精品解析：江苏苏州工业园区星海实验高级中学2026-2027学年高二上学期10月学情调研测试数学试题

星海实验高级中学2026—2027学年高二数学10月学情调研测试 2026.10 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 若直线的倾斜角为则实数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线一般方程中倾斜角与斜率的关系可得. 【详解】由题意知，，则，解得. 故选：D. 2. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解. 【详解】设等比数列的首项为，公比为， 由，即，解得. 所以. 故选：C. 3. 已知直线，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】若，则，，显然两直线平行， 因此由可以推出，充分性成立； 若，则，解得或1， 当时，，，此时两直线重合，舍去， 当时，，，此时两直线平行， 因此由可以推出，必要性成立； 综上所述，“”是“”的充要条件． 4. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意列举数列的前几项，可得数列的周期性，可得答案. 【详解】由，，则，，， 所以数列的最小正周期为， 由，则. 故选：D. 5. 已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】结合等比数列的性质及数列的单调性判断各选项即可. 【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，若，则， 由等比数列性质知，所以，故选项A错误； 又，因为，所以，所以， 则，故先增后减，所以，故选项B正确； 若，则，又，无法判断与1的大小，即无法判断与1的大小，故与大小没法判断，故选项CD错误. 故选：B 6. 已知直线：.当点到的距离最大时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出动直线恒过的定点，当直线与该定点和点的连线垂直时，到直线的距离最大，利用两直线垂直的斜率关系求解. 【详解】将直线的方程整理为关于参数的形式： 令，解得，即直线恒过定点， 当直线时，点到直线的距离最大，最大值为， 因为直线的斜率为，直线的斜率为（）， 所以，由两直线垂直的斜率关系得：，化简解得，验证，符合条件. 所以，. 7. 数列为正项数列，为数列的前项和，且，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由题设等式作差推得，再由和的关系推出，结合条件得到为公差是2的等差数列，利用通项公式计算即得. 【详解】由题知 ①， 则 ②， 由①－②，可得：，即，，， 在已知等式中令，得，则，显然满足上式， 故有③，则④． 由③－④，可得：，即， 即，∵，∴， 故为公差是2的等差数列，又由可解得， ∴． 故选：A. 8. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分奇数项和偶数项求递推关系，然后记，利用构造法求得，然后分组求和可得. 【详解】因为， 所以，，且， 所以， 记，则，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，， 记的前n项和为，则. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于先分奇数项和偶数项求递推公式，然后再并项得的递推公式，利用构造法求通项，将问题转化为求的前50项和. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点且与直线平行的直线与轴、轴分别交于两点，则下列结论正确的是（    ） A. 直线的方程为 B. C. 原点到直线的距离为 D. 线段的中点在直线上 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的方程及点坐标，再结合两点间的距离公式和点到直线距离公式逐项判断. 【详解】依题意，设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线， 由时，得点，由时，得点， 对于A，直线的方程为，故A正确； 对于B，因， 则，故B正确； 对于C，原点到直线的距离为，故C正确； 对于D，线段的中点为，此时， 故线段的中点不在直线上，故D错误. 10. 设为等差数列的前项和，且，若，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式，结合题意，化简得到，得到数列为递增数列，再由，求得且，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】因为为等差数列的前项和，可得， 又因为，可得， 即，可得，所以数列为递增数列， 因为，且数列为递增数列，可得且， 由， 对于A，因为数列为递增数列，所以无最大值，所以A不正确； 对于B，由，可得时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，可得，所以C正确； 对于D，由，可得，所以D正确. 11. 已知数列，均为递增数列，它们的前项和分别为，，且满足，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出与的取值范围，再分别求出数列与的前2项和的表达式即可判断大小关系. 【详解】选项A：，， ， 由是递增数列，得； 由， 可得，所以，故A正确； 选项B：，故B不正确； 选项C：，，则，，由是递增数列， 得，由可得，解得，故C错误； 选项D：由，可得，则，即数列和均为公比为的等比数列，所以 ， 所以，又，所以， 而， 当时，； 当时，可验证， 所以对于任意的，都有，即，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线过点，且横截距a，纵截距b满足，则的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题要分截距都为 0和截距不为 0两种情况讨论，利用直线截距式或斜截式代入已知点求解，容易漏掉过原点的情况. 【详解】当直线横截距和纵截距都为0时，设直线为， 将点代入可得，即，此时直线方程为，即 当直线截距不为0时，可设直线为，因为横截距为纵截距的两倍，所以， 又因为直线过点，代入直线可得，解得， 所以直线方程为. 故答案为：或. 13. 已知数列中，，，若对任意的，都有，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，则，即是以为首项，为公比的等比数列， 则，得且， 将代入条件得，， 因为单调递增， 当为偶数时，； 当为奇数时，，即， 综上的取值范围是． 14. 已知一个数阵排列如下： 记第行第个数为，其排列规律为：第行的数列是在第行的每两个相邻的数之间插入这两个数的乘积构成的新数列.设第行有个数，，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可得，构造等比数列可求得；由题意可得，进而可得，两边取对数，构造等比数列可求得. 【详解】由题意可得，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； 因为，所以， 根据插入的各项为， 所以， 又，所以， 所以， 两边取对数，所以， 所以， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和直线的交点为. （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）若直线经过点，且点到直线的距离为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）联立直线方程求出交点的坐标，再由点斜式计算可得； （2）依题意可得直线的斜率不为，设直线的方程为，利用点到直线的距离得到方程，求出的值，代入即可得解. 【小问1详解】 由，解得，所以点， 又所求直线与直线平行，所以所求直线的斜率为， 则所求的直线方程为，即； 【小问2详解】 若直线的斜率为，则直线的方程为，此时点到直线的距离为，不符合题意，所以直线的斜率不为， 设直线的方程为，即， 又点到直线的距离为2，所以，解得或， 所以直线的方程为或. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设 ，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）当时，可得；时，由，可得，两式作差可得数列是等比数列，进而可得通项公式； （2）利用错位相减法求解即可． 【详解】（1）由题意知，当时，，即 时，由得 即 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以 （2）由题意知， 由错位相减法， + 上述两式相减得: 所以， 17. 已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． （1）求边所在直线的方程； （2）求点的坐标； （3）求的角平分线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由边上的高所在直线方程得到边所在直线的斜率，利用点斜式写出方程即可； （2）设点B的坐标为，由点是边的中点，可得点的坐标，点B在直线上，点A在直线上，联立方程组即可求得的值，从而得解． （3）求得直线的方程，设的角平分线上任意一点的坐标为，利用点到直线的距离公式可得，求解即可. 【小问1详解】 因为边上的高所在直线方程为， 所以边所在直线的斜率为，且经过点， 所以边所在直线的方程为， 即所在直线的方程为； 【小问2详解】 设点B的坐标为，因为边上的高所在直线方程为， 又因为点是边的中点，所以点A的坐标为， 由边所在直线的方程为， 所以，即， 由，得，所以点B的坐标为. 【小问3详解】 由（2）可得点A的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即， 设的角平分线上任意一点的坐标为， 又直线所在直线的方程为， 则，所以， 所以或， 即或，又因为，， 所以的角平分线所在直线的方程为． 18. 设的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）数列的通项公式为，求其前项和 （3）记的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：由（1）可得， 当时，， 所以 【解析】 【分析】（1）根据的关系即可作差证明是等差数列，进而可求数列通项公式； （2）结合（1）对分奇数与偶数两种情况利用分组求和可求得； （3）由（1）可得，当时，，可得结论. 【小问1详解】 ，令得； 又当时，， 可得，即①； 所以②，由①－②得， 即，所以数列是等差数列. 由及，可得公差，可得. 【小问2详解】 由（1）可得， 当为奇数时， ， 当为偶数时， ， 综上所述：， 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：利用放缩法可得当时，，从而利用等比数列的前和公式可证得结论. 19. 在数列中，已知，（）． （1）证明：数列为等比数列； （2）记，数列的前项和为，求使得的整数的最小值； （3）是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）由，得，从而， ， 又，故数列为等比数列； （2）10； （3）假设存在正整数、、满足题意，则， 即， 即 两边同除以得， (*) 由得，，； 所以为奇数，而、均为偶数， 故(*)式不能成立； 即不存在正整数、、，且，使得、、成等差数列. 【解析】 【分析】（1）证明数列为等比数列，即转化变形方向为与的关系.首先分离与，然后两边同取倒数，再同减去1，即可得证； （2）先由(1)结论求出，再化简，根据分式形式，裂项求和得，求解不等式，估值可得整数的最小值； （3）假设存在正整数、、，使得、、成等差数列，得到、、的等量关系，根据整数性质，等式左偶右奇不可能成立． 【详解】（1）略 （2）解：由(1)得，，故， 所以， ， 令，则， 解得，，. 故使得的整数的最小值为10； （3）略 【点睛】数列常见裂项形式： （1）； （2）； （3）； （4）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 星海实验高级中学2026—2027学年高二数学10月学情调研测试 2026.10 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 若直线的倾斜角为则实数值为（ ） A. B. C. D. 2. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知直线，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知直线：.当点到的距离最大时，（ ） A. B. C. D. 7. 数列为正项数列，为数列的前项和，且，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点且与直线平行的直线与轴、轴分别交于两点，则下列结论正确的是（    ） A. 直线的方程为 B. C. 原点到直线的距离为 D. 线段的中点在直线上 10. 设为等差数列的前项和，且，若，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. D. 11. 已知数列，均为递增数列，它们的前项和分别为，，且满足，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线过点，且横截距a，纵截距b满足，则的方程为______． 13. 已知数列中，，，若对任意的，都有，则的取值范围是________． 14. 已知一个数阵排列如下： 记第行第个数为，其排列规律为：第行的数列是在第行的每两个相邻的数之间插入这两个数的乘积构成的新数列.设第行有个数，，则______，______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和直线的交点为. （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）若直线经过点，且点到直线的距离为2，求直线的方程. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设 ，求数列的前项和. 17. 已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． （1）求边所在直线的方程； （2）求点的坐标； （3）求的角平分线所在直线的方程． 18. 设的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）数列的通项公式为，求其前项和 （3）记的前项和为，求证：． 19. 在数列中，已知，（）． （1）证明：数列为等比数列； （2）记，数列的前项和为，求使得的整数的最小值； （3）是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $