精品解析：安徽省六安第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

六安一中2026年秋学期高二年级十月 数学试卷 时间：120分钟 满分:150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 如果且，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（ ） A. 8 B. 16 C. 2 D. 1 7. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限 10. 下列关于直线的结论中，正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 经过平面上不同的两点，的直线方程为 C. 直线：，：，则的充要条件是或 D. 经过在两坐标轴上截距相等的直线恰有三条 11. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（ ） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 13. 已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 14. 在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，求(均写出一般式方程); （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）求点关于的对称点的坐标. 16. 已知直线． （1）当k变化时,求直线l经过定点P的坐标; （2）求点到直线距离的最大值,并求此时直线的方程; （3）若直线交轴负半轴于点,交轴正半轴于点,为坐标原点,求的面积的最小值,并求此时直线的方程． 17. 已知直线： ，直线： ，其中为实数. （1）当时，求的值； （2）当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 18. 已知为坐标原点． （1）求直线的方程，并求直线中垂线的方程； （2）求的周长与面积； （3）求的外接圆方程与内切圆方程． 19. 在平面上，给定非零向量．对任意向量，定义． （1）若，，求； （2）已知．若点在直线：上，设，按上述定义得到，记点坐标为． （i）证明：点也在某一条直线上； （ii）是否存在直线，使得对于上任意一点，经过上述定义变换后的点仍在上？若存在，求出所有这样的直线的方程；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安一中2026年秋学期高二年级十月 数学试卷 时间：120分钟 满分:150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，向量与向量共线， 因此，所以. 2. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 3. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 4. 如果且，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的横纵截距的正负即可判断得解. 【详解】由且，得直线的横截距为，纵截距为， 所以直线不经过第四象限. 故选：D 5. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. 6. 已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（ ） A. 8 B. 16 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. 7. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，将问题转化成求两平行直线，间的距离，即可求解. 【详解】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为. 8. 已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上，从而得出间的关系式，进而通过基本不等式求出最小值. 【详解】因为圆上有两点关于直线对称，可知圆心在直线上，即. ，等号当且仅当时成立. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线过定点、两直线平行、直线的图像以及两直线垂直逐项计算判断即可． 【详解】对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，当时，始终过， 因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确． 故选：ABD． 10. 下列关于直线的结论中，正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 经过平面上不同的两点，的直线方程为 C. 直线：，：，则的充要条件是或 D. 经过在两坐标轴上截距相等的直线恰有三条 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，根据直线的倾斜角的定义与性质，求解即可；对于选项B，根据直线的两点式，求解即可；对于选项C，根据直线垂直，斜率相乘为，求解即可；对于选项D，分别讨论直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况，求解即可. 【详解】对于选项A，直线方程化为斜截式得，斜率，但倾斜角范围为，且任意时，不一定在范围内，故A错误； 对于选项B，经过平面上不同两点，的直线方程，无论两点是否在水平线或竖直线上均成立，故B正确； 对于选项C，两直线垂直的充要条件是一般式中，对于：和：，有，解得或，当时，：，：，此时，当时，：，：，此时，故C正确； 对于选项D，截距相等的直线分两种情况： ①截距为：直线过原点，方程为（过）； ②截距不为0：设方程为，代入，解得，所以方程为， 所以经过在两坐标轴上截距相等的直线恰有两条直线，故D错误. 故选：BC. 11. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（ ） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先求出点A，B的坐标，可判断选项A的正误；判断两条直线的位置关系可判断选项B的正误；根据基本不等式链可判断选项C，D的正误. 【详解】由，得． 因为，所以，得． 由，得． 因为，所以，得． 所以，A正确． 由直线：和直线：，知． 所以．所以．所以，为定值，B正确． ，当且仅当时，等号成立，C错误． 因为，所以，即的最大值为，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 【答案】或 【解析】 【详解】设直线，截距分别为和， 因为截距互为相反数，所以. 若，，又过点，所以，直线为. 若，解得，，所以，直线为. 13. 已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】先根据两点坐标求出直线的斜率,进一步得到直线的倾斜角的正切值,再根据同角关系式和半角公式求得直线的倾斜角的正切值，即为直线的斜率. 【详解】设直线的倾斜角为,则直线的斜率, 由于,所以, 所以直线的斜率. 14. 在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点与过点的角平分线方程，过点的中线的方程，可求出点的坐标，再根据点关于过点的角平分线的对称点在直线上，求出点关于角平分线的对称点即可求出直线的方程. 【详解】因为过点的角平分线方程是，所以设， 又因为，所以线段的中点为， 又因为过点的中线的方程是， 所以， 解之得，于是， 设关于直线的对称点为， 所以， 解之得，即， 因为直线为过点的角平分线方程， 所以在直线上， 所以直线即直线， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，求(均写出一般式方程); （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）求点关于的对称点的坐标. 【答案】（1） （2） 或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得中点坐标，结合坐标，可得中线方程； （2）当直线过原点时，显然满足题意；当直线不过原点时，利用截距式结合题意可得答案； （3）由题可得，中点在上，据此可得答案. 【小问1详解】 由题可得中点坐标为，又， 则，从而中线方程为：； 【小问2详解】 当直线过原点和点时，满足题意，则方程可为：; 当直线不过原点时，设，则， 则可为：. 综上可得：为或. 【小问3详解】 因关于对称，则可得，中点在上， 设，则， 从而，则. 16. 已知直线． （1）当k变化时,求直线l经过定点P的坐标; （2）求点到直线距离的最大值,并求此时直线的方程; （3）若直线交轴负半轴于点,交轴正半轴于点,为坐标原点,求的面积的最小值,并求此时直线的方程． 【答案】（1）; （2）; （3）4,. 【解析】 【分析】第一问将方程进行变形,使参数所乘的部分为零,即可求解;第二问当线段时,距离最大,根据斜率乘积为即可求得;第三问分别求出、两点坐标，转化为的直角边长,再根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题, 因为当变化时,直线过定点,则有, 解得，即定点 【小问2详解】 由题知当线段时,距离最大,此时最大距离为,又可得, 则,解得,则直线 【小问3详解】 由题可知,则,则, 所以 ,当且仅当时,等号成立,此时,最小值为4, 此时的直线. 17. 已知直线： ，直线： ，其中为实数. （1）当时，求的值； （2）当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 【答案】（1） （2）① ；②或 【解析】 【小问1详解】 直线： 的斜率为， 由，得直线的斜率存在且为， 由得，即，解得. 【小问2详解】 当 时，直线：， 由，得，则， ①直线的斜率为， 因为，所以，得， 因为直线经过，其方程为， 化简得直线的方程为. ②若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时点到直线的距离等于1，符合题意； 若直线的斜率存在且过点， 设直线的方程为，即， 因为点到直线的距离等于1，则， 化简得，解得，所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 18. 已知为坐标原点． （1）求直线的方程，并求直线中垂线的方程； （2）求的周长与面积； （3）求的外接圆方程与内切圆方程． 【答案】（1）； （2）周长；面积 （3）外接圆方程；内切圆方程 【解析】 【分析】（1）先求出直线及其中垂线的斜率，再求出的中点坐标，即可根据点斜式求出直线方程； （2）根据两点间距离公式分别求出，即可得的周长，根据即可求出的面积； （3）设外接圆的圆心为，根据的中垂线与的中垂线的交点即为外接圆的圆心求出，再求出其半径，即可得外接圆方程；设的内切圆的圆心为，利用三角形的面积公式求出内切圆半径，再根据点到的距离等于，列出方程求出，即可得内切圆方程. 【小问1详解】 因为，所以， 所以直线的方程为，整理可得. 因为的中垂线和直线垂直，所以中垂线的斜率为， 又因为的中点，所以直线中垂线的方程为， 整理可得； 【小问2详解】 因为，， . 所以的周长为， 的面积为； 【小问3详解】 设外接圆的圆心为，半径为. 由（1）知中垂线的方程为①， 又因为的中垂线方程为，将其代入①可得， 所以外接圆的圆心为. 其外接圆的半径， 所以的外接圆方程为. 设的内切圆的圆心为，半径为. 由（2）知的周长为20，面积为， 所以的面积 ，解得. 又因为点到的距离等于， 则，解得. 所以的内切圆的方程为. 19. 在平面上，给定非零向量．对任意向量，定义． （1）若，，求； （2）已知．若点在直线：上，设，按上述定义得到，记点坐标为． （i）证明：点也在某一条直线上； （ii）是否存在直线，使得对于上任意一点，经过上述定义变换后的点仍在上？若存在，求出所有这样的直线的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（i）当时，，变换公式为， 即由上式解出：，． 代入直线方程，得． 若且，则，与、不全为零矛盾， 故上式是关于的一次方程，表示一条直线．所以点在某一条直线上． （ii）存在，，（）． 设不动直线为：（，不全为零）．对上任意点，要求也在上： ， 即对上任意点成立，故该直线与表示同一直线． 若（不过原点）：两方程对应系数成比例，且常数项之比为， 故，，均等价于，即（）． 此时：，． 若（过原点）：直线为，变换后为． 两过原点直线表示同一直线，当且仅当对应系数成比例（看，的情形）： ． 若，即，则：，即上面的情形； 若，即（），则：． 当时：，变换后为，不是同一直线； 当时：，变换后为，也不是同一直线，均排除． 综上，满足条件的直线为，（）． 【解析】 【分析】（1）直接代入定义：先求数量积和模方，再按公式计算即可， （2）（i）由定义写出时的坐标变换，反解出用表示，代入原直线方程，得到关于的一次方程，系数不全为零，故在一条直线上，（ii）设不动直线，将变换式代入，要求所得直线与原直线重合，分与讨论，比较系数得或，即与. 【小问1详解】 ，，则，， 故． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $