精品解析：江苏省宿迁市沭阳县部分校2026-2027学年第一学期第一次学情调研测试高三数学试题

2026—2027学年第一学期第一次学情调研测试 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若向量与同向，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区，为了保证观演效果，表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽的观演区，则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，对任意，有，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 已知，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，，的角平分线交于点，则（ ） A. 的外接圆的半径为 B. C. 的面积为 D. 10. 在直三棱柱中，，，，，点是棱上一点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 到平面的距离为 C. 的最小值为 D. 直三棱柱外接球的表面积为 11. 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（ ） A. 关于成中心对称 B. C. 为偶函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________． 13. 已知曲线关于直线对称，则_______． 14. 在中，，，，是的中点，将沿折起，使、两点间的距离为，此时三棱锥的体积为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的极小值点为． （1）求实数的值； （2）求函数的图象在点处的切线方程． 16. 如图，已知直角梯形绕旋转得到四边形，其中. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 17. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，．向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 18. 已知函数． （1）若有一个大于的零点，求的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）函数的定义域为，若对任意，且，及中任意两个实数，，恒有，则称函数为“函数”．当时，定义在上的函数是“函数”，求的取值范围． 19. 已知函数，． （1）若在定义域上单调递增，求m的取值范围； （2）若有两个极值点a，b，证明：； （3）若，关于x的方程在上有两个不同的实数根，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期第一次学情调研测试 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若向量与同向，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平面向量共线的坐标运算求得的可能取值，再结合向量同向的性质即可求解. 【详解】因为向量与同向，故，解得或， 当时，，，此时，两向量方向相反， 当时，，，此时，两向量方向相同，故. 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，故的虚部是． 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合诱导公式，指数幂的运算性质以及对数的运算性质进行化简，得到集合，再由交集的定义即可求解. 【详解】因为集合，所以，，， 故集合，且， 故. 4. 在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点， 则有，， 所以. 5. 某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区，为了保证观演效果，表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽的观演区，则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形面积公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】如图所示：设矩形为表演区，，则有， 由题意可知：， 所以， 设矩形的面积为， 所以， 由， 由基本不等式，得， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是. 6. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，考虑各段递增的条件下，需要单独考虑断点处，断点左边图象要低于右边图象． 【详解】由可知， 时，指数函数当时，单调递增； 时，一次函数当时，单调递增，解得； 因为函数在上单调递增，故，即， 即，即， 综上实数的取值范围是． 7. 已知函数的定义域为，对任意，有，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给出的不等式，通过构造函数，结合导数与单调性关系，将原不等式转化为函数不等式问题，通过充分条件与必要条件的定义，即可判断. 【详解】因为对于任意的，函数都有，因此设函数， 因为， 所以函数在上严格单调递增， 则， 代入不等式，应有， 即应有， 因为函数单调递增，则应有，解得， 根据充分条件与必要条件的判断，为的必要不充分条件，故选择B选项. 8. 已知，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将拆成，拆成，利用两角和差正弦公式展开化简，得到与的关系式；再用正切和角公式，把表示成关于的函数，结合范围确定，换元后用基本不等式求函数最小值. 【详解】， ， 代入，得， 整理得， 验证，若，则或，但，， 若，则，代入上式左边为，右边为，矛盾，故， ，两边同时除以得， 设，，在第二象限，， 代入上式：，利用正切和角公式得， 整理得， ，令，则，，， . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，，的角平分线交于点，则（ ） A. 的外接圆的半径为 B. C. 的面积为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据正弦定理计算外接圆半径；B选项，利用余弦定理计算边；根据边长与角即可得到面积；D选项，利用等面积法计算角平分线的长． 【详解】因为，，由正弦定理可知， 故外接圆的半径，故A错误； 由余弦定理可知， 因为，代入可得， 整理可得，即，解得，（舍），故B正确； 由可知，，则，故C错误； 因为的角平分线为， 则， 即， 解得，故D正确． 10. 在直三棱柱中，，，，，点是棱上一点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 到平面的距离为 C. 的最小值为 D. 直三棱柱外接球的表面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】建系后写出各个点坐标，对于A，求出和的坐标，通过即可判断；对于B，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式即可求解；对于C，将侧面和侧面沿着棱展开到同一平面内，即可求；对于D，利用直角三角形的外心在斜边中点，即可求上下底面外心的坐标，进而可求球心的坐标和半径，即可求解. 【详解】 如图，以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系. 各点坐标：，，，，，， 点在上，设，. 对于A，，， 所以，所以，故A正确. 对于B，平面的向量，， 设平面法向量为， 所以有 ，即， 令，得，， 所以平面法向量为， ， 所以点到平面的距离为，故B错误. 对于C， 将侧面和侧面沿着棱展开到同一平面内： 展开后和共线，总长为7， ，因此的最小值为，故C正确. 对于D，为直角三角形，外心为斜边的中点， 上底面外心， 所以球心， 半径， 所以球的表面积为，故D错误. 11. 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（ ） A. 关于成中心对称 B. C. 为偶函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据所给的条件，可得关于成中心对称以及，进而判断出的周期性，结合选项即可逐一求解. 【详解】对于A，由于为奇函数，故，即关于成中心对称，故A正确； 对于B，在中，令可得，在中令可得，故B错误， 对于C，由可得，由于，因此，故， 进而，即4为的一个周期，由可得，则为偶函数，故C正确； 对于D，由于，故，则，故4也是的一个周期， 由于关于成中心对称，故，， 则，因此，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________． 【答案】π. 【解析】 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再利用周期公式计算可得. 【详解】解： 其中 故答案为： 【点睛】本题考查三角函数的性质与二倍角公式、辅助角公式，属于基础题. 13. 已知曲线关于直线对称，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】先求函数定义域，结合对称性可得，再取特值解得，并代入检验，即可得结果. 【详解】令，等价于，解得或， 可知函数的定义域为， 若函数关于直线对称，则， 可得，即，解得， 则， 可得， 可知函数关于直线对称，即得，符合题意， 所以. 14. 在中，，，，是的中点，将沿折起，使、两点间的距离为，此时三棱锥的体积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利根据给定条件，借助正弦定理求出点到平面的距离，进而求得三棱锥的体积. 【详解】如图所示， 由为直角三角形，是的中点，得， 又，故, 所以为等边三角形，， ， 将沿折起，使、两点间的距离为，则, 因为，故点在平面上的投影为的外心， 设的外接圆半径为, 又因为，, 所以， 故， 所以, 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的极小值点为． （1）求实数的值； （2）求函数的图象在点处的切线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用极小值点处的导数值为0列方程，即可求解. （2）将代入中得切点坐标，利用导数的几何意义求斜率，即可求直线的点斜式方程. 【小问1详解】 ， 因为极小值点为，所以， 即， 解得， 验证：时，， 所以在左侧负、右侧正，所以是的极小值点， 故. 【小问2详解】 时，， ， 切线的斜率，切点 所以切线方程为， 即. 16. 如图，已知直角梯形绕旋转得到四边形，其中. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 由题意，平面平面，，， 因为平面平面，且平面， 所以平面，又平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由由题意可得平面平面，，进而得到平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 所以， 由图可知，二面角为锐二面角， 则二面角的余弦值为. 17. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，．向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的数量积为0，结合正弦定理、两角和正弦公式化简即可求解； （2）先利用向量中线公式表示出，再利用余弦定理将关系式转化为仅含的表达式，最后通过正弦定理结合锐角三角形的条件求出的取值范围，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 因为向量，，且， 所以， 由正弦定理得：， 即，所以， 因为在中，，所以， 所以，又因为，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为为边的中点，所以， 所以， 即， 由余弦定理：，所以， 所以， 由正弦定理：，所以， 又，为锐角三角形，所以，解得：， 所以 ， 因为，则，则，所以， 所以，即. 18. 已知函数． （1）若有一个大于的零点，求的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）函数的定义域为，若对任意，且，及中任意两个实数，，恒有，则称函数为“函数”．当时，定义在上的函数是“函数”，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况分析的零点即可得到答案； （2）先分和两种情况分析，当时，直接解一元一次不等式即可；当时，结合一元二次不等式与一元二次方程及一元二次函数的关系分类即可求解； （3）分和两种情况分析，当时，去绝对值并验证是“函数”；当时，取特殊的，，，，构造反例得到不是“函数”，进而即可得到答案． 【小问1详解】 当时，，显然有且仅有一个零点，即无一个大于的零点，不符合题意； 当时，的零点为，和， 又有一个大于的零点，即，解得， 所以的取值范围为． 【小问2详解】 当时，不等式为，解得，此时不等式的解集为； 当时，方程的两个根为，和， 若，即时，则抛物线开口向上，此时不等式的解集为； 若，即时，，不等式无解，此时不等式的解集为； 若，即，或， 如果时，则抛物线开口向上，此时不等式的解集为； 如果时，则抛物线开口向下，此时不等式的解集为． 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【小问3详解】 由，且，则，所以， 对任意，且，， 当时，则，则， 有 成立， 此时是“函数”，符合题意； 当时，取，，， 则， 此时不是“函数”，不符合题意，舍去． 综上，的取值范围为． 19. 已知函数，． （1）若在定义域上单调递增，求m的取值范围； （2）若有两个极值点a，b，证明：； （3）若，关于x的方程在上有两个不同的实数根，，证明：． 【答案】（1） （2）证明：由题意得，． 因为有2个极值点a，b，则有两个正根a，b． 则，解得． 所以 ． 设，，则． 因为，所以，则， 所以在区间上单调递增． 即， 所以． （3）设， 当时，．又恒成立，则在上单调递减； 当时，．又恒成立，则在上单调递增． 因为方程在上有2个不同的根，， 又时，，如图所示： 所以，． 又在处的切线方程为，设，． 当时，恒成立，所以在区间上单调递增，则． 即当时，． 与，的两个交点的横坐标分别为与， 则有，同时． 过点和的直线方程为， 该直线与的交点的横坐标为，同理可证：， 所以． 综上所述，成立． 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，根据函数单调性得到恒成立，参变分离，结合基本不等式可得答案； （2）根据极值点情况可得不等式，得到，，故，设，，求导，得到的单调性，得到，证明出结论； （3）设，求导，得到的单调性，画出的图象，数形结合得到，．又在处的切线方程为，设，求导，得到的单调性，得到，并得到过点和的直线方程为，该直线与的交点的横坐标为，同理可证，所以，可得成立． 【小问1详解】 的定义域为，． 因为在上单调递增，所以恒成立． 则，即在上恒成立，所以． 因为，当且仅当时，等号成立． 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】极值点个数的判断问题，一般转化为方程根的个数，求导后若可以化为二次函数，可以利用根的判别式及韦达定理求解，若不是二次函数，则研究函数的单调性，借助函数图象研究，在完成此类题目时，往往会将多元问题转化为一元问题进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $