精品解析：江苏省苏州南京航空航天大学苏州附属中学2026-2027学年高二上学期10月限时练习数学试题

南航苏州附中2026-2027学年第一学期高二年级10月限时练习 数学 一、单选题 1. 已知等差数列满足，，则（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 2026 2. 正项等差数列的公差为，已知，且，，三项成等比数列，则（ ） A. B. 3 C. 1 D. 3. 各项均为正数的数列满足，（，），则（ ） A. 5 B. 25 C. D. 24 4. 设，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 设等比数列的前项和为，若，，则等于（ ） A. 127 B. C. D. 255 6. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列的公差大于0 B. 中最大 C. 数列的公差与数列的公差相等 D. 使得的正整数的最小值为24 7. 已知数列满足，，记的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 的前项和为 D. 的前10项和为156 10. 已知，记数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 对任意， B. C. 若，则 D. 当数列是等差数列时， 11. 已知正项数列满足：，（），其中为前n项和，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 13. 一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与前12项中奇数项的和之比为，则公差________． 14. 已知数列满足，则_________． 设，其中[x]表示不超过x的最大整数，为数列的前n项和，若，则n的取值范围为______ 四、解答题 15. 已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且，，． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求的前项和； （3）若，求的前项和． 16. 已知公比大于的等比数列满足. （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数． （i）写出； （ii）求数列的前项和． 17. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值． 18. 记为等差数列的前n项和．已知，，成等差数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足：，且，求数列的前项和． 19. 已知数列满足，且． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前n项和为，数列满足，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南航苏州附中2026-2027学年第一学期高二年级10月限时练习 数学 一、单选题 1. 已知等差数列满足，，则（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 2026 【答案】B 【解析】 【详解】由等差数列可知，即. 2. 正项等差数列的公差为，已知，且，，三项成等比数列，则（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项性质可知，，再应用等差数列的性质即可求解. 【详解】因为，，三项成等比数列，所以， 故，结合可得 ， 解得 或（负值舍去）. 3. 各项均为正数的数列满足，（，），则（ ） A. 5 B. 25 C. D. 24 【答案】A 【解析】 【详解】题意知是首项为，公差为3的等差数列， 因为，所以，即， 当时，， 又因为各项均为正数，则. 4. 设，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【详解】因为， 则， 则， 两式作差得， 所以， 即得， 计算得. 故选：C. 5. 设等比数列的前项和为，若，，则等于（ ） A. 127 B. C. D. 255 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件及等比数列的性质求出公比，代入求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，首项为. 因为，， 所以，解得， 所以． 6. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列的公差大于0 B. 中最大 C. 数列的公差与数列的公差相等 D. 使得的正整数的最小值为24 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，则， 所以数列的公差小于0，故A错误； 因为等差数列单调递减，且，，所以中最大，故B正确； 设公差为，则，其公差为， 故数列的公差与数列的公差不相等，故C错误； 因为，故D错误. 7. 已知数列满足，，记的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由递推式得到相邻项比值，累乘法推出数列通项， 最后用裂项相消法求和，中间项全部抵消，快速算出前2026项和. 【详解】由，得，当时，，…，， 以上各式相乘，得， 又＝1，所以（）， 因为＝1满足上式，所以， 因为， 所以. 8. 定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用倒序相加法求数列的通项公式，再将存在性不等式转化为大于等于关于的分式的最小值，结合基本不等式求最值即可得. 【详解】因为对任意，有， 数列 ①， 将①式倒序得： ②， 得：， 因此. 将代入不等式，整理得：存在，使得成立. 因为， 当且仅当时等号成立，解得， 即时有最小值，故，即的取值范围为. 二、多选题 9. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 的前项和为 D. 的前10项和为156 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据关系式求出通项公式，再根据等差数列求和公式求和即可判定. 【详解】已知①， 当时，． 当时，②． ①－②得， 化简得，验证，符合条件， 因此通项公式为． 选项A：，错误； 选项B：通项，正确； 选项C：是首项、公差的等差数列，前项和，正确； 选项D：，当时，时， 前10项和，正确. 10. 已知，记数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 对任意， B. C. 若，则 D. 当数列是等差数列时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，将原递推公式的替换为,得 ，再利用递推公式即可判断；对于BC，使用分组求和解决；对于D，利用等差数列的性质，先求出通项公式，再求出. 【详解】对于A，将原递推公式的替换为,得 ， 又，两式相减可得，故A选项正确； 对于B， ，故B选项错误； 对于C， ，故C选项正确； 对于D，当数列是等差数列时，设公差为，则，， 令，则即，， 所以，，故D选项正确. 11. 已知正项数列满足：，（），其中为前n项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】将题中的换成并化简，推出，接着求出即的通项公式，然后逐一判断即可. 【详解】由题设有，故，解得，故. ，将代入题中已知条件可得，，其中， 将等式两边同时乘以并化简可推出， 而，故，故B正确. ，即，故A错误. 数列是以1为首项，2为公差的等差数列. . 由， 利用分子有理化可化简得.C错误，D正确. 三、填空题 12. 已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率的定义和斜率垂直的知识计算即可. 【详解】因为直线与经过，两点的直线垂直，直线的斜率为. 所以直线的斜率为. 13. 一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与前12项中奇数项的和之比为，则公差________． 【答案】5 【解析】 【详解】由题意，可知 前12项中偶数项共6项，奇数项共6项， 故，． 14. 已知数列满足，则_________． 设，其中[x]表示不超过x的最大整数，为数列的前n项和，若，则n的取值范围为______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据递推关系可得是以3为首项，4为公比的等比数列，利用累加法求出通项，据此求出，再化简可得，利用裂项相消法求解. 【详解】 ，而, 是以3为首项，4为公比的等比数列， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，，． 四、解答题 15. 已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且，，． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求的前项和； （3）若，求的前项和． 【答案】（1） ， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程求解即可； （2）根据分组求和法，结合等差数列及等比数列的求和公式求解； （3）根据错位相减法求和即可. 【小问1详解】 令的公比为，则，令的公差为， 由，整理，解得，或（舍去）， 故， 又由可得， 即，解得， 故； 【小问2详解】 ∴  ； 【小问3详解】 由（1）可得， 则① ② ①-②，得， 所以. 16. 已知公比大于的等比数列满足. （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数． （i）写出； （ii）求数列的前项和． 【答案】（1） （2）（i），；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的性质即可求出的通项公式； （2）（i）根据定义：为在区间中的项的个数可直接写出；（ii）根据定义可知，当时，，共有个，则 【小问1详解】 由于数列是公比大于1的等比数列， 设首项为，公比为， 依题意有， 解得：或（舍）. 所以. 【小问2详解】 （i）由题意，，即， 当时，， 当时，； （ii）当时，，共有个， 则 . 17. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列中项性质得到与的关系式，结合构造等比数列求解通项； （2）先推导、的表达式，通过等比数列求和公式化简不等式，结合数列单调性求得最小正整数. 【小问1详解】 由，，成等差数列，根据等差数列中项性质得：  ， 化简得 ，①. 当时，，解得. 当时， ②. ①②得：，整理得，即. 又，故是首项为，公比为的等比数列. 因此，即. 【小问2详解】 由（1）得，代入的表达式得：  ， 由题意，为的第项，故. 所以  ， 由等比数列前项和公式可得：， 故. 令，设，，则：  ， 故为递增数列. 又，， 故满足不等式的最小正整数. 18. 记为等差数列的前n项和．已知，，成等差数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足：，且，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差中项的性质，结合的值，求出和，最后写出数列的通项公式. （2）先求数列的首项，再根据项数的奇偶分类讨论求和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为. 因为，，成等差数列，所以， 代入，，即， 所以． 又，所以， 所以． 故． 【小问2详解】 由（1）知，，则，且， 当为偶数时， . 当为奇数时，若， ， 也符合上式； 综上，. 19. 已知数列满足，且． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前n项和为，数列满足，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【答案】（1） 因为， 所以， 又，所以，那么， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列． （2） （3） 由， 则， 故． 所以， 假设数列中存在不同的三项构成等差数列， 则，即，两边同时乘以得到， 因为，所以，，故上述等式左边为偶数，右边为奇数，等式不成立． 所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【解析】 【分析】（1）通过变形给定的递推公式，构造出目标数列相邻两项的比值为常数，从而证明其为等比数列； （2）将第一问得出的等式两边同除以构造出等差数列，进而推导出的通项公式； （3）运用裂项相消法求出及的表达式后，采用反证法并利用整数方程两边的奇偶性矛盾来完成证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，等式两边同时除以，得， 设，则，且， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 即，故． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $