精品解析：贵州毕节市赫章县第一中学2026-2027学年高二上学期第一次素养训练数学试题

赫章县第一中学2026年秋季学期高二年级第一次素养训练 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册40%，必修第二册40%，选择性必修第一册第一章20%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，， 所以. 2. 复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为. 3. 设向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】 ，所以“”是“”的充要条件. 4. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】构成空间一个基底的充要条件：三个向量不共面；若其中一个向量能表示为另外两个向量的线性组合，则三向量共面，不能作为基底. 【详解】已知、、是不共面的三个向量, 选项A：假设，整理得, 得，方程组无解，说明、、不共面，可以构成空间基底，A正确； 选项B：，可以由另外两个向量线性表示，三个向量共面，不能构成基底，B错误； 选项C：设，即，得，解得， 即，三向量共面，不能构成基底，C错误； 选项D：, 即，可以由另外两个向量线性表示，三向量共面，不能构成基底，D错误. 5. 从1，2，4，7中随机选取两个不同的数，则这两个数之和大于5的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举法求概率 【详解】1，2，4，7中随机选取两个不同的数， 有，共6种情况， 这两个数之和大于5的情况有，共4种情况， 故这两个数之和大于5的概率为. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用 二倍角公式，诱导公式 求解. 【详解】由，得， 故， 7. 已知偶函数的定义域为，当时，单调递减，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调区间结合偶函数性质化简比较求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减， 由，得， 所以. 故选：C. 8. 已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可． 【详解】函数的零点转化为与的图象的交点的横坐标， 因为零点分别为， 在坐标系中画出与的图象如图： 可知，满足， 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（ ） A. 该样本的极差为5分 B. 用样本均值估计总体均值，其值约为7分 C. 该样本的分位数为8分 D. 用样本方差估计总体方差，其值约为1.8 【答案】ABD 【解析】 【详解】将样本数据从小到大排序：5，6，6，6，7，7，7，8，8，10， 选项A，极差=最大值-最小值，，所以A正确； 选项B， 样本均值，用样本均值估计总体均值，所以B正确； 选项C，百分位数位置：，因为为整数，所以分位数是第9项和第10项数据的平均值，即分位数是，所以C错误； 选项D，样本方差，所以D正确． 10. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. ，有 C. 的值域为 D. ，不等式恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由函数奇偶性定义判断即可；对于B，代入计算即可判断；对于CD，判定函数单调性，根据单调性计算即可判断. 【详解】， 对于A，因为函数定义域为关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于CD，因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为，当时，，，， 又因为函数为偶函数，所以，，故CD正确. 11. 如图，在三棱锥中，，平面，，E，F，G，H分别为，，，的中点，M是的中点，N是线段GH上的动点，则（ ）． A. 存在，，使得 B. 不存在点N，使得 C. 的最小值为 D. 异面直线AC与EF所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系用向量判断线线垂直及夹角，长度等问题. 【详解】在三棱锥中，，平面，故，，，两两垂直，以B为坐标原点， 以，，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，，． 所以，，． 由，得，则，方程组无解， 因此不存在a，b使得，故A错误； 由N是线段上的动点，设，则，， 由，所以不存在点N，使得，故B正确； ，当且仅当时取等号，故C正确； ，，所以，，， 则，所以异面直线AC与EF所成角的余弦值为，故D不正确． 故选：BC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，满足，且 ，则 ___________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得，所以， 即，故 解得. 13. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的 距离为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由，，，，得，， 设平面的法向量为，则 ，令 ，得 ， ， 由点到平面的距离公式得， 故点到平面的 距离为. 14. 如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准光滑球体，石狮子张开的嘴内部空间看作一个正四棱台，已知正四棱台上底面边长与高度相等，下底面边长是上底面边长的两倍，且石球与棱台上下底面相切，则石球的体积与正四棱台的体积的比值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设正四棱台上底面边长为，利用题设条件可求出石球的半径为，然后利用台体和球体的体积公式计算即可得到答案． 【详解】设正四棱台上底面边长为， 则其上底面的面积，下底面的面积，高， 故， 由题知石球与棱台上下底面相切，如图所示正四棱台，沿斜高作出如下截面， 则，故球的半径， 所以， 因此． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知 . （1）求角的大小； （2）若 ，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）由余弦定理可得，再利用三角形面积公式计算求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得. 又， 代入得，即. 因为，，所以，又，故. 【小问2详解】 由余弦定理得，解得. 所以. 16. 随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值，并估计评分数据的第75百分位数； （2）若采用分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， ， 解得． 因为的频率为，且为最后一组， 所以评分数据的第75百分位数位于区间中， 所以上四分位数为：． 【小问2详解】 评分在与两组的频率分别为，， 采用分层随机抽样的方法，在内抽取人数为，在内抽取人数为， 故4人中评分等级不良好的有1人（记为），评分等级良好的有3人（记为，，），试验的样本空间， 设事件“选取2人的评分等级都为良好”， 则， 所以． 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，点在线段上，，且平面． （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）因为底面是矩形，由矩形对边平行的性质可得：， 又因为 平面，平面，所以平面. （2）由平面，平面，因此. 在底面矩形中，，，， ，， 因此，由勾股定理逆定理得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，因此. （3） 【解析】 【分析】 （1）由线面平行的判定定理即可证明； （2）先把问题转化为证明平面，只需证明和，利用线面垂直的性质可证明，利用勾股定理逆定理可证明； （3）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用二面角的空间向量公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以为原点，以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 结合可得各点坐标： ，，，， 由（2）知是平面的一个法向量； 设平面的法向量为，，， 令，，即，取得. 设二面角的平面角为，则  ， 因此二面角的正弦值为 .​​ 18. 已知函数，若将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象． （1）求函数的最小正周期和其图象的对称中心； （2）若函数（）为偶函数，求的值． 【答案】（1）；，； （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据图象平移伸缩变换得到，再根据正弦型函数性质求解； （2）根据三角函数奇偶性求解. 【小问1详解】 因为，将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到图象对应的解析式为：； 再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 则； 则函数的最小正周期； 令，得， 则函数的图象的对称中心为：，. 【小问2详解】 ， 因为为偶函数， 所以， 则，，又因为，则或． 19. 已知函数，． （1）判断并用定义证明函数在区间上的单调性； （2）若，在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使得函数在区间上的值域是，求实数的取值范围． 【答案】（1） 在区间上单调递增，证明如下： ，且， 则， 因为，所以，因为，所以，， 所以，即， 所以在区间上单调递增. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可； （2）将问题转化为在上的符号问题解决； （3）将问题转化为有两个大于的不等实根解决. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，在区间上恒成立，可得， 整理得，令，则， 则不等式变为：，即， 因为，且在恒成立， 令， 则开口向上，且在和时函数值非正， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）知，在单调递增， 若函数在区间上的值域是，则， 即方程有两个不等的正实根， 令，则方程变为：，即， 此方程有两个大于的不等实根，设为， 则，，解得或； 又，且，解得， 所以实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赫章县第一中学2026年秋季学期高二年级第一次素养训练 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册40%，必修第二册40%，选择性必修第一册第一章20%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 从1，2，4，7中随机选取两个不同的数，则这两个数之和大于5的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知偶函数的定义域为，当时，单调递减，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（ ） A. 该样本的极差为5分 B. 用样本均值估计总体均值，其值约为7分 C. 该样本的分位数为8分 D. 用样本方差估计总体方差，其值约为1.8 10. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. ，有 C. 的值域为 D. ，不等式恒成立 11. 如图，在三棱锥中，，平面，，E，F，G，H分别为，，，的中点，M是的中点，N是线段GH上的动点，则（ ）． A. 存在，，使得 B. 不存在点N，使得 C. 的最小值为 D. 异面直线AC与EF所成角的余弦值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，满足，且 ，则 ___________． 13. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的 距离为__________． 14. 如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准光滑球体，石狮子张开的嘴内部空间看作一个正四棱台，已知正四棱台上底面边长与高度相等，下底面边长是上底面边长的两倍，且石球与棱台上下底面相切，则石球的体积与正四棱台的体积的比值为____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知 . （1）求角的大小； （2）若 ，，求的面积. 16. 随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值，并估计评分数据的第75百分位数； （2）若采用分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，点在线段上，，且平面． （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若，求二面角的正弦值． 18. 已知函数，若将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象． （1）求函数的最小正周期和其图象的对称中心； （2）若函数（）为偶函数，求的值． 19. 已知函数，． （1）判断并用定义证明函数在区间上的单调性； （2）若，在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使得函数在区间上的值域是，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $