安徽省六安第一中学2026-2027学年高二上学期周测数学试卷((五)

六安一中2026年秋学期高二年级定时作业 数学试卷(五) 时间:90分钟 满分:100分 一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1.已知圆C:x2+y2-2y-4=0与圆C,:x2+y2-4x+2y=0,则两圆公共弦长为() A.√2 B.5 C.3 D.2W5 2.已知圆C:(x+3)2+y2=64,A(3,0),P是圆C上任意一点,线段AP的垂直平分线1和半径CP 相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹方程为() B. 6436 =1 c号1 D.+=1 6428 3.过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,则 PAB外接圆的方程是() A.(x-2)}2+(y-1)2=5 B.(x-12+(y-2=5 C.(x-2)2+(y-1)2=10 D.(x-12+(y-1)2=3 4.已知两圆C:x2+y2-2ar+4y+a2-5=0和C2:x2+y2+2x-2y+a2-3=0有2条公切线,则a的 取值范围为() A.(-o,-2u(-l,+o)B.(-0,-5)U(2,+∞)C.(-5,-2U(-l,2)D.(-5,2) 5.在平面直角坐标系x0y中,已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=r2(>0),点A(-2,0),若圆C上存在点 M,满足M4+MO=4,则r的取值范围是() A.(0,22+1] B.((0,22-1] C.[22-1,22+1]D.[22+l,+∞) 6.已知圆M:(x+cos0)+(y-sin0)-1,下列命题正确的是() A.对于任意的0∈R,点(W3,1)在圆M外 B.对于任意的O∈R,总存在k∈R使直线y=c与圆M恒相切 C.对于任意的k∈R,总存在O∈R使直线y=c与圆M恒相切 D.若0=2,已知点P(x,)是直线2x+y+4=0上一动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B是 切点,则四边形PAMB的面积的最小值为√2 二、多项选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分,在每小题给出的选项中,有多 项符合题目要求,全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分, 7.下列结论正确的是() A.若直线1:+y=1与圆0:2+y=相交,则点(a,b)在圆0的外部 B.直线cx-y-3k+1=0被圆(x-2)+(y-2)2=4所截得的最短弦长为2√2 C.若圆x2+y2=r2上有4个不同的点到直线x-y-2=0的距离为1,则有r>√2-1 D.若过点P1,V5)作圆0:x2+y2=r2的切线只有一条,则切线方程为x+√5y-4=0 8.下列结论正确的是() A.已知直线1经过4化,2),B(Q,3)两点,则直线1的倾斜角为牙 B.已知点P(x,y)在圆C:(x-)+(y-1)2=2上,则x+y的最大值是4 53 C.直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+√4-x2有两个不同的交点,则实数k的取值范围是 12'4 D.已知圆C:x2+y2=1,点P为直线x+y-2=0上一动点,过点P向圆C引两条切线PA,PB, 切点为A,B,则直线1B经过定点22) 11 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 9.已知两圆M:x2+y2=16,圆N:x2+y2-4x+2y=0,过两圆交点,且圆心在直线2x+y-1=0上 的圆的一般方程为 10.已知圆M:(x-1)2+(y+3)2=8与圆N:(x+3)2+y-)2=8,则圆M和圆N的一条公切线的方 程为 11.已知圆G:(x-2)2+(y-3)=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C,C2上的 动点,P是x轴上的动点,则PM+PW的最小值为 四、解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤! 12.(本小题满分13分) (1)已知曲线方程,+产 =1,k∈R,若方程表示焦距为2的椭圆,求k的值. k+5'3-k (2)已知一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切,求该动圆圆心的 轨迹方程. 13.(本小题满分15分) 已知圆x2+y2=8内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为a的弦. (1)当a=135时,求AB的长; (2)求弦AB中点M的轨迹方程. (3)过点Q(1,O)的直线与圆x2+y2=8交于E,F两点,问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x 轴平分∠EWF?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由 2 14.(本小题满分15分) 如图,圆M:(x-2)2+y2=1,点P(-l,)为直线:x=-1上一动点,过点P引圆M的两条 切线,切点分别为A、B (1)若1=1,求直线AB的方程; (2)求AB的最小值; (3)若两条切线PA,PB与y轴分别交于S、T两点,求ST的最小值. 0 M B 六安一中2026年秋学期高二年级定时作业 数学试卷 (五) 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A C ABD BD 1.D【详解】圆C的标准方程为x2+(y-1)2=5,圆心为C(0,),半径为5=V5, 圆C2的标准方程为(x-2)}+y+1)2=5,圆心为C2(2,-1),半径为2=V5,圆心距为 CC=V(0-2)}+(1+)}=22,所以-<CC<片+2,所以两圆相交,将两圆方程作差得 4x-4y-4=0,即x-y-1=0,即两圆相交弦所在直线的方程为x-y-1=0 圆心G到直线-y-1=0的距离为7,所以两图的相交弦长为2-4=25=2=25. 0-1-1 2.【详解】圆C:(x+3)2+y2=64的圆心坐标为C(-3,0),半径为8 依题意知:l2C+|2A=l2C+2P=CP=8>CA=6,.点2的轨迹是以A,C为焦 点的椭圆,且a=4,c=3,6=d-c2=7,“所求点0的轨迹方程为6+之1 3.A【详解】圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),:PA、PB是圆的切线,.OA⊥PA, OB⊥PB,即∠OAP=∠OBP=90 ,∴:O、A、B、P四点共圆, PAB的外接圆即 为四边形OAPB的外接圆,该外接圆的直径为线段OP,:P(4,2),圆心为O(0,0),∴OP的中点坐 标为0生4,0生2)即6),￥径r=0P件分-0旷+Q-0吓-分西=5,外接圆方程为 (x-2)2+0y-1)2=5 4.C【详解】对G:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0,可化为(x-a)2+(y+2)2=9,圆心C(a,-2),半径1=3 对C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0,可化为(x+1)2+(0y-a)2=4,圆心C2(-1,a),半径2=2 圆心距的平方d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5,因为两圆有2条公切线,所以|片-2l<d<片+2得 1<d<5,平方得1<d<25;左不等式:1<22+6a+5 (a+1(a+2)>0,解得a<-2或a>- 右不等式:202+63+5<252+32-10<0一(0+5a-2)<0,解得-5<a<2;综上 a∈(-5,-2)(-1,2); 5.C【详解】设M(x,y),则MA=Vx+2)}2+y2,MO=Vx2+y2.因为MA+M0P=4,所以 (x+2+y+(2+列=4,即(x++y=1所以点M的轨迹是以N(-0)为图心,以1为 半径的圆N.又因为点M在圆C上,所以圆C与圆N有公共点,所以-≤CN≤r+l即 r-1≤2W2≤r+1,解得2√2-1≤r≤22+1. 6.c详剧对于取0-则圈w-+-1,因为-写-1, 所以点(√3,)在圆M上,故A错误;对于B:由圆M:(x+cos0)2+(y-sin0)2=1,则圆心为 M( cos8,sin0),半径为1,所以圆心M到直线y=:的距离为d-kcos9-sin_kcos+sing Vk2+1 Vk2+1 当sin0=0时,cos0= h,此时d=kcos0+sinA_k个 <1,即此时不存在k∈R使直线与圆相切, Vk2+1 Vk2+1 vi+h7,sin0= k +,此时d= 1 k cos0+sin 故B错误;对于C:对于任意的k∈R,令cos0= 1 √k2+1 即对于任意的k∈R,总存在0ER使直线与圆相切,故C正确;对于D:当0=兀时,圆 2 M:x2+(y-1)2=1,则圆心为M(0,1),半径为1,圆心M(0,1)到直线2x+y+4=0的距离为 d-若-5,则PM的最小值为5,所以四边形PAMB的面积为 S=2Sw=2 MM PA=P=VPMf-1≥2,故D错误 70样1对于A线a+-0与圆0+r-交,所以分,即 F+>2>行,因此点(a, )在圆0的外部,故A正确:对于B,直线方程c-y-3k+1=0变形得, k(x-3)-y+1=0,可知该直线必过定点(3,),因此圆心(2,2)到直线x-y-3k+1=0的距离的最小 值为(3-2}+(1-2)}=V2,此时该直线被圆所截的弦最短,弦长为222-(V2=22,故B正确; 对于C,到直线x-y-2=0距离为1且平行的直线分别为4:x-y-2-V2=0和h2:x-y-2+V2=0, 国心0,o)到直线(的距离为4-2-日_万+1,到弘的距离为4-2+ -2-1,该圆要与直 √2 2 线距离为1的点有四个,等价于与(和l2分别有两个交点,所以半径r需满足r>4,r>d,即r>√2+1, 故C错误;对于D,过点P作圆的切线只有一条,则点P在圆上,代入可得圆0:x2+y2=2,过点P 的半径所在直线的斜率为3,敌切线的斜率为-《,则切线方程为y-万=-3x-,即 x+V3y-4=0,故D正确. 8.BD【详解】选项A中,因为直线I过A(,2)、B(0,3),则直线1的斜率k 0-斤=-1,可知直线1的 3-2 倾斜角为经,不是子,A错误,选项B中,令1=x+y,即y=-x+,则1的几何意义是斜率为-1的 直线的纵截距,因为园C的园心为),半径反,则s、万,解得0≤1≤4,所以x+y的最大 值为4,B正确,选项C中,曲线y=1+√4-x整理得x2+(0y-1)2=4y≥),是圆心为(0,)、半径2 的上半圆;直线y=k(x-2)+4恒过定点P(2,4,当直线与半圆相切时,则 8然-2,解得太-高,当直线过点4(-2(半图左端点)时.则 V1+k2 、k二22)若直线与半圆有两个不同交点,则:的取值范围是 3 12 3 错误,选项D中,设动点P的坐标为(L,2-),已知圆C:x2+y2=1,切点为A(x,y)、B(x2,y2), 圆在A点的切线PA满足:xx+y=1,因为P在PA上,则x4+y(2-)=1,同理可得x,1+y2(2-)=1, 因此A、B两点均满足直线方程x+(2-)y=1,即为直线AB的方程,整理得1(x-)+2y-1=0,所 以直线恒满足10解得定点坐标为 11 22 即直线AB经过该定点 11 2'2 因此D正确, 9.+- 3s0 【详解】由圆M:x2+y2=16和圆N:x2+y2-4x+2y=0,设所求圆的方程为 x2+y2-16+2(x2+y2-4x+2y)=0,即(1+2)x2+(1+2)y2-42x+2y-16=0,可得所求圆的圆心为 径产分,因为圆心设产在直线2+y-1=0上,可得经产1=0,解得 +元?1+元 1+元1+元 2 所以所求圆的方程为”+广-16+(+2-4+2)=0,所以所求圆的方程为亡+y-4x+y-2-0. 3 3t+ 3 10.x-y=0;x+y-2=0;x+y+6=0(三个任意一个都算正确) 【详解】由题可知:M(1,-3),N(-3,1),所以MN=V1+3)}+(-3-1)2=4V2 两个圆的半径和为2√2+2√2=4√2,所以两个圆外切,所以有三条公切线,设公切线为y=:+b,由圆心 +3-上3-25解得6二0惑62或66:所以切线方 「k=1「k=-1k=-1 到切线的距离等于半径得 V1+k2V1+k2 程为y=x,y=-x+2或y=-x-6 11.52-4 【详解】作出图形,如图所示:圆C关于x轴的对称圆的圆心坐标为A(2,-3),半径为1,圆C2的圆 心坐标为(3,4,半径为3,由图象可知当P,C2,A三点共线时,PA+PC,取得最小值, 同时PM+PW取得最小值,所以PM+PN的最小值为V(3-2)2+(4+3)2-4=52-4, U 1 120=是:②需岁1 【详解】(1)由题意得k+5>0且3-k>0,解得-5<k<3.①当k+5>3-k,即-1<k<3时, 焦点在x轴上,a2=k+5,b2=3-k,c2=a2-b2=(k+5)-(3-k)=2k+2.又焦距2c=2, 得c=l,即2k+2=1,解得k=,符合-1<k<3.@当3-k>k+5,即-5<k<-1时,焦点在y轴上, 心-3-k,6=+5,2=2-6-6-刈-(k+5到-2k-2由c=1得-2k-21,解得k=-3,符合 -5<k<-1当k=-1时,方程为父+少-,表示圆,不合题意 综上,k=或k=-多 2 (2)圆A:x2+y2+6x+5=0,配方得(x+3)2+y2=4,所以圆心A(-3,0),半径片=2, 圆B:x2+y2-6x-91=0,配方得(x-3)2+y2=100,所以圆心B(3,0),半径2=10, YA 设动圆圆心为P(x,y),半径为”,动圆与圆A外切,则PA=r+2,动圆与圆B内切,则 |PB=10-”,两式相加,得|PA+PB=12,又AB=6<12,所以点P的轨迹是以A(-3,0), 3,0)为焦点,长轴长为12的椭圆,设椭图方程为为号+片=1,则由2a=l2得 =6半 焦距为3,所以2=36-9=27,故动圆圆心的轨迹方程为 =1. 36 27 13.而a(+0-旷-⑧溶在,Ng0y 【详解】(1)a=135 ,k=tanl35 =-l,4m:y-2=-(x+l),即x+y-1=0, 圆心0到直线矩离-9方h网=27-2,6-2厚=西 (2)设弦AB的中点为M(x,y),且O为圆心,OM1AB, 又:P(-,2)在弦AB上,.0M1PM OM=(xy),PM=(x+l,y-2), 0M.PM=x(x+1)+y(y-2)=0,化简:x2+x+y2-2y=0,即: P%-l2 (++0-= (3)假设在x轴正半轴上存在定点N(n,0)(n>0),使得x轴平分∠ENF 设过点Q(1,0)的直线方程为x=y+1,联立直线与圆的方程: x=my+l x2+y2=8 消去x得:(m2+y2+2my-7=0,设E(x,y),F(:,y2),则片+2= -2m -7 m+4=m2+, :x轴平分∠ENF,km+kw=0,即上+么=0,将x=m+l,:=m,+1代入上式 x-n x,-n 得:片+为=0,整理得2my,+-n0y+)=0, my+l-n my+l-n 2加子+0-小-0化简得740-小-0,解得A=8,存在 定点N(8,O),使得x轴平分∠ENF. 14.((1)3x-y-5=0(2)4y53)5 3 2 【详解】(1)已知圆心M(2,0),设切点A(x,y),取切线上任意异于点A的一点2(x,y),则M1A0, 故M.A@=(x-2)(x-x)+(y-y)=0,则(x-2儿(x-2)-(x-2]+(y-y)=0,展开整理得, (-2)(x-2)+yy=(-2)2+y2=1,故过点A的切线方程为(x-2(x-2)+yy=1, 点P(-1,1)在切线上,故(-3)(x-2)+1=1,整理可得3x-%-5=0, 同理,切点B也满足此方程,故切点弦AB的方程为3x-y-5=0 (2)结合(1)结论,对任意参数1,切点弦AB的方程为:(-1-2)(x-2)+1y=1 3x-y-5=0, 圆心M(2,0)到直线AB的距离d= 3 2-0-51 32+2 P+9行,当且仅当1=0时取最大值, 弦长=2-22-周-4g,故4的层小值为 3 (3)设过点P(-1,)的切线斜率为k,则切线方程为y-1=k(x+I),即kc-y+k+1=0, 由相切关系得 2k-0+k+4=1,即3k+小=V2+1,整理得8k2+6k+P-1=0,两条直线对应的斜率 k2+1 k,k2,则 2-1 ,切线与y轴交点纵坐标为y=k+1,即S(0,k+),T(0,k2+),则 8 rP-P+822, k-=飞+-4,=624 22 当且仅当1=0时等号成立,故ST的