精品解析：江苏省苏州市工业园区苏州大学附属中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

苏大附中2025—2026学年12月阶段诊断 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分150分） 命题人：姜建海 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 以直线为准线的抛物线标准方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 3. 某学校高一年级由名男同学和名女同学组成，现用分层抽样的方法，从高一年级中随机抽取一个容量为的样本进行运动成绩调查，其中男同学应抽取的人数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，，则（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 5. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线C的焦距为（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 8 6. 若直线关于直线对称的直线经过点，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 等差数列前n项的和为，已知，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知，，P是圆上一点，G是的重心，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知样本数据，则这组数据的（ ） A. 众数为 B. 平均数为 C. 上四分位数为 D. 方差为 10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为C上一点，且在第一象限，过P作l的垂线，垂足为M，直线与C在第一象限交于点Q，过Q作l的垂线，垂足为N，且，则（ ） A. Q为线段的中点 B. C. 是正三角形 D. 直线与抛物线C相切 11. 已知数列是等差数列，，，其前n项和为，数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 是公差为的等差数列 B. 是中的项 C. 数列是单调递增数列 D. 数列中的任意不同三项均不能构成等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等比数列的前项和．若，则的公比为________． 13. 已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则长度的最小值为______. 14. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的右支交于点B，点D满足，，则双曲线C的离心率为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校组织高二数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值，并估计参加挑战赛的学生成绩的分位数； （2）已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 16. 已知双曲线的左顶点为，离心率e为，过点的直线l交双曲线左支于A，B两点. （1）求双曲线C的标准方程; （2）若O是坐标原点，且，求直线l的斜率. 17. 已知圆C的圆心C在直线上，且圆C与直线相切于点. （1）求圆C的方程； （2）过点的直线l与圆C交于M，N两点，若为直角三角形，求直线l方程； （3）已知点，若圆C上存在点P满足，求实数的取值范围. 18. 在数列，且满足；在数列中，记数列的前n项和为，满足. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆的离心率为，，为椭圆C的左、右焦点，M为椭圆C的右顶点，P为椭圆C的上顶点，且，直线l交椭圆C于A，B两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线，斜率之积等于，求证：直线恒过定点； （3）若直线l恒过，则是否为定值？若成立，请求出该定值，若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏大附中2025—2026学年12月阶段诊断 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分150分） 命题人：姜建海 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 以直线为准线的抛物线标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，直接写出抛物线标准方程作答. 【详解】因为抛物线的准线是直线，则该抛物线焦点在y轴上，开口向下，其标准方程为， 所以所求抛物线标准方程为. 故选：C 2. 若直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得的斜率，利用斜率与倾斜角的关系求解． 【详解】设的倾斜角为，， 由题意得的斜率，则， 故选：C． 3. 某学校高一年级由名男同学和名女同学组成，现用分层抽样的方法，从高一年级中随机抽取一个容量为的样本进行运动成绩调查，其中男同学应抽取的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层抽样可求得男同学应抽取的人数. 【详解】设男同学应抽取的人数为，由分层抽样可得，解得. 故选：C. 4. 已知数列满足，，则（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中递推公式可得，，进而可得结果. 【详解】因为，， 令，可得，即； 又因为，可得， 所以. 故选：A. 5. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线C的焦距为（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由渐近线的方程可求，进而可求解； 【详解】由渐近线的方程为易得：，得， 所以，从而 故选：B 6. 若直线关于直线对称的直线经过点，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得关于直线的对称点，代入点的坐标于的方程，由此可求的值. 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 故选：A. 7. 等差数列前n项的和为，已知，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得，，结合题意运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 又因为，即，解得或， 若，则，不合题意； 若，则，解得； 综上所述：. 故选：D. 8. 已知，，P是圆上一点，G是的重心，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用圆上点的坐标表示重心的坐标，再利用距离公式将化简，利用圆的方程将式子代换为仅含的一次函数，最后利用圆的方程得的纵坐标的范围，代入求出取值范围即可. 【详解】设，因在圆 上， 故，展开得， 则 的重心坐标为：， 因为，， 所以， 代入 ，得：， 因为圆得到，故 ， 又因为时，三点共线，不能构成三角形，故 ， 根据一次函数的单调性，， 因此 的取值范围是 . 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知样本数据，则这组数据的（ ） A. 众数为 B. 平均数为 C. 上四分位数为 D. 方差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用众数，平均数，方差，上四分位数公式逐个选项分析求解即可. 【详解】首先，我们把数据从小到大排列，得到， 对于A：观察得数据出现的次数最多，所以众数为，故A正确； 对于B：平均数为，故B错误； 对于C：因为一共有个数据，且， 所以上四分位数为第个数，故上四分位数为，故C正确； 对于D：方差为， ，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为C上一点，且在第一象限，过P作l的垂线，垂足为M，直线与C在第一象限交于点Q，过Q作l的垂线，垂足为N，且，则（ ） A. Q为线段的中点 B. C. 是正三角形 D. 直线与抛物线C相切 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，作出几何图形，结合抛物线定义推理判断ABC；求出直线的方程，再与抛物线方程联立求解判断D. 【详解】对于A，由，得，而，则，A错误； 对于B，设，由，且轴，得，由，，得， 又，则，即，B正确； 对于C，，，而，即， 解得，，又，因此是正三角形，C正确； 对于D，点到直线的距离为2，，则，， 直线的方程为，由得，，则直线与相切，D正确. 故选：BCD 11. 已知数列是等差数列，，，其前n项和为，数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 是公差为的等差数列 B. 是中的项 C. 数列是单调递增数列 D. 数列中的任意不同三项均不能构成等比数列 【答案】ABCD 【解析】 【分析】由题意可得，，，进而判断ABC；假设存在三项成等比数列，根据等比中项列式，观察其结构特征列方程组求解可判断D. 【详解】记等差数列的公差为，则，所以， 所以， 所以，则， 所以， 所以是公差为的等差数列，故A正确； 而， 令，解得， 则是中的项，故B正确； 而， 又是上的单调递增函数， 则数列是单调递增数列，故C正确； 假设中的三项成等比数列，则， ， 即， 则， 由于，则， 所以①，且②， 由②可得，代入①可得， 整理得 即， 由于，则数列中不存在三项能构成等比数列，故D正确. 故选：ABCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等比数列的前项和．若，则的公比为________． 【答案】 【解析】 【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比. 【详解】若， 则由得，则，不合题意. 所以. 当时，因为， 所以， 即，即，即， 解得. 故答案为： 13. 已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则长度的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线所过的定点，结合圆的几何性质进行求解即可. 【详解】由直线， 所以该直线恒过， 由圆的标准方程可知圆心坐标为，半径为， 因为， 所以点在圆内， 因此当时，有最小值， 则， 故答案为： 14. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的右支交于点B，点D满足，，则双曲线C的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】通过向量条件确定点的位置及垂直关系，结合直线与双曲线联立后的韦达定理，建立、、的关系，进而求得离心率. 【详解】设，，直线的方程为. 设，，由，得为的中点，故. 由，得，即. 因，故，即， 化简得. 将，代入上式， 得， 解得，则. 将直线与双曲线联立：， 整理得. 由韦达定理，，约去得， 化简得，即，得. 此时，即渐近线的斜率大于直线的斜率， 直线与双曲线左右两支相交，符合题意. 因，代入得，化简得， 故离心率. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校组织高二数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值，并估计参加挑战赛的学生成绩的分位数； （2）已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 【答案】（1），分位数为 （2）； 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，结合分位数的性质进行求解即可； （2）先计算成绩在，内的人数，求出平均值，再由方差的计算可得 【小问1详解】 因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为， 所以. 成绩小于分的占比，成绩小于分的占比， 所以参加挑战赛的学生成绩的分位数在小组中， 而，所以分位数为； 【小问2详解】 成绩在，内的人数分别为，． ． 设学生成绩在区间内的数据记为，，…，，学生成绩在内的数据记为，，…，，所以 . 16. 已知双曲线的左顶点为，离心率e为，过点的直线l交双曲线左支于A，B两点. （1）求双曲线C的标准方程; （2）若O是坐标原点，且，求直线l的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据顶点和离心率列方程求解可得； （2）设出直线方程，联立双曲线方程消去y，韦达定理结合列方程求解可得. 【小问1详解】 由题得，解得， 双曲线C的标准方程为 【小问2详解】 由题可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 联立双曲线的方程，得， 设，，则，， 直线l交双曲线左支于A，B两点， ，解得， ， ，即， 解得或， ，时，  17. 已知圆C的圆心C在直线上，且圆C与直线相切于点. （1）求圆C的方程； （2）过点的直线l与圆C交于M，N两点，若为直角三角形，求直线l方程； （3）已知点，若圆C上存在点P满足，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）通过圆心在直线上设坐标，结合切线垂直半径求圆心，进而得圆的方程； （2）分析直角三角形的性质，利用圆心到直线的距离公式求直线方程； （3）将向量积转化为直线与圆的位置关系，进而求参数范围. 【小问1详解】 设圆心，由垂直直线， 得，解得，故. 半径，圆的方程为. 【小问2详解】 为直角三角形，且，故直角在，斜边, 所以圆心到直线的距离为. 斜率存在时，设直线，即， 由，解得，直线为； 斜率不存在时，直线到圆心的距离为，符合条件. 故直线的方程为或. 【小问3详解】 设，，， 则. 由圆的方程得， 代入得，即. 设，直线与圆有交点，故，解得. 由，得，，所以. 18. 在数列，且满足；在数列中，记数列的前n项和为，满足. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，得出数列为等差数列，求得，再由时，，两式相减求得，得到为等比数列，求得，即可求解. （2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）根据题意，转化为对任意恒成立，设，根据，分为偶数和为奇数，两种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由数列，且满足，可得， 即，所以数列是以，公差为的等差数列， 所以，所以， 又由数列的前n项和为，满足， 当时，，可得， 当时，， 两式相减，可得，即，所以， 即，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知：且，所以， 则， 可得， 两式相减，可得 ， 所以. 【小问3详解】 解：由不等式，可得 即对任意恒成立， 设，可得， 当时，可得； 当时，，即，即， 当为偶数时，可得，解得； 当为奇数时，可得，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 19. 已知椭圆的离心率为，，为椭圆C的左、右焦点，M为椭圆C的右顶点，P为椭圆C的上顶点，且，直线l交椭圆C于A，B两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线，斜率之积等于，求证：直线恒过定点； （3）若直线l恒过，则是否为定值？若成立，请求出该定值，若不成立，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：设，， 根据题意，易知直线的斜率不为0， ，则， 设， 联立， 整理得， 所以，，， 所以， 所以， 所以， 解得，满足，即直线过定点． （3）为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立，，关系式求出，，得解； （2）设，代入椭圆的方程，由韦达定理可得，，由，运算得，得证； （3）当直线的斜率不存在或为0时，得，当直线的斜率不为0时，设，由韦达定理可得，即，得解． 【小问1详解】 解：设椭圆的半焦距为，由已知得： ， 解得：， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当直线的斜率不存在时， ，则， 解得：， ， ， 当直线的斜率为0时，此时， ， ， 当直线的斜率不为0时，设，由（2）可知， ，， 所以， 从而， 即， 则， 即， 综上，为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $