安徽省六安第一中学2026-2027学年高二上学期周末检测数学试卷（一）

六安一中2026年秋学期高二年级周末检测 数学试卷（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.已知点M在z轴上，且点M到点A(1,0,2)与到点B(1,-3,1)的距离相等，则点M的坐标为() A.(0,0,3) B.(0,0,-3) C.(0,0,-2) D.(0,0,2) 2.已知直线1的一个方向向量为m=(2,1,-4),平面a的一个法向量为n=(3,2,）,若1∥a,则1=() A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知向量p在基底a+6,6+c,c+a}下的坐标为(01,2)，则p在基底{a,ic斗下的坐标为() A.(0,1,2) B.（2,1,3) C.(1,3,2) D.(3,2,1) 4.已知向量ā=(1，l,0),6=(-1,0,1),且ka+6与2ā-6互相垂直，则实数k=（) A.1 B.子 C. D. 5.已知空间中三点A(-1,0,0),B(0,1,-1),C(-1,-1,2),则点C到直线AB的距离为（) A.6 B.3 C.√2 3 2 D.5 0 6.如图正四棱柱ABCD-AB,CD,中，AB=BC=1,AA=2,动点P,2分别在线段 B A CD,AC上，则线段PQ长度的最小值是() A.3 B号 C.1 D 7.已知在正方体MBCD-4BG0中，网C=4,点P满足丽-号40+号D丽+号4C,则三棱 锥D-A,BP的体积为() A. B.9 c.g D. 3 8.在三棱锥A-BCD中，BD=AC=√3，BC=AD=√O,AB=CD=V5,AB中点为M,点N 为棱CD上的动点，当AN.M取最小值时，线段DN的长度为() A.品5 c品5 D.5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分， 9.给出下列命题，其中错误的是（) A若空间向量后=3L,3)后=(L名-少，且历∥，则实数A=号 B.若ā∥b,则存在唯一的实数，使得a=b C.若空间向量ā=(1,0，)，b=(2,-1,2),则向量6在向量ā上的投影向量是(3,0,3) D.点M(3,-2,1)关于平面yOz对称的点的坐标是(-3，-2，-1) I0.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=2,PA⊥平面ABCD,E 为PB的中点，则() A.死-号而-而+号 B.异面直线DE与PC所成角的余弦值为 3 C.DE=√5 B D.点E到平面PCD的距离为Y5 11.已知正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为2，P为平面ADDA内一点（含边界），E为B,C中点.下 列论述正确的是（) A.若P=3AD,则EP1BC B.若=1D+)A(∈[0，)，则有且仅有一个点P,使得B,D⊥平面BAP C.若PD=PE,则点P轨迹的长度是3N5 D.若AP=AD(1∈[O,]),则平面B,CP与底面ABCD所成角正弦值的取值范围为 2’3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知a=（-m,1,3)、b=(2,n,1)分别是平面a、B的法向量，且a/1B,则mn= 13.在空间直角坐标系中，己知A(-1,0,1),B(0,0,3),C(-1,1,2),若点P(1,1,2)在平面ABC内， 则z= 14.卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城 市地标卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为，高为子a,若该四棱锥的 五个顶点都在同一个球面上，则球心到该四棱锥侧面的距离为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分13分) 如图，在矩形ABCD和ABEF中，AB=4,AD=AF=3,∠DMF=,DM=ADB,N=A征，0<1<1， 记AB=a,AD=b,AF=c, N (1)将M用a,b,c表示出来； (2)当1等于多少时，线段MN的长度取得最小值？ M 16.（本小题满分15分) 如图，ABCD为圆柱的轴截面，P为底面半圆周上一点，E为PC中点，BE⊥AC (1)证明：BC=BP (2)若PA=2PB,求平面PAD与平面ABE所成夹角的余弦值. 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱锥A-BCD中，AC=AD=BC=BD=2√3，AB=CD=4. (1)证明：AB⊥CD; (2)在棱4B上是否存在点F(不与端点重合)，使得直线AF与平面FCD所成角的正弦值为25 若存在，求出点F的位置，若不存在，请说明理由， 2 18.（本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,点E, F分别是棱PB,BC的中点，点M为棱AD的中点. (1)求证：平面PMC∥平面AEF; (2)求平面PMC与平面AEF的距离； (3)在截面AEF内是否存在点G,使DG⊥平面AEF,并说明理由. E 19.（本小题满分17分) 在平面四边形ABCD中，AB=AC=CD=1,∠ADC=30°，∠DAB=120°，将△ACD沿AC 翻折至△ACP,Q为AP上的动点（不包含端点）. (1)设PC⊥AB,三棱锥Q-ABC的各个顶点都在球O的球面上. (i)证明：平面PAC⊥平面ABC; (i)若球O的半径为5，求P吧的长度： (2)若AQ=QP,求二面角A-CQ-B的余弦值的最小值. 2 六安一中2026年秋学期高二年级周末检测 数学试卷（一）参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B B D C B A g BCD ABD ACD 1.B【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为(0,0，a),因为点M到点A(1,0,2)与到点B(1,-3,1) 的距离相等，所以√0-1)+(0-0)+(a-2}=√0-1)+(0+3)+(a-1),两边同时平方，解得a=-3, 所以点M的坐标为(0,0，-3). 2.B【详解】由1Wa即可得m-n=3x2+2x1-41=0,解得t=2:故选：B 3.B【详解】.因为向量p在基底a+6.6+c.c+a)下的坐标为(o.12),可得p=0x(G+)+1x6+c+2x×+a)=2a+b+3c, 所以向量p在基底a,6,c下的坐标为(2,1,3).故选：B. 4.D【详解】已知ā=(1,1,0)，b=(-1,0,1),则ka+b=k1,1,0)+(-1,0,1)=(k-1,k,1), 2ā-6=21,10)-（-1,0,1)=3,2，-1)：由ka+b与2a-6互相垂直，可得(ka+b(2a-b)=0，代入 坠标计算得：3-)+2k+1x=0整理得5水-4=0，解得k=号 5.C【详解】因为A(-1,0,0),B(0,1,-),C(-1,-1,2,所以AC=(0,-1,2),AB=,l,-1),则点C到直线 s的距离为，可哥卡 =五.故选：C 6.B【详解】由题意可知，线段PQ长度的最小值为异面直线CD、AC的公垂线的 长度如下图所示，以点D为坐标原点，DA、DC、DD所在直线分别为x、y、2 轴建立空间直角坐标系，则点A(1,0,0)、C(0,1,0)、C(0,1,2)、D(0,0,0),所以， AC=（-1,l,0),DC=(0,1,2),DA=(1,0,0),设向量n=(x,y,z)满足n⊥AC, [i.AC=-x+y=0 x=y n⊥DC,由题意可得 n-DC=y+22=0解得 y,取y=2,则x=2,z=-1 2=- 2 可得-22-小，因此，风骨号故选：B 7.A【详解】以D为原点，以DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设正方体的棱长为a,可得4(a,0,0),A(a,0,a),G(0,a,a),则A4=(0,0,a),AC=(-a,a,a),可得 AA·AC=a2=4,所以a=2,又由A(2,0,0),A(2,0,2),C,(0,2,2),B(2,2,0),D(0,0,0),D(0,0,2),， 设P(x,y,z),可得AP=(x-2,y,z),4D=(-2,0,0),DB=(2,2,0),AC=(-2,2,2),因为 亚-写40+写兮08+号G,可得-2y--200+号20+号-222，解得x-号y=2:-号 即P2,孕，又由向量DA=(20,2,DB=(2,20),设平面ABD的法向量为n=x,,,则 7-DA=2x+2z=0 i-DB=2x+2y=0 取x=-1,可得y=lz=1,所以n=(,,因为DF=(兮2学，所以点P到4BD 的距离为d= DP 令&又因为边è4BD的长为2，所以 宁×2=25，所以三棱锥D-ABP的体积为 -d-×26即三楼D-即的体有为检选：A 3 359 [a2+b2=13 8.Bl详解】如图所示，将三棱锥A-BCD补全为长方体，设长方体的长宽高分别为a,b,c,则有{b+c2=10, a2+c2=5 a=2 解得b=3，如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，则 c=1 4.0.c02,86,20,D0叭，M3,时 设DN=DC,∈[0,1]，则N(0,22,), 故丽=(-3,2-)，-（-3,22-l-,所以 不瓜=942（以---引-子2号则当=易时，及瓜取得最小值， 此时DN=乙DC=乙5.故选：B. 201 20 9,.BCD【详解】对于A若示∥，则子-克，所以A=弓所以A说法正确：对于B,当6-0时， ā∥b恒成立，而实数2不唯一或不存在，所以B说法错误；对于C,向量6在向量ā上的投影向量是 、白骨21202，所义C说法错误：对于D,点M3-2关于平面O:对称的点的坐标 是(-3，-2,1)，所以D说法错误故选：BCD 10.ABD【详解】对于A, E=D丽+证=西-而+号8丽=丽-D+亚-码B-D+A正 确：对于B,以A为坐标原点，AB,AD,AP正方向为x,,轴正方向可建立如图空 间直角坐标系，则D(0,2,0),E(1,0,1),P(0,0,2),C(2,2,0),D=(-2), 元这，医心阀点号即异面直线E与C所成角的会 弦值为巨，B正确：对于C,由B知：D死=(L,-2,),D=+2+P=6, 3 即DE=√6，C错误；对于D,由B知：DE=(1,-2,),PC=(2,2,-2),CD=(-2,0,0),设平面PCD 的法向量万=（x,y,2),则 C员=2x+2-2z=0,令y=1,解得：x=0,:=1,=(Q,1,设点 CD.n=-2x=0 E到平面PCD的距离为d,则d= DEi1= 园22 ,D正确故选：ABD. 11.ACD【详解】以点A为坐标原点，AB,AD,AA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所 3 示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),A(0,0,2) B(2,02),C(2,2,2),D(0,2,2),E(2,10),对于A,丽=4而=02-2)-0,2)， 则m=厨+D=(2-12)+02副引25》又c=(0,2-2),所以 EP.BC=1-1=0,故EP⊥BC,故A正确： B 对于B,P=1D+2丽=(0,2x,0)+(0,0-)=(0,2,-,其中1∈[0，则，则 Bp=BA+AP=(-2,0,0)+(0,25-)(-2,25-),AB=(2,0,2),BD=(-2,2,2),因为BD1平面BAP, A,BC平面BAP,BPc平面BA,P，,所以BD⊥AB,BD⊥BP,则BD·AB=-4+0+4=0, BD-驴=4+4-2=4+2=0，解得1=-方[0，，因此不存在点P,使得8DL平面8AP,故B错 误： 对于C,以A1为原点建立空间直角坐标系：A1(0,0,0),B1(2,0,0),C1(2,2,0),D1(0,2,0),A(0,0,2),B(2,0,2), C(2,2,2),D(0,2,2)E是B1C中点，得E(2,1,0).P在平面ADD1A1内，平面ADD1A1上点横坐标x=0,设 P(0y,z),其中0sy≤2,0s≤2.由条件PD=PE,两边平方： PD2=(0-0)2+0y-2)2+(2-2)2PE2=(0-2)2+0-1)2+(2-0)26y2)2+z-2)2=22+0y-1)2+22展开化简： y2-4y+4+z2-4z+4=4+y2-2y+1+z2-4y-4z+8=-2y+52y+42=3P在正方形ADD141(x=0,0Sy≤2,0s≤2)内， 求直线2y+4红-3与正方形边界交点：令0，解得z云子得交点M(0,0引，令0，解得)y多得交点 N0小两点即为轨迹线段的两个点，计算线段长度：WN-可(0哥-品层9 对于D,若AP=AD=(0,2,-2)=(0,22,-21),其中∈[0,1]，B,C=(0,2,2), B,P=B,A+AP=（←2,0,2)+(0,22，-22上（2,2%2-2)，设平面B,CP的法向量为m=(x,y,z),则 m.B,C=2y+2z=0 m-8P=-2x+2y+(2-2=0,取y=1,可得m=(21-l,-l,且-1s2-1s1,易知平面ABcD 的二个法向量为三0,0，设平面BCP与底面ABCD所成角为9,9©0,2。所 a[停引，则am引。 os成列-a 23 故D正确！ 2=-1m m=-6 12.-2【详解】由于a11B,所以a/1b,故b=Aa→(2，n,1)=2(-m,l,3),故n=元 白{n=3 ,所以mn=-2. 1=3z 2= 故答案为：-2 13.6【详解】由题意知，AB=(1,0,2),AC=(0,1,1),AP=(2,1,z-1),而AB,AC为不共线向量， 因此根据共面向量定理，应存在唯一一对实数x,y,使得AP=xAB+yAC,则应有 (2,1,z-1)=（x,y,2x+y),解得x=2,y=1,z=6. 4.的品a【详解】如图，连接4C、BD,交于0，连接P0,则球心在P0 上（破延长线上在正四校锥中，01L08,且0A=0B=号。，0P-号0， 3 设0A=0P=,所以-（停(-号），解得r是0，以0为原点，以0%0B.0P所在直线为x%: 立空同直角坐标系，则停号小0oa-引所以网-侣0当） 2a 9》m-a 设平面PAB的法向量为i=(6%小，则你网。即 取x=反，得-气反，V2,引，所以球心0到四棱锥侧面的距离为4- +鱼吧故答案为：10 5 40 15.(1)由图知，MN=MD+DA+A=入BD-AD+入AE=AD-A店-AD+AB+A =(-1)AD+AF=(（-1)5+c. （2)由题意46H3a6=a8=0e6=3x号号，由(1 Mm(元)5(-12+2(2)6c2=9(a-l+9(-1)+92=932-3+),所以当 = 2x2时有最小值即丽有最小值：此时。5+，正=+8， -3 网=6-3+)=93-3x号故网-厚 16.(1)因为ABCD为圆柱2的轴截面，所以BC⊥平面ABP,APc平面ABP,所以BC⊥AP, 又因为AP⊥PB, BCOPB=B,BC,PBC平面PBC,所以PA⊥平面PBC,BEc平面PBC,所以 PA⊥BE,又因为BE⊥AC,AC∩PA=A,AC,PAC平面PAC,所以BE⊥平面PAC,所以BE⊥PC, 因为E为PC中点，所以三角形PBC为等腰三角形，即PB=BC: (2)如图，以P为坐标原点，以PA,PB为x,y轴建立空间直角坐标系，设PB=2, 则P(0,0,0),A(4,0,0),B(0,2,0),C0,2,2),D(4,0,2),可得E(0,1,1),设平面PAD 的法向量为m=(0,1,0),可得AB=(-4,2,0),BE=(0,-1,),设平面ABE的法向量为 AB-n=0m「-4x+2y=0 i=(x,,z),则 BE-=0' {-y+20，不妨令x=1,可得元=1,22列为平 面E的一个法向蛋，所以a司-=品5子，平面PMD与平面B5所 成锐二面角的余弦值为 17.(I)如图，取CD的中点E,连接AE,BE,因为AC=AD=BC=BD,所以AE⊥CD,BE⊥CD, 因为AE∩BE=E,AE,BEC平面ABE,所以CD⊥平面ABE,又ABC平面ABE,所以CD⊥AB. (2)存在，点F位于棱AB上靠近点A或点B的四等分点处. 【详解】（1)略 (2)存在点F,位于棱AB上靠近点A或点B的四等分点处，使直线AF与平面FCD 所成角的正弦值为25 证明如下：如图，因为AC=AD=BC=BD,易知 5 △ACD≡△BCD,则AE=BE,取AB的中点G,连接GE,易知GE⊥AB,又CD⊥平面ABE,易 知CD,GE,AB两两垂直，以G为坐标原点，分别以GE,GA所在直线为y轴，z轴，过点G作CD的平 行线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题设，易得AE=2√2，GE=2,则A(0,0,2),B(0,0,-2), 4 C(2,2,0),D(-2,2,0),则AB=(0,0,-4),DC=(4,0,0),，设AF=1AB=(0,0,-4),0<<1,则 F(0,0,2-42),故FC=(2,2,4元-2)，设平面FCD的法向量为i=（x,y,z),则 万-元=2x+2y+4-2p=0’令z=-1,则元=(0,21--，设直线AF与平面D所成角为0， iDC=4x=0 AF. 则sin0=cos(AF,= 4，—=25 同4以2以+山5，解得入=或元=，故在棱AB上存在点F，使 直线AF与平面FCD所成角的正弦值为，此时点F位于校AB上靠近点A或点B的四等分点处 18.(1)证明：.E,F分别是PB,BC的中点，.在△PBC中，EF为△PBC的中位线，∴.EF∥PC 又，EFd平面PMC,PCC平面PMC,∴.EF∥平面PMC.,'底面ABCD是正方形，M为AD中点， F为BC中点，∴.AM∥FC,且AM=FC,∴.四边形AMCF是平行四边形，∴AF∥MC. 又，AFd平面PMC,MCC平面PMC,∴.AF∥平面PMC.:AF∩EF=F,AFC平面AEF,EFC平面 AEF,根据面面平行的判定定理，可得：平面PMC∥平面AEF. (2)以A为原点，分别以AB,AD,AP方向为xy,z轴正方向建立空间直角坐标系. PA=AB=1,各点坐标：A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),E(1/2,0,1/2),F(1,1/ 2,0),M(0,1/2,0)求平面PMC与平面AEF之间的距离两平面互相平行，平面间距离等于一个平面内任 意一点到另一平面的距离取点P(00,),求点P到平面AEF的距离平面AEF法向量n=(←，，)，平 面方程：-一x+y+=0→x-y-2=0点到平面距商公式：d=高代入00，小：d =誓平面PMC与平面AEF之间距离为 6 (3)不存在，理由如下：假设截面AEF内存在点G满足条件，设AG=元AE+HAF,1≥0,420,2+4≤1， 有AE=(1,0,1),AF=(21,0),DA=(0,-2,0),所以DG=DA+AG=(1+24,H-2,2), DG·AE=0 因为DG⊥平面AEF,所以 DG.AF=0 2 22+2μ=0 所以 21+5u-2=0'解得 =3 , =3 这与假设矛盾，所以不存在点G,使DG⊥平面AEF. 19.（1)(i)在平面四边形ABCD中，AC=CD=1,∴.∠CAD=∠ADC=30, 5 ·∠BAC=∠BAD-∠ADC=120°-30°=90°，.AC⊥AB,在空间中，：PC⊥AB,AC⊥AB,PC∩AC=C, AB⊥面PAC,又·ABC面ABC,.面ABC⊥面PAC,得证. (i)3 (2)3 3 【详解】(1)(i)略 (i)由(i)可知AC⊥AB,面ABC⊥面PAC,如图，作Az⊥平面ABC, 以点A为坐标原点，以直线AB,AC,Az为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.因球O的半径为 R-号C,所以球心0为线段C的中点，有©片小，由∠P4C-30,可设点Q06a, 2 依题有00-号，则0-0--到6-o-（,即r-5=0,解得m或m-0 金，所以a=9微点c9因点》所以e-0旷传别停哥9 (2)过点P作PE⊥AC,过点E作EF /IAB,EF=AB,EF⊥AC, ∴∠PEF为二面角P-AC-B的平面角，其中设∠PEF=0,如图，建立空间直角 坐标系， 设平面ACQ的 个法向量为m=-(x,y),有元=(010)，=9=a2得血0小， AC·m=y=0 sin02=0'令x=sin8,÷m=(sin8,0-cos0).设平面CgB的一个法向 4 为-aad,者死-iu0.o西-9ma BC-n=-a+b=0 a14sino-c=0 cos0-a- 4 4 令a=√5sin0,n=(W5sina,3sin8,l-5cos0). 设二面角A-C2-B的平面角为a,.Icosal=cos<m,n> Iv3-cosol 3-cos0 6sin20+(1-V3cos0) √-3cos20-2W3cos0+7' 令1=5-cas0,则ecos0=5-,k47rT当5时，小osaL=5 V+ 12 3 由图可知，二面角4-CQ-B是锐角，所以二面角A-C2-B的余弦值的最小值为5 J