精品解析：四川南充市嘉陵第一中学2026-2027学年 九年级上学期第一次学情监测数学试题

南充市嘉陵一中2026年秋九年级上期第一次学情监测 数学试题 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 对称轴是直线 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的二次函数的图象上有三个点：，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 已知是二次函数，且函数图象有最高点，则的值是___________． 12. 如果，那么的值为______． 13. 菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为______． 14. 若抛物线的顶点在轴上，则________． 15. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______． 三、解答题（共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 19. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程的两个根：__________； （2）写出不等式的解集：__________； （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围__________； （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 20. 如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门． （1）矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为？ （2）鸡舍面积能否达到？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，求的面积． 22. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是（x＞0） （1）求水流喷出的最大高度是多少m？此时的水平距离是多少m； （2）若不计其他因素，水池的半径OB至少为多少m，才能使喷出的水流不落在池外. 23. 某科技公司研发出了一款电子产品，成本为30元／件．试营销阶段发现：当售价为35元／件时，每天的销量为250件；当每件售价每上涨1元时，每天的销量就减少10件．设每件售价为元（为正整数）． （1）当每天的利润为2000元时，为了拓展市场，每件产品的售价应定为多少元？ （2）若要求每天的销量不少于100件，且每件产品的利润至少为18元．当每件售价定为多少时，每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 24. 如图，在中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒． （1）填空：___________， ___________；（用含t的代数式表示） （2）当t为几秒时，的长度等于？ （3）是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由， 25. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C，连接．D是第二象限内抛物线上的动点，过点D作的平行线． （1）求抛物线的函数解析式． （2）求面积的最大值，及此时点D的坐标． （3）若点D的横坐标为，则在直线上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充市嘉陵一中2026年秋九年级上期第一次学情监测 数学试题 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：对于选项A∶ ∵化简得， ∴，是一元一次方程，不是一元二次方程． 对于选项B∶ ∵中，a可能为0，当时，不是一元二次方程， ∴不一定是一元二次方程． 对于选项C∶ ∵只含一个未知数x，且最高次数为2，是整式方程， ∴是一元二次方程． 对于选项D∶ ∵中含有分式，不是整式方程， ∴不是一元二次方程． 因此，是一元二次方程的是C． 故选：C． 2. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：赛程共天，每天安排场， 总安排场数为（场）． 参赛的每个队之间都要比赛一场， 每队比赛场数为场，总比赛场数为场， 满足的关系式为． 3. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理后得， 故选择D． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 5. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 得到的抛物线是，即． 故选：D 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 对称轴是直线 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：∵，且， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意， 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 顶点坐标是，故选项C符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意． 故选：C． 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题还考查了一元二次方程的定义，容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件．据此可得且，进而求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 9. 已知关于的二次函数的图象上有三个点：，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合二次函数的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． ∵， ∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴；根据对称轴可得出②的结论；根据图象的对称性，可知和的值相同，代入可得出③的结论；图象与x轴有两个交点，则；图象开口向下有最大值． 【详解】解：由图象可得：开口向下，对称轴在y轴右侧，顶点在第一象限， ，，； ，故①错误，不符合题意； ∵对称轴为直线， ， ， ，故②正确，符合题意； 由图象可知，当时，， ，故③正确，符合题意； 图象与x轴有两个交点， ， ，故④正确，符合题意； 图象开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 二次函数图象有最大值， （m为任意实数）， （m为任意实数）， 即（m为任意实数），故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确结果有4个． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 已知是二次函数，且函数图象有最高点，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数定义得到的次数为2，结合图象有最高点得到二次项系数小于，列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵是二次函数，且函数图象有最高点， ∴满足两个条件，且， 整理方程得， 因式分解得， 解得或， 解不等式得， ∵，不符合要求，，符合要求， ∴． 12. 如果，那么的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式得到，进而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：3． 13. 菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【详解】解：x2﹣14x+48=0， 则有（x-6）(x-8)=0 解得：x=6或x=8． 所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24． 菱形的面积为：24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查菱形的性质．菱形的对角线互相垂直，以及对角线互相垂直的四边形的面积的特点和根与系数的关系． 14. 若抛物线的顶点在轴上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线的图象和性质，根据顶点在轴上，得到顶点的纵坐标为0，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点在轴上， 在x轴上， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系．根据方程根的定义和根与系数的关系，得到和，进而计算表达式的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， 即． 又∵，是方程的两个实数根， ∴（根据根与系数的关系）． ∴ ． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值． 【详解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC，AC⊥x轴， ∴AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故答案为：1． 三、解答题（共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得， ． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵ ， 不论为何值时，方程总有实数根； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练地运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键． （1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式得到结论； （2）利用根与系数的关系得到，将变形为，然后解关于m的方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得， ∵即： ， ∴， 解得， ∴m的值为或． 19. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程的两个根：__________； （2）写出不等式的解集：__________； （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围__________； （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象与x轴的两个交点的横坐标进行解答即可； （2）根据函数图象找出在x轴下方的部分所对的x值即可； （3）根据抛物线的开口方向和对称轴进行解答即可； （4）根据函数图象进行解答即可． 【小问1详解】 解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的下方， 不等式的解集为； 【小问3详解】 解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴为， 在对称轴的左侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； 【小问4详解】 解：由图象可知，当时， 抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根时，． 20. 如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门． （1）矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为？ （2）鸡舍面积能否达到？ 【答案】（1）矩形鸡舍的长为，宽为 （2） 解：当， 则， 整理得：， 则， 故所围成鸡舍面积不能为平方米． 【解析】 【分析】（1）设矩形鸡舍垂直于房墙的边为，矩形鸡舍的另一边长为，根据正方形面积的公式列式求出答案； （2）当，列出后进行整理得，最后根据判别式判断一元二次方程根的情况． 【小问1详解】 解：设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为，则矩形鸡舍的另一边长为． 依题意，得， 解得，． 当时，（舍去）， 当时，． 答：矩形鸡舍的长为，宽为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，用题目给的条件列出一元二次方程是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将A和B两点坐标代入抛物线的解析式，求得b，c，从而得出结果； （2）运用配方法求出顶点的坐标，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线 经过点， ∴， 解得：， 所以，抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点P的坐标为， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是（x＞0） （1）求水流喷出的最大高度是多少m？此时的水平距离是多少m； （2）若不计其他因素，水池的半径OB至少为多少m，才能使喷出的水流不落在池外. 【答案】（1）；1；（2）2.5. 【解析】 【分析】（1）求得抛物线的顶点坐标即可求得最大高度及水平距离； （2）令y=0，则可以求水池的半径； 【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣1）2+， ∴该二次函数的顶点坐标为（1，）， ∴水流喷出的最大高度是米，此时的水平距离为1米； （2）令y＝0，则﹣（x﹣1）2+＝0， 解得x＝2.5或x＝﹣0.5（舍去） 所以花坛的半径至少为2.5m，才能使喷出的水流不落在池外； 【点睛】本题考查了二次函数在生活中的实际应用，在求解函数解析式时，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）． 23. 某科技公司研发出了一款电子产品，成本为30元／件．试营销阶段发现：当售价为35元／件时，每天的销量为250件；当每件售价每上涨1元时，每天的销量就减少10件．设每件售价为元（为正整数）． （1）当每天的利润为2000元时，为了拓展市场，每件产品的售价应定为多少元？ （2）若要求每天的销量不少于100件，且每件产品的利润至少为18元．当每件售价定为多少时，每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）每件产品的售价应定为元； （2）当每件售价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，二次函数的应用． （1）根据题意求出每天的利润为元，根据利润为2000元列方程求解，根据“拓展市场”取合适的值作答即可； （2）根据题意求出x的取值范围，设每天的销售利润为y，由（1）知，进而根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：∵每件售价为元， ∴售价上涨元，每天的销量减少件，每件利润为元， 则每天的销量为件， 则每天的利润为元， ∵每天的利润为2000元， ∴， 即 解得：， ∵拓展市场， ∴， 即每件产品的售价应定为元； 【小问2详解】 解：∵要求每天的销量不少于100件，且每件产品的利润至少为18元 ∴且， 解得：且， 即， 设每天的销售利润为y， 由（1）知 ， 可知对称轴为直线 ∵， ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∵， ∴当时，每天的销售利润最大，最大利润元， 即当每件售价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润为元． 24. 如图，在中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒． （1）填空：___________， ___________；（用含t的代数式表示） （2）当t为几秒时，的长度等于？ （3）是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由， 【答案】（1） （2） （3）存在，2 【解析】 【分析】（1）由路程速度时间，可直接求解； （2）由勾股定理构建方程求解； （3）由题意可得的面积等于面积的，由三角形的面积公式可求解． 【小问1详解】 点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动， ，， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 当时，的长等于； 【小问3详解】 存在，理由如下： 若四边形的面积等于面积的， 的面积等于面积的， ， ， 解得：或， 当时， 当时，，四边形变为三角形，不合题意，舍去， 存在时刻，使四边形的面积等于面积的，的值为2． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形的面积公式，一元二次方程的应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 25. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C，连接．D是第二象限内抛物线上的动点，过点D作的平行线． （1）求抛物线的函数解析式． （2）求面积的最大值，及此时点D的坐标． （3）若点D的横坐标为，则在直线上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的面积取得最大值为， （3）存在，当是等腰三角形时，则点或或或或． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质及等腰三角形的性质、两点距离公式是解题的关键． （1）把点和点分别代入解析式进行求解即可； （2）过点作轴交于点，求出直线，设， ，那么，由于，则，再利用二次函数的性质求解即可； （3）可求，直线，由，可得直线，可设点，然后由题意可分①当，②当，③，进而根据两点距离公式可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意可把点和点分别代入解析式得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：对于，当， ∴， 过点作轴交于点， 设直线， ∴， 解得：， ∴直线， 设， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴当时，的面积取得最大值为，此时； 【小问3详解】 解：直线l上存在点P，使是等腰三角形，理由如下： ∵的横坐标为， ∴纵坐标为：， ∴ ∵，， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， ∵， ∴设直线， 代入， 则，解得：， ∴直线， 可设点，则有： ∵点，， ∴①当时，则有：， 解得：， ∴， ∴点； ②当时，则有：， 解得：， ∴或， ∴点或； ③当时，则有：， 解得：， ∴或， ∴点或； 综上所述：当是等腰三角形时，则点或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $