得， ， ， 故点的坐标为，； 【小问3详解】 解：当四边形是菱形，设相交于点，那么，不妨设，， 四边形是菱形， ， 过点作轴于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， 当时，，此时； 当时，，此时； 当四边形是菱形，设相交于点，那么，，如图所示： 不妨设，， ， ，即， ，，， ， ， 过点作轴于点，作轴于点，如图所示： ， ， ， ， ， 当四边形是菱形时，过点作轴于点，设，，如图所示： 四边形是菱形， ， ，， ，， （舍），或， ， ， ，， ， 综上，点坐标为：，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象及性质，菱形的性质，中点公式，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． B卷 四、填空题（每题4分） 19. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知方程的一个根为，将其代入方程得到关于的方程，再结合一元二次方程二次项系数不为0的限制条件求解即可． 【详解】解：把代入方程得 解得或 ∵原方程是关于的一元二次方程 ∴二次项系数，即 因此的值为． 20. 对于实数a、b、c、d，我们定义运算=ad-bc，例如：=2×5-1×3=7，上述记号就叫做二阶行列式．若=4，则x=______． 【答案】2或4 【解析】 【分析】利用题中的新定义列出关于x方程，解方程即可求解； 【详解】解：利用题中的新定义化简得： 解得：，． 故答案为：2或4． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21. 已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为_____． 【答案】2012 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2-2013a+1=0，则a2=2013a-1，然后把a2=2013a-1代入原式可化简，然后通分后再次代入后化简即可． 【详解】∵a是方程x2−2013x+1=0的一个根， ∴a2−2013a+1=0， ∴a2=2013a−1， ∴原式=2013a−1−2012a+ =a+−1 =−1 =−1 =2013−1 =2012， 故答案为2012. 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的运算法则. 22. 如图，将菱形纸片折叠，使得点B恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点C作交于点G，证明四边形是平行四边形，是等边三角形，设，则根据勾股定理列式解答即可． 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接，过点C作交于点G， ∵四边形是菱形，且菱形的边长为，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，是等边三角形， ∴，， ∵边的中点是， ∴， ∴， 设， 则 ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点分别在轴，轴的正半轴上移动，点之间的距离为4，连接，则线段长度的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点E，连接，，，先证明和是等边三角形，即可求出的长，再在中利用斜边中线性质求出，最后根据确定当三点共线时最大，最大值为，据此求解即可． 【详解】解：连接，由题意得， ∴和是等边三角形， ∴， 如图，取的中点E，连接，， ∵边长为4的菱形，的中点E， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴当三点共线时最大，最大值为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质，坐标与图形，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 五、解答题 24. 材料1若方程的两个根为，，则，． 材料2已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，， 所以．根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解：方程的两个根为，，则_________，_________； （2）理解应用：已知实数m，n是方程的两个根，求的值； （3）类比探究：已知实数m，n满足，．求的值． 【答案】（1）； （2） （3）2或． 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再把所求多项式展开求解即可； （3）分两种情况：当和当时，则实数m，n是方程的两个根，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程的两个根为，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵实数m，n是方程的两个根， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵实数m，n满足，， ∴当（时两个等式不成立），； 当时，则实数m，n是方程的两个根， ∴， ∴； 综上所述，的值为2或． 25. 解方程，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为①，解得，，当时，即，解得，；当时，即，解得，，所以原方程的解为，，，． 上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想． 解答问题： （1）请利用上述这种方法解方程：； （2）应用求值：已知实数a，b满足，求的值． 【答案】（1）原方程的解为， （2）的值为 【解析】 【分析】（1）设，原方程化为，求出y的值，进而即可求解； （2）设，则原方程可化为，求出y的值，结合解答即可． 【小问1详解】 解：设，则原方程化为， 因式分解，得， 所以或， 解得，． 当时，，解得，； 当时，，即， ∵， ∴该方程无实数根． 综上所述，原方程的解为，． 【小问2详解】 解：设， 则原方程可化为， 因式分解，得， 所以或， 解得，． ∵，， ∴， ∴， 即． 26. （1）如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．直接写出与的数量关系____________． （2）如图2，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，求的大小． （3）如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，当时，求出周长的最小值． 【答案】（1）（2），（3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明，得； （2）在上取，连接，由（1）同理可得，则，再说明是等腰直角三角形即可得出答案； （3）作，交的延长线于，交于，连接，则是等腰直角三角形，可知点与关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：（1） 理由如下：取的中点，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 、分别为正方形的边、的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）在上取，连接，如图， 由（1）同理可得， ， ∵是等腰直角三角形 ∴， ， ， ，， ，而， ， ， ， ； （3）连接，作，交的延长线于，交于，连接，，如图， 由（2）知，， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， 点与关于对称， ∴最小值为的长， ∵， ，， 由勾股定理得， 周长的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州中学九年级上学期9月大练习数学试题 A卷 一、单选题（每题4分） 1. 下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根的情况为（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 下列说法错误的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 C. 四条边都相等的四边形是菱形 D. 四个角都相等的四边形是矩形 4. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 若方程的两根是等腰三角形的底边长和腰长，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定 6. 如图，四边形为菱形，点、、、在坐标轴上，，，则菱形的面积等于（ ） A. B. C. D. 12 7. 如图，在中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，若，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 8. 如图，在正方形中，点是对角线的交点，过点作射线分别交于点，且，交于点．给出下列结论：①；②；③；④正方形面积是四边形的面积为的4倍．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每题4分） 9. 用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则_____，_____． 10. 若是方程的根，则_________． 11. 如图，菱形中，交于，于，连接，若，则________． 12. 如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点，作直线，分别与，交于点M，N，连接，．若，．则四边形的周长为______． 13. 如图，在矩形中，，，P是上的动点，于E，于F，则的值是____________． 三、解答题 14. 解方程 （1）； （2） 15. 已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值． 16. 每年3.12是我国植树节，为了解学生对环保知识的掌握情况，增强学生环保意识，某学校举行了环保知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，8分及8分以上为优秀）进行整理、描述和分析，下而给出了部分信息． 七年级20名学生的测试成绩为：7，8，6，10，7，6，5，9，10，9，9，5，8，8，6，7，9，8，8，6． 八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图： 七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 7.55 a 8 八年级 7.55 7 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中的a，b的值： （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握环保知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级分别有900名、600名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩优秀的学生约有多少名？ 17. 在菱形ABCD中，过点B作于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若BD＝2，BE＝4，求BC的长． 18. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于，点是直线上的一动点． （1）求直线的解析式； （2）如图，点在运动过程中，当时，求点的坐标； （3）平面内是否存在一点，使得以点、、、四点为顶点形成的四边形是菱形．若存在，求出点的坐标． B卷 四、填空题（每题4分） 19. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为________． 20. 对于实数a、b、c、d，我们定义运算=ad-bc，例如：=2×5-1×3=7，上述记号就叫做二阶行列式．若=4，则x=______． 21. 已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为_____． 22. 如图，将菱形纸片折叠，使得点B恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则________． 23. 如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点分别在轴，轴的正半轴上移动，点之间的距离为4，连接，则线段长度的最大值为_________． 五、解答题 24. 材料1若方程的两个根为，，则，． 材料2已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，， 所以．根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解：方程的两个根为，，则_________，_________； （2）理解应用：已知实数m，n是方程的两个根，求的值； （3）类比探究：已知实数m，n满足，．求的值． 25. 解方程，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为①，解得，，当时，即，解得，；当时，即，解得，，所以原方程的解为，，，． 上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想． 解答问题： （1）请利用上述这种方法解方程：； （2）应用求值：已知实数a，b满足，求的值． 26. （1）如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．直接写出与的数量关系____________． （2）如图2，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，求的大小． （3）如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，当时，求出周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $