江苏省如皋中学2026-2027学年高三上学期暑期第一阶段质量调研（一）数学试题

**基本信息** 立足高三暑期基础调研，以机器人服务等科技情境和函数性质等数学抽象为载体，覆盖函数、几何、概率等核心模块，注重数学思维的逻辑性与数学语言的精准表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题/40分|命题否定、集合运算、百分位数等|基础概念辨析，如第3题结合数据排序考查百分位数计算| |多选|3题/18分|概率性质、不等式应用、函数对称性|多选项分层设计，如第11题结合导数与函数周期性判断奇偶性| |填空|3题/15分|二次函数单调性、一次函数解析式、奇函数不等式|逆向思维考查，如第14题分段求解奇函数不等式解集| |解答|5题/77分|概率分布列、立体几何证明与计算、导数应用等|综合应用导向，如15题机器人服务概率模型，19题新定义集合与最值证明，适配高考创新题型趋势|

如皋中学高三年级暑期第一阶段质量调研(一) 高三数学 命题人: 命题中心审核人: 制题人： 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 3．一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知复数满足，则的最小值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．已知定义域为的奇函数，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D． 8．已知函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．对于随机事件，若，则（   ） A． B． C． D． 10．设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为9 11．已知定义在R上的函数的图象关于直线对称，且∀x∈R，都有，定义在R上的函数为的导函数，则以下结论一定正确的是（    ） A．是偶函数 B．为偶函数 C． D．4是的一个周期 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知在[3,15]上具有单调性，则实数的取值范围为___________． 13．已知函数是一次函数，若，则______． 14．函数是定义在上的奇函数，且当时，，不等式的解集为____________；若不等式恒成立，则正实数的最小值为____________． 四、解答题:本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分13分)某地区出现人形机器人“店员”福佑崇文阁，为顾客提供智能售卖服务．已知每次独立执行高难度动作时，机器人成功的概率为0.9，失败的概率为0.1，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2． (1)若从，两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； (2)若，机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列和数学期望． 16．(本小题满分15分)在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 17．(本小题满分15分)已知函数（）． (1)当时，求的单调区间； (2)求函数的极值点． 18．(本小题满分17分)已知函数的定义域为，对任意实数x，y都有，当时，. (1)求的值，并证明函数为上的增函数； (2)求证：函数为奇函数； (3)若，解不等式. 19．(本小题满分17分)对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． (1)若，，判断函数是否属于集合，并求的值； (2)若，，且，，求的值及函数的解析式； (3)若，，令，且在上是单调函数．证明：对任意，恒成立． 如皋中学高三年级暑期第一阶段质量调研(一) 高三数学 命题人: 命题中心审核人: 制题人： 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全称命题的否定是将任意改为存在并否定原结论，即可得. 【详解】命题“”的否定为“”. 2．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以， ， 所以 . 3．一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】这组数据按从小到大排序为3，5，6，7，7，9， 由可知第30百分位数是第2个数据，即为. 4．已知复数满足，则的最小值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由，则复平面内复数所对应的点到定点的距离为2， 则点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆， 而表示点到原点的距离，则的最小值为. 5．已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得出判断. 【详解】因为，， 所以，，， ， 故A选项错误，C选项正确； 所以，，故BD选项错误； 故选：C 6．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数的定义域的求解方法，列出不等式，即可求解，得到答案． 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得． 所以的定义域为. 7．已知定义域为的奇函数，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义及性质可得且，即可求出、的值，从而得解. 【详解】因为定义域为的奇函数， 则，即， 又，即， 即，解得， 所以，则. 故选：C 8．已知函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数单调性结合一次函数和二次函数的图象和性质列不等式组求解即可. 【详解】由题意知，在区间上单调递增， 在区间上单调递增，且， 所以，解得， 故选：A. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．对于随机事件，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件概率的计算公式，以及概率的加法公式，可得答案. 【详解】由，解得，故A正确； 由，则，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 10．设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为9 【答案】AC 【分析】先消元限定定义域，然后利用二次函数性质、常数代换法、取特值求解即可. 【详解】由及正实数，得，且. 对选项A：，这是关于的二次函数，开口向下， 对称轴为，且，故的最大值为. 该项正确. 对选项B：，对称轴为， 代入得最小值为，不等于. 该项错误. 对选项C：， 当且仅当时等号成立，故最小值为. 该项正确. 对选项D：令，则，所以最大值不是9. 该项错误. 11．已知定义在R上的函数的图象关于直线对称，且∀x∈R，都有，定义在R上的函数为的导函数，则以下结论一定正确的是（    ） A．是偶函数 B．为偶函数 C． D．4是的一个周期 【答案】BD 【分析】根据定义在R上的函数的图象关于直线对称可得，，再由，可得是周期为的奇函数，函数奇偶性、周期性判断ABD；利用赋值法结合导数运算、函数性质判断C． 【详解】根据定义在R上的函数的图象关于直线对称可得，, 所以，又， 所以，，那么， 即，所以，故的周期为，选项D正确； 所以，，又， 所以，，令，则， 所以，故为奇函数，选项A错误； 对于B，由得，两边求导可得 ， ，故为偶函数，选项B正确； 对于C，对两边求导可得，， 所以，即，故选项C错误. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知在[3,15]上具有单调性，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质结合条件即得. 【详解】由题意可得，或，得或， 故实数的取值范围为 故答案为： 13．已知函数是一次函数，若，则______． 【答案】或 【详解】设，则. 又，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 14．函数是定义在上的奇函数，且当时，，不等式的解集为____________；若不等式恒成立，则正实数的最小值为____________． 【答案】 【分析】由奇函数的性质求出时的函数解析式，从而可求出不等式的解集，分和三种情况分别根据不等式恒成立计算求解即可. 【详解】设，则，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 即， 所以当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为， ， 因为，所以， 当时，， 因为不等式恒成立，所以，即恒成立， 所以，即； 当时，， 因为不等式恒成立，所以当，恒成立， 即，即，所以； 当时，， 因为不等式恒成立，所以当，恒成立， 即，即，所以； 综上，所以，即正实数的最小值为； 故答案为：；． 四、解答题:本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分13分)某地区出现人形机器人“店员”福佑崇文阁，为顾客提供智能售卖服务．已知每次独立执行高难度动作时，机器人成功的概率为0.9，失败的概率为0.1，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2． (1)若从，两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； (2)若，机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) 的分布列为： 数学期望为 【分析】（1）利用全概率公式，结合选用两种机器人的等可能性及各自的成功概率求解总成功概率； （2）先确定成功次数的所有可能取值，用独立事件概率公式计算各取值对应概率得到分布列，再由离散型随机变量期望公式计算期望. 【详解】（1）设事件为选用机器人，事件为选用机器人，事件为所选机器人执行高难度动作成功. 则， 所以； 即从，两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，该机器人成功的概率为； （2）由题意可知的可能取值为，且机器人执行动作相互独立， 所以； ； . 所以的分布列为 0 1 2 0.02 0.26 0.72 所以的数学期望为. 16．(本小题满分15分)在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)如图： 在矩形中，分别为的中点，连接，则， 平面，平面，所以平面. 在与中，因为，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，且，所以平面平面． (2) 【分析】（1）根据面面平行的判定定理进行证明. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【详解】（1）略 （2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因， 则，即. 令，则， 设平面的法向量为， 所以， 所以所求二面角的余弦值为． 17．(本小题满分15分)已知函数（）． (1)当时，求的单调区间； (2)求函数的极值点． 【答案】(1)的单调递增区间为：，，单调递减区间为：． (2)当时，的极小值点为，无极大值点． 当时，的极大值点为，极小值点为； 当时，无极值点； 当时，的极大值点为，极小值点为． 【分析】（1）当时，代入函数解析式并求导，对导函数因式分解后解不等式，由导数的正负确定原函数的单调区间. （2）先对含参数的函数求导并因式分解，得到导函数的两个零点和.再以，为界分类.当时，比较与的大小关系，分，，三种情况，结合导数的符号变化判断极值点及其类型，最后综合所有情况得出结论. 【详解】（1）当时，，则． 所以，解得或； ，解得； 因此的单调递增区间为：，；单调递减区间为：． （2）由， 当时，由，则. 时，单调递减； 时，，单调递增. 此时为的极小值点，无极大值点． 当时，由得或， 若，即时，得或，得，此时为的极大值点，为的极小值点； 若，即时，恒成立，单调递增，此时无极值点； 若，即时，得或，得，此时为的极大值点，为的极小值点； 综上：当时，的极小值点为，无极大值点． 当时，的极大值点为，极小值点为； 当时，无极值点； 当时，的极大值点为，极小值点为． 18．(本小题满分17分)已知函数的定义域为，对任意实数x，y都有，当时，. (1)求的值，并证明函数为上的增函数； (2)求证：函数为奇函数； (3)若，解不等式. 【答案】(1) 因为对任意实数x，y都成立， 所以当时，上式可化为：，可得， 任取则上式又可化为：， 则有：， 当假设则根据当时，.，有， 即，所以有， 则可以证明函数为上的增函数； (2) 要证明函数为奇函数，只需要证明， 即证明， 由于，假设， 则有，又因为， 所以，即原问题得证； (3). 【分析】（1）利用赋值思想来求，利用定义法来证明函数单调性； （2）利用奇函数恒等式来证明奇函数； （3）利用恒等式变形，把原不等式化为两个函数值的大小比较，再结合单调性转化为自变量的大小比较，从而求解不等式. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由可得：， 即， 再由，，可得： ， ， ， 所以不等式可变为， 再由函数为上的增函数， 所以，解得： 19．(本小题满分17分)对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． (1)若，，判断函数是否属于集合，并求的值； (2)若，，且，，求的值及函数的解析式； (3)若，，令，且在上是单调函数．证明：对任意，恒成立． 【答案】(1)函数属于集合， (2)当时，；当时, (3)若是定义在上的增函数， 设任意正实数、满足， 则，，． 因此，得证． 若是定义在上的减函数， 设任意正实数、满足， 则，，． 因此，得证． 【分析】（1）先计算二次函数在闭区间上的最值，再根据题中所给的定义判断计算可得； （2）先由函数最值之差为2可得，再通过不等式两边夹逼求得函数解析式； （3）分单调递增和单调递减结合函数的最值分别证明可得． 【详解】（1）对任意，所以， 又因为 ， 且， 所以，故函数属于集合． 由，， 由二次函数的性质可知，． 故. （2）由可知，存在满足． 又，故必有． 因此必有，且，所以， 又，，所以或 当时，， 由题意，对任意，，， 即，则， 又因为，即． 故. 当时，， 由题意，对任意，，，即， 又因为，，即， 故. 综上，当时，；当时；. （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $