精品解析：河南新乡市辉县市城北初级中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级数学 第I卷（选择题） 一、单选题（每道小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 且 5. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 0 7. 若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ） A. B. C. D. 9. 2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 1 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 方程的解是 _____． 12. 若，则__________． 13. 若，分别是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为___． 14. 将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 15. 如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点， ，动点E从点A出发，以的速度向点D运动，直到点D为止；动点F同时从点C出发，以的速度向点B运动，与点E同时结束运动．当点E和点F之间的距离是时，运动时间为__________s． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）． （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 19. 如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，且， （1）如果，求的长； （2）如果，求的长． 20. “欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． （1）小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； （2）已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由．（人的高度忽略不计） 21. 根据素材完成任务． （1）【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件，同年6月份生产144个．求4月份到6月份生产数量的平均增长率； （2）【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月销售量减少10个．批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个多少元？ 22. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； （3）能否围成面积为的花圃？请说明理由． 23. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）是“差根方程”的是__________．（填写序号） ①；② （2）已知关于的方程是“差根方程”，求的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 第I卷（选择题） 一、单选题（每道小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：，不是最简二次根式，不符合题意； 选项B：是最简二次根式，符合题意． 选项C：，不是最简二次根式，不符合题意； 选项D：，不是最简二次根式，不符合题意． 2. 下列二次根式中能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：化简各选项二次根式：，，此时被开方数与相同，是最简二次根式，， ∴只有可与合并． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则和性质逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A ∵与不是同类二次根式，无法直接合并 ∴A错误. 对于选项B ∵，计算符合二次根式的乘方法则 ∴B正确. 对于选项C ∵ ∴C错误. 对于选项D ∵ ∴D错误. 综上，正确答案为：B． 4. 在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先求一元二次方程的判别式，由判别式与0的大小关系来判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 方程没有实数根． 6. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程，二次项系数不为0，未知数的最高次数是2． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 由得， 即或， 由得， ∴． 7. 若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将拆分，可得，然后将代入求解即可． 【详解】解：， 将，代入得：． 8. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 9. 2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 10. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 方程的解是 _____． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：原方程移项得， 提取公因式得，即， ∴或， 解得，. 12. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负的性质，先求出的取值，再代入计算的值，最后计算即可． 【详解】解：∵二次根式有意义要求被开方数为非负数， ∴ ，且， 即且， ∴， 把代入，得， 所以． 13. 若，分别是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系:，， 求出两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系，可得：，． ∴． 14. 将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据定义可得 ，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得或． 15. 如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点， ，动点E从点A出发，以的速度向点D运动，直到点D为止；动点F同时从点C出发，以的速度向点B运动，与点E同时结束运动．当点E和点F之间的距离是时，运动时间为__________s． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，一元二次方程的应用，过点作于点，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 过点作于点， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴或， 由勾股定理，得， 解得或； 故答案为：或． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先化简各二次根式，再按运算法则计算结果； （2）移项变形后用因式分解法求解一元二次方程． 【小问1详解】 解： 原式 ； 【小问2详解】 解： 移项得 因式分解得 解得，． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式 【解析】 【分析】根据分式四则混合运算的顺序先算括号内的减法，再算括号外的除法依次对原分式进行化简，再代入的值计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1）证明：对于关于x的一元二次方程， ∵， ∴ ， ∵， ，即恒成立， 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别公式可得，结合，即可证明结论． （2）由根与系数的关系，可得，，将整理为，然后代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，可得，， ∵， ∴， ∴， 解得． 19. 如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，且， （1）如果，求的长； （2）如果，求的长． 【答案】（1）6； （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识，准确识图是解题的关键． 对于（1），由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； 对于（2），由平行线分线段成比例定理得到，由得到，即，即可得到的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 20. “欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． （1）小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； （2）已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由．（人的高度忽略不计） 【答案】（1）的值为； （2） 解：能看到，理由： ，， ， 所以天气晴朗时站在山之巅能看到大海． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，算术平方根的应用． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， 所以此时的值为． 【小问2详解】 略 21. 根据素材完成任务． （1）【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件，同年6月份生产144个．求4月份到6月份生产数量的平均增长率； （2）【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月销售量减少10个．批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个多少元？ 【答案】（1）平均增长率为 （2）实际售价应定为每个元 【解析】 【分析】（1）设该工厂4月份到6月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设涨价元，则售价为元，销量为个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【小问1详解】 解：设平均增长率为 ． 解得或（不合实际，舍去）， 答：4月份到6月份生产数量的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设涨价元，则售价为元，销量为个， 每个利润为元， 由题意得， 整理得， 解得或， 尽可能让消费者得到实惠， ， ， 答：实际售价应定为每个元． 22. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； （3）能否围成面积为的花圃？请说明理由． 【答案】（1）米 （2）花圃的长为9米，宽为5米 （3）解：不能围成面积为的花圃，理由如下： 当花圃的面积刚好为时， ， 化简得：， ∴， ∴该方程没有实数解， ∴不能围成面积为的花圃． 【解析】 【分析】（1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【小问1详解】 解：∵宽米， ∴长（米）； 【小问2详解】 解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， 当时，长，不合题意，舍去； 当时，长，符合题意； 答：花圃的长为9米，宽为5米． 【小问3详解】 略 23. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）是“差根方程”的是__________．（填写序号） ①；② （2）已知关于的方程是“差根方程”，求的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】（1）① （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算方程两根差的绝对值，判断是否符合“差根方程”的定义； （2）先求出方程的两根，根据差根方程的定义列绝对值方程，求解的值； （3）设直角边长为方程的两根，结合勾股定理与差根方程的条件，利用完全平方公式变形求两根之和与两根之积，进而得到方程． 【小问1详解】 解：①， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴ ①是“差根方程”； ②， 由根与系数的关系得，， ∵ ， ∴， ∴ ②不是“差根方程”． 故填①． 【小问2详解】 方程， 因式分解得， 解得，， ∵ 方程是“差根方程”， ∴，即， ∴， 解得． 【小问3详解】 设、（，），二者为该“差根方程”的两个实数根， ∵是直角三角形，斜边的长为， ∴． ∵ 方程是“差根方程”， ∴， ∴，即 ． 将代入，得， 解得． ∵，且 ， ∴ ． ∵ 方程的二次项系数为1， ∴ 该方程为，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $