精品解析：上海市黄浦区卢湾高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性教学质量反馈数学试卷

卢湾高级中学2026学年第一学期阶段性教学质量反馈 高二年级 数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分分 填空、选择的答案和解答题的解题过程请写在答题纸上，写在本试题纸上无效 一、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分，把答案写在题中横线上．每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1. 若，且，则____（用集合符号表示）. 2. 空间不重合的两个平面的关系有________． 3. 直线和平面所成的角为，则的取值范围是_________ 4. 如图，长方体的各条棱所在的直线中，与直线异面的直线有_________条． 5. 已知直线l，a，b，平面，若要得到结论，则需要在条件，，⊥，⊥中另外添加的一个条件是_____. 6. 如图，已知的直观图是一个直角边长是1的等腰直角三角形，则的面积是________. 7. 如图，长方体的底面是边长为的正方形，棱，则二面角的大小为_________ 8. 在四面体中，，，分别为，的重心，则_________． 9. 如图（1），、分别是正方体的棱、的中点，是正方形的中心，试在图（2）中画出空间四边形在平面上的射影． 10. 线段的两端分别在直二面角的两个面内，且与这两个面都成角，则直线与所成的角等于_________． 11. 如图，直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则最小值为______． 12. 在棱长为1的正方体中，若点为的中线上一点，且到平面、平面、平面的距离的平方和记为，则的取值范围为_________． 二、选择题：本题共有4题，每小题4分，共16分每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号填入下面的表格中，选对得4分，不选、错选或者选出的代号超过一个，一律得零分． 13. 设m、n为平面M外的两条直线，且，则是的（ ） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分又非必要条件． 14. 已知，点是平面外一点，点是点在平面上的射影，若到的三个顶点的距离相等，则是的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 15. 如图，正方体，，E为上任一点，有四个结论： ①平面平面，②平面平面， ③，④平面平面． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 一个正方体的六个面上都标有数字，其表面展开图如图所示．现有三个完全相同的正方体，若以叠放的方式把它们放在桌上形成一个棱柱，则看得见的个数之和的最大值是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在空间四边形中，，分别是棱，的中点，对角线，，求异面直线与所成角的大小． 18. 在四棱柱中，，且，，分别为，的中点． （1）求证：直线平面； （2）求证：平面平面． 19. 在长方体中，，，为的中点． （1）求直线与平面所成的角； （2）求点到平面的距离． 20. 在四面体中，，平面． （1）四个表面都是的四面体称为“鳖臑”，判断四面体是否为“鳖臑”？ （2）若于点，于点，求证：平面． （3）在（2）的条件下，若，，求面积的最大值，并指出相应的值． 21. 如图，以的边为直径在三角形外作半圆，半圆恰好位于平面内，，半圆的面积为，是边长为2的等边三角形，平面平面，为半圆弧上一点（不含端点）． （1）判断的形状； （2）若点为线段上一点．求证：平面平面； （3）求二面角的大小． 四、附加题（本题满分5分） 22. 如图，正方体的棱长为1，动点在其对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于，，设，，则关于的函数关系式为____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卢湾高级中学2026学年第一学期阶段性教学质量反馈 高二年级 数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分分 填空、选择的答案和解答题的解题过程请写在答题纸上，写在本试题纸上无效 一、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分，把答案写在题中横线上．每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1. 若，且，则____（用集合符号表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据两个面的交点在两个面的交线上来解答问题. 【详解】两个面的交点在两个面的交线上， 若，且，则 故答案为：. 2. 空间不重合的两个平面的关系有________． 【答案】平行和相交 【解析】 【分析】根据面面位置关系分析即可. 【详解】空间两个不重合平面位置关系是相交或平行. 故答案为：相交或平行 3. 直线和平面所成的角为，则的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【详解】①直线在平面内或直线与平面平行时，直线与平面所成角； ②当直线是平面的斜线时，斜线与其在平面内射影所成锐角为线面角，即； ③当直线与平面垂直时，规定直线与平面所成角； 综上，的取值范围是. 4. 如图，长方体的各条棱所在的直线中，与直线异面的直线有_________条． 【答案】 【解析】 【详解】根据异面直线的概念可知与直线异面的直线有、、、，即条. 5. 已知直线l，a，b，平面，若要得到结论，则需要在条件，，⊥，⊥中另外添加的一个条件是_____. 【答案】a与b相交 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理可得答案. 【详解】由线面垂直的判定定理得到，a与b相交. 故答案为：a与b相交 6. 如图，已知的直观图是一个直角边长是1的等腰直角三角形，则的面积是________. 【答案】 【解析】 【分析】由斜二测画法，画出对应的平面图形，求得，即可求解. 【详解】如图所示，根据斜二测画法，画出对应的平面图形， 因为为直角边长为1的等腰直角三角形，可得， 所以的面积为. 故答案为：. 7. 如图，长方体的底面是边长为的正方形，棱，则二面角的大小为_________ 【答案】 【解析】 【分析】作辅助线，可知二面角的平面角为，可得，即可得结果. 【详解】设，连接、，则为的中点， 因为底面是边长为的正方形，且， 则，可得，， 可知二面角的平面角为， 在中，，，则， 可得，则， 所以二面角的大小为. 8. 在四面体中，，，分别为，的重心，则_________． 【答案】 2 【解析】 【详解】连接延长交于，连接延长交于， 为重心，是中点，且， 为重心，是中点，且， 在中，， ，且， 在中，分别为中点， 是中位线，且， . 9. 如图（1），、分别是正方体的棱、的中点，是正方形的中心，试在图（2）中画出空间四边形在平面上的射影． 【答案】 【解析】 【详解】如图，取 的中点 ，连接 ，， 则 即为空间四边形 在平面 上的射影． （注：点 的射影 为正方形 的中心，位于线段 上） 10. 线段的两端分别在直二面角的两个面内，且与这两个面都成角，则直线与所成的角等于_________． 【答案】## 【解析】 【分析】画图找到直线与所成的角，计算即可 【详解】如图： 过分别作棱的垂线，垂足设为连结， 由直线垂直于平面的性质定理知，. 所以. 作且，则为直线与所成的角. 连结，可得，，所以， 所以三角形为直角三角形. 设，，所以， 所以. 直线与所成的角等于. 故答案为：. 11. 如图，直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将平面沿翻折至与平面同一平面，结合平面几何性质运算求解即可. 【详解】将平面沿翻折至与平面同一平面，如图所示： 则，即四边形为正方形， 可得，所以最小值为. 12. 在棱长为1的正方体中，若点为的中线上一点，且到平面、平面、平面的距离的平方和记为，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出中线上点的参数坐标，将距离平方和转化为关于参数的二次函数，求该二次函数在参数取值范围内的最值即可得到取值范围. 【详解】以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 由正方体棱长为1得：，，，的中点. 设，，则点坐标为. 平面的方程为，到该平面的距离平方为； 平面的方程为，到该平面的距离平方为； 平面的方程为，到该平面的距离平方为. 因此，， 该二次函数开口向上，对称轴为， 当时，取最小值； 当时，取最大值. 故的取值范围为. 二、选择题：本题共有4题，每小题4分，共16分每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号填入下面的表格中，选对得4分，不选、错选或者选出的代号超过一个，一律得零分． 13. 设m、n为平面M外的两条直线，且，则是的（ ） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分又非必要条件． 【答案】A 【解析】 【分析】利用线面平行的判定性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，则存在过直线的平面，使得平面与平面相交，令交线为，则， 若，则，而平面，因此； 反之，当时，与可能相交，可能平行，也可能是异面直线， 所以是的充分非必要条件. 故选：A 14. 已知，点是平面外一点，点是点在平面上的射影，若到的三个顶点的距离相等，则是的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 【答案】C 【解析】 【详解】因为是在平面上的射影，所以平面 . 又 平面， 所以，，. 在，， 中， 由勾股定理得，，. 因为，所以 ，即. 于是点到三个顶点的距离相等， 即为三边垂直平分线的交点，即外心. 15. 如图，正方体，，E为上任一点，有四个结论： ①平面平面，②平面平面， ③，④平面平面． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】逐个分析四个结论： ①平面平面 在正方体中，因为，平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面，所以平面. 平面，平面，，所以平面平面，正确. ②平面平面 在正方体中，因为，，平面，， 所以平面. 因为平面，所以平面平面，正确. ③ 在正方体中，，，平面，， 所以平面，平面，所以，正确. ④平面平面 在正方体中，因为，，平面，， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 是平面和平面的交线，，平面， 所以平面， 平面，所以平面平面，正确. 综上，①②③④4个结论均正确. 16. 一个正方体的六个面上都标有数字，其表面展开图如图所示．现有三个完全相同的正方体，若以叠放的方式把它们放在桌上形成一个棱柱，则看得见的个数之和的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得放置在下面的两个正方体应使得1，2，32，16这4个数被看到，而放置在最上面的那个正方体应使得1看不到，计算即可求解. 【详解】正方体三组相对的面上的两个数字之和分别是33，18，和12， 为使得叠放后所有看得见的数之和最大， 放置在下面的两个正方体应使得1，2，32，16这4个数被看到， 而放置在最上面的那个正方体应使得1看不到， 于是，所求最大值为. 三、解答题（本大题共5题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在空间四边形中，，分别是棱，的中点，对角线，，求异面直线与所成角的大小． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，根据已知及异面直线所成角的定义，应用余弦定理求角的大小． 【详解】如图，取中点，连接，又分别是的中点， 所以，则异面直线与所成角为或其补角，    由， 则， 又异面直线所成角范围为，则异面直线与所成角为． 18. 在四棱柱中，，且，，分别为，的中点． （1）求证：直线平面； （2）求证：平面平面． 【答案】（1） 以 ，， 为空间一组基底. 由 且 ，得 因为为的中点，所以， 又为 的中点，所以 于是， 而， 所以，即， 又平面，平面， 由线面平行的判定定理知 平面 ； （2） 因为， 又， 所以，即， 又平面，平面，故平面， 因为，且 ，平面， 由面面平行的判定定理知平面平面. 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在长方体中，，，为的中点． （1）求直线与平面所成的角； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）直线与平面所成的角为 （2）点到平面的距离为 【解析】 【分析】（1）建立以为原点的空间直角坐标系，求出的坐标，易得平面的一个法向量，再由线面角的公式计算即可； （2）求出平面的法向量，依据点到平面的距离的向量表示进行计算即可． 【小问1详解】 由题可知，建立以为原点的空间直角坐标系， 则，，，， 易知平面的一个法向量，， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角为； 【小问2详解】 ， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，， 设点到平面的距离为， ， 则点到平面的距离为． 20. 在四面体中，，平面． （1）四个表面都是的四面体称为“鳖臑”，判断四面体是否为“鳖臑”？ （2）若于点，于点，求证：平面． （3）在（2）的条件下，若，，求面积的最大值，并指出相应的值． 【答案】（1）四面体是“鳖臑” （2）由（1）知，平面，且平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 平面，所以， 又，，平面，所以平面． （3），此时. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证平面，结合鳖臑的定义，即可判断；（2）由线面垂直的判定定理可得平面，从而可证，再由线面垂直的判定定理即可证明；（3）由三角形的面积公式可得，然后分别表示出，，结合二倍角公式化简以及二次函数的最值，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为平面，且平面， 则， 所以是直角三角形， 又，所以是直角三角形， 且，又，平面，所以平面， 又平面，所以，则是直角三角形， 即四个面都是直角三角形，是“鳖臑”. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，且，所以是等腰直角三角形， 又，所以， 由（2）可知，平面，且平面，所以， 则是直角三角形，， 则， 又平面，平面，所以， 在中，，而， 所以， 在中，，，， 在中，， 由可得，所以， 又，所以，即， 在中，由等面积法可得， 所以， 令， 令，因为，所以，则， 化简可得， 其对称轴为，即，所以， 此时，即，即. 21. 如图，以的边为直径在三角形外作半圆，半圆恰好位于平面内，，半圆的面积为，是边长为2的等边三角形，平面平面，为半圆弧上一点（不含端点）． （1）判断的形状； （2）若点为线段上一点．求证：平面平面； （3）求二面角的大小． 【答案】（1）是直角三角形. （2）由（1）可知，， 又平面平面，且平面平面， 平面，所以平面, 由平面，可得平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可判断； （2）由面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理即可证明； （3）建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 半圆的面积为，则半径，直径， 又是边长为2的等边三角形，则， 且，则， 所以，则是直角三角形. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，过作平面的垂线为轴， 建立空间直角坐标系， 则， 等边在平面内，故， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以， ， 设平面的法向量为， 则，取，则，所以， 显然，二面角为锐二面角，设二面角的平面角为， 则， 所以二面角的大小为. 四、附加题（本题满分5分） 22. 如图，正方体的棱长为1，动点在其对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于，，设，，则关于的函数关系式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】从运动变化观点分析所在的截面位置，进而计算可求得关于的函数关系式. 【详解】设棱的中点分别为，由于动直线始终与体对角线垂直且相交（共面）， 点在从点到点运动的过程中，必然经过中点， 这时为，因此扫过的区域为截面， 在中，， 故，即，所以. 当时，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $