精品解析：江苏省如皋中学2026-2027学年高三上学期第一次阶段考试数学试题

高三年级第一次阶段考试 高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数单调性得到，，求交集得到答案. 【详解】，， 故. 2. 一组样本数据为3，6，5，7，2，4，8，则（ ） A. 极差为5 B. 中位数是7 C. 平均数是5 D. 众数是8 【答案】C 【解析】 【分析】应用极差，中位数，平均数，众数定义计算求解各个选项. 【详解】样本数据从小到大排列为， 则极差为，A选项错误； 中位数是，B选项错误； 平均数是，C选项正确； 众数不是8，D选项错误； 故选：C. 3. 在中，已知，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求得的值，再结合大边对大角定理及三角形内角和性质确定B的唯一取值. 【详解】在中，已知，，，由正弦定理， 代入数值可得： ，所以，  由于，所以，所以. 4. 已知随机变量服从正态分布且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可得，进而根据条件概率公式求解即可. 【详解】由题知随机变量服从正态分布，则正态曲线关于直线对称. ， 根据正态分布的对称性可得， 因此. 5. 甲、乙、丙、丁、戊 5 人站成一排， 若甲和乙相邻， 且甲和丙不相邻， 则不同的排列方式共有（ ）． A. 24 种 B. 30 种 C. 36 种 D. 42 种 【答案】C 【解析】 【分析】使用捆绑法，插空法求解． 【详解】甲丙两人插剩余三人空，考虑甲乙相邻，则排法数为，则满足要求的方法数为36种． 也可以仅考虑甲乙相邻排法数为，甲与乙相邻且甲与丙相邻排法数为， 则满足要求的方法数为． 6. 已知向量，均为单位向量，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的数量积的运算律将目标向量的模展开，结合向量数量积的定义求出夹角余弦值的范围，继而求出模的范围. 【详解】因， 而， 故. 7. 已知在平行六面体中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算和数量积，将已知条件转化为向量关系.设，，，根据已知模长和夹角求出，进而判断的大小. 【详解】设，，，则，，. 又，，如下图： 所以，. 在平行六面体中，. 由，得， 即，得. 所以，即. 在平行四边形中，，因此. 8. 已知函数，若存在，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数，，则， 设， ，则， 因为，得，所以，且， 所以，所以，得 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. 的共轭复数为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意知，，其共轭复数为，故A正确，B错误； ，故C正确； ，故D错误． 10. 在中，内角所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 的中线有最小值 C. 若的平分线长为，则 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】由正弦定理判断A选项；由向量的加法和向量模的运算计算三角形中线长，判断B选项；由和三角形面积公式判断C选项；根据锐角三角形得到角的范围，再结合正弦定理得到边的范围判断D选项. 【详解】A选项，由正弦定理得，则， 因为，所以，为直角三角形，A正确； B选项，因为是的中线，所以， ， 函数在上单调递增，故在没有最小值，B错误； C选项，由得， 即，解得，C正确； D选项，因为，所以， 当为锐角三角形时，由得，所以， 由正弦定理得，，D错误. 11. 已知点，，，均在半径为1的球的表面上，且平面，则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥为正三棱锥 B. 若，则平面平面 C. 面积的最大值为 D. 三棱锥体积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A求证为的外心，根据形状判断；B求证即可；C设的外接圆半径为，求证；D结合C选项求出，再构造函数研究单调性即可. 【详解】对于选项A：设直线与平面的交点为， 因为平面，所以为的外心， 要使三棱锥为正三棱锥，则须为等边三角形，故A错误； 对于选项B：因为，且为的外心，所以是线段的中点，则， 因为平面，平面，所以平面平面，故B正确； 对于选项C：设的外接圆半径为， 若长度不变，则当点到直线的距离最大时，面积最大， 此时，且为锐角三角形， 设，， 则， 则， 则当，即时； 当，即时； 则在上单调递增，在上单调递减， 则当时， 故当的外接圆为大圆，即时，面积取最大值，故C正确； 对于选项D：设点到平面的距离为，则， 若面积不变，则当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大， 此时三棱锥的高为，则， 由C选项可知，欲使尽可能大， 则， 令， 则， 则当时，单调递减； 当时，单调递增； 则，故三棱锥体积的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为___________ 【答案】 【解析】 【详解】由二项式定理得展开式的通项为，，， ， 所以的通项公式为， 即， 分别令，，解得，. 所以的系数为. 13. 如图，在同一个平面内.向量，，的模分别为1，，，与的夹角为，且，与的夹角为.若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】以O为坐标原点.向量方向为x轴，与向量垂直的方向为y轴，建立平面直角坐标系，结合三角函数的定义以及两角和的公式三点坐标，根据向量的坐标运算列出关于的方程解出即可. 【详解】以O为坐标原点.向量方向为x轴，与向量垂直的方向为y轴，建立平面直角坐标系. 点A的坐标为，，， 可得点C的坐标为，， 可得，， 可得点B的坐标为. ， 若，有， 解得，， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：利用解析法建立适当的坐标系，根据三角函数的定义以及两角和的公式得到对应的点的坐标是解题的关键. 14. 设函数，则： ①函数的极值点有___________个； ②若对任意，总存在唯一，使得，则的最大值为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先对函数在上的部分求导并化简，分析其在上的单调性，确定在处取得极小值、处为零点，结合时单调递减、时单调递减，画出分段函数草图；再根据“对任意，总存在唯一使”的条件，通过计算与，分别令和得到和，由此确定区间的端点，计算的最大值为，对应. 【详解】对求导得. 故对函数单调性研究如下 1 0 0 递增 递减 递增 故函数的草图图像如下:可知函数的极值点有个. 若对任取，总存在唯一，使得，能取的最大范围区间如图所示: 令，即； 令，即； 故满足要求的取值的差的最大值为 即最大值为，此时. 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校从4名男生和3名女生中任选3人作为志愿者． （1）求所选的3人中至少有2名男生的概率； （2）设随机变量表示所选3人中女生的人数，求的分布列及数学期望． 【答案】（1）； （2）的分布列： 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）记“所选3人至少有2名男生”事件为A，利用组合分别求出事件总的个数和事件A所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率公式即可求解； （2）先分别求出X=0, X=1, X=2, X=3的概率，写出分布列，即可求出数学期望. 【小问1详解】 记“所选3人至少有2名男生”事件为A， 从4名男生和3名女生中选3人，总选法为：， 至少2名男生即2名男生或3名男生： 所造3人中至少有2名男生概率为． 【小问2详解】 的所有可能取值为：0，1，2，3… ， ∴的分布列： 0 1 2 3 . 16. 已知函数，函数的最小正周期为． （1）求的值及此时的对称轴； （2）若为锐角的内角，且，，求面积的取值范围． 【答案】（1），的对称轴为； （2）面积的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式将化简为正弦型函数，再利用周期公式求，最后令相位等于求对称轴； （2）先求出角，再利用正弦定理将边转化为角，结合锐角三角形的限制条件求出角的范围，最后将面积表示为关于的三角函数，利用正弦函数的图象与性质求出面积的取值范围. 【小问1详解】 因为 . 因为函数的最小正周期为，所以，解得. 此时. 令，解得. 所以的对称轴方程为. 【小问2详解】 由（1）知，即. 因为为锐角，即，所以 ， 所以，解得. 在中，由正弦定理，得，. 因为，所以. 因为是锐角三角形，所以 ，解得. 所以的面积 . 因为，所以. 所以， 所以，即面积的取值范围为 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）求证：当时，； （3）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，， 要证明，只要证，即证， 设，，则， 令得， 列表得 1 0 减 极小值 增 所以，即， 所以． （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再按值分类讨论正负作答. （2）根据（1）的结论，构造函数，利用导数求出最小值，证明即可. （3）将不等式恒成立转化为，构造，利用导数求出最大值，进而得到的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以，， ①当时，，在上单调递减； ②当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 变形得，. 令，，， ， 在上单调递增，在上单调递减，所以 所以. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，． （1）求证：平面； （2）设点是的重心（为的三条中线的交点）． （i）求二面角的余弦值； （ii）设平面，求． 【答案】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 在中，，解得， 因为， 所以，即， 又平面， 所以平面． （2）（i）；（ii）6 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质得出，由余弦定理及勾股定理逆定理得出，再由线面垂直的判定即可证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，根据二面角的向量方法即可求解；（ii）利用向量法分别求出到平面的距离即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 （i）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 由得，，取，则， 则， 平面的一个法向量为， 由图可知，二面角为锐角， 则， 所以二面角的余弦值为． （ii）因为， 所以点，又， 所以， 由（i）知平面的一个法向量为，， 则点到平面的距离为， 点到平面的距离为， 所以． 19. 对给定的实数，，，其中，．对于定义域为的函数，区间，若满足以下两个条件： （ⅰ）对任意的，都有； （ⅱ）对任意的，．则称为在区间上的一个“压缩函数”．区间上所有“-压缩函数”构成的集合记作． （1）判断下列函数，是否属于集合？（直接写出结论） ①，②； （2）若满足对任意的，，求的取值范围； （3）若函数是区间上的“压缩函数”，且在上的图像是一段连续曲线；求证：存在唯一的，使得． 【答案】（1）①不属于；②属于. （2）. （3）①存在性证明. 构造函数，，因为的图像是连续曲线，所以在上连续， 由条件(i)，对任意成立，因此 ， ， 若或，则或满足； 若且，由零点存在定理，存在，使得，即； 综上，存在使得. ②唯一性证明. 用反证法：假设存在两个不同的点（），使得，则， 但由“压缩函数”的条件(ii)，，有， 因此，因为，两边除以得，与矛盾， 故假设不成立，满足的唯一. 【解析】 【小问1详解】 ①对，，值域为，满足条件(i)； 对任意，，因为，故存在取值大于0.5，不满足条件(ii)，因此不属于； ②对，，值域为，满足条件(i)； 要证：对任意，，代入，约去常数，等价于，即，因为，所以， 由，得，即， 由，得，即， 设，，因为对任意成立，所以，故在上单调递增， 当时，，即； 设，，因为对任意成立，所以 。 故在上单调递减，当时，，即， 两个不等式同时成立，得，即，满足条件(ii)，因此属于. 【小问2详解】 已知，对任意，满足， 对，不等式可变形为， 整理得， ， 令，，则条件等价于在上单调递增；在上单调递减， ， 因此， ， 在上单调递增，所以对恒成立，即 ， 因为在上单调递减，所以对恒成立，即 ， 对，开口向上，对称轴为，在上单调递增，最大值为，因此； 对，开口向上，对称轴为，在上单调递增，最小值为，因此； 综上，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级第一次阶段考试 高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 一组样本数据为3，6，5，7，2，4，8，则（ ） A. 极差为5 B. 中位数是7 C. 平均数是5 D. 众数是8 3. 在中，已知，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知随机变量服从正态分布且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 5. 甲、乙、丙、丁、戊 5 人站成一排， 若甲和乙相邻， 且甲和丙不相邻， 则不同的排列方式共有（ ）． A. 24 种 B. 30 种 C. 36 种 D. 42 种 6. 已知向量，均为单位向量，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知在平行六面体中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在，满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. 的共轭复数为 C. D. 10. 在中，内角所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 的中线有最小值 C. 若的平分线长为，则 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 11. 已知点，，，均在半径为1的球的表面上，且平面，则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥为正三棱锥 B. 若，则平面平面 C. 面积的最大值为 D. 三棱锥体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为___________ 13. 如图，在同一个平面内.向量，，的模分别为1，，，与的夹角为，且，与的夹角为.若，则_______. 14. 设函数，则： ①函数的极值点有___________个； ②若对任意，总存在唯一，使得，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校从4名男生和3名女生中任选3人作为志愿者． （1）求所选的3人中至少有2名男生的概率； （2）设随机变量表示所选3人中女生的人数，求的分布列及数学期望． 16. 已知函数，函数的最小正周期为． （1）求的值及此时的对称轴； （2）若为锐角的内角，且，，求面积的取值范围． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）求证：当时，； （3）若恒成立，求的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，． （1）求证：平面； （2）设点是的重心（为的三条中线的交点）． （i）求二面角的余弦值； （ii）设平面，求． 19. 对给定的实数，，，其中，．对于定义域为的函数，区间，若满足以下两个条件： （ⅰ）对任意的，都有； （ⅱ）对任意的，．则称为在区间上的一个“压缩函数”．区间上所有“-压缩函数”构成的集合记作． （1）判断下列函数，是否属于集合？（直接写出结论） ①，②； （2）若满足对任意的，，求的取值范围； （3）若函数是区间上的“压缩函数”，且在上的图像是一段连续曲线；求证：存在唯一的，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $