精品解析：贵州部分校2026-2027学年高二上学期第一次联考数学试题

2026—2027学年度秋季学期第一次联考 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级和准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集运算得到答案. 【详解】集合与的公共元素为2，3，所以. 2. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对A，为定义在上的奇函数，故A选项不满足要求； 对B，是定义在上的周期函数，在，上单调递减，在，上单调递增，故B选项不满足要求； 对C，为定义在上的偶函数，在上单调递增，故C选项不满足要求； 对D，是偶函数又在上单调递减，故D选项满足要求. 3. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 即斜率，设倾斜角为，则， 因为，所以. 4. 已知向量与垂直，则实数的值为（ ） A. －2 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因为， ， 解得． 5. 如图，角的终边与单位圆交于点，的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】点的横坐标为，点的纵坐标为，由三角函数的定义可知． 6. 若直线，的倾斜角分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜率. 7. 已知函数，若，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质求解判断即可. 【详解】，， ， 所以． 8. 已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出线段的方程及横坐标的取值范围，将转化为关于的一次函数，利用一次函数的单调性求解最小值. 【详解】由点，点，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，整理得. 由于点在线段上，故横坐标的取值范围为，且. 所以， 该式为关于的一次函数，斜率，在区间上单调递增， 因此当时，取得最小值，最小值为. 因此的最小值 为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 设复数，，则（ ） A. 与的实部相等 B. 与互为共轭复数 C. 与的虚部相等 D. 与互为共轭复数 【答案】CD 【解析】 【详解】AC选项：因为，，所以与的实部不相等，虚部相等． BD选项：因为，所以与不互为共轭复数，与互为共轭复数． 10. 某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分100分），得到如图所示的统计图，则（ ） A. 甲得分的极差大于乙得分的极差 B. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 C. 甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】BC 【解析】 【分析】根据极差，中位数，上四分位数以及方差的定义计算分析即可. 【详解】由图可知，甲同学的得分为， 乙同学的得分为， 将两人的得分从小到大排列： 甲：； 乙：， 对于A，甲得分的极差为，乙得分的极差为， 因为，所以甲得分的极差小于乙得分的极差，故A错误； 对于B，甲得分的中位数为，乙得分的中位数为， 因为，所以甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故B正确； 对于C，因为，所以上四分位数为排序后的第个数据， 所以甲得分的上四分位数为，乙得分的上四分位数为， 因为，所以甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数，故C正确； 对于D，甲得分的平均数为， 甲得分的方差为：， 乙得分的平均数为， 乙得分的方差为：， 因为，所以甲得分的方差小于乙得分的方差，故D错误. 11. 在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正三棱柱的性质以及相关判定定理，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】在正三棱柱中，，又，故与不平行，A错误； 由题得，，， 所以，所以，B正确； 因为平面，平面，， 且在平面与平面的交线上，与不垂直， 所以平面与平面不垂直，C错误； 因为是正三角形，是的中点，所以， 又，且，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，D正确． 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 点到直线的距离是________． 【答案】 【解析】 【详解】点到直线的距离是. 13. 已知两条直线：，：，若，则实数______. 【答案】 【解析】 【详解】两条直线：，：， 因为，则，所以. 14. 甲、乙两人进行棋类比赛，每局比赛胜者得1个积分，负者得0个积分，记两人积分之差的绝对值为3时比赛结束且积分多者获胜，赛制规定两人最多进行5局棋类比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，则比赛结束时甲获胜的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分甲3：0获胜和甲4：1获胜两种情况讨论，结合独立事件概率求法运算求解. 【详解】①当甲3：0获胜时，获胜的概率为； ②当甲4：1获胜时，则乙只能在前三局获胜一局，有三种可能， 则甲获胜的概率为； 综上所述：比赛结束时甲获胜的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）求边的长度和的面积. 【答案】（1） （2），的面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理即可求解； （2）根据题意，得到，利用三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 已知， 由正弦定理得：， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 所以， 的面积. 16. 如图，在正三棱柱中，分别为的中点． （1）证明：． （2）证明：平面平面． 【答案】（1）因为在正三棱柱中， 所以为等边三角形，又因为为中点， 所以. 因为平面，平面， 所以， 又因为平面，， 所以平面.又因为平面， 所以. （2）的中点，连接.延长与交于，连接， 显然为中点. 因为， 且， 所以，又因为为中线，所以. 因为，，，， 所以，，所以四边形为平行四边形. 因为平面，平面， 所以，所以四边形为矩形. 所以，又因为，，平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】(1)先利用正三棱柱的性质得到，，再利用线面垂直判定定理证明平面，最后利用线面垂直性质定理得到即可； （2）利用平面几何知识得到，，再利用线面垂直判定定理得到平面，最后再利用面面垂直判定定理得到平面平面 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知的三个顶点是，，. （1）求边上的中线所在直线的斜截式方程； （2）求边上的高所在直线的斜截式方程； （3）求边的垂直平分线的斜截式方程 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的中点坐标，进而得到所求直线斜率，根据点斜式得到方程，再转化为斜截式即可； （2）先求出直线的斜率，进而得到高的斜率，根据点斜式得到方程，再转化为斜截式即可； （3）根据（1）的中点坐标及（2）的斜率得到方程即可． 【小问1详解】 由题意得的中点坐标， 所以， 所以上的中线方程为，整理得斜截式方程为. 【小问2详解】 所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的斜率， 又上的高过点， 则上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为. 【小问3详解】 由（2）得，与垂直的直线斜率为， 由（1）得的中点坐标， 所以的垂直平分线的方程为，整理得斜截式方程为. 18. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示． 某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商对未摘下的芒果提出以下两种收购方案： 方案①：所有芒果以9元/千克收购； 方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购． （1）求抽取的100个芒果质量的平均数； （2）若按分层随机抽样从质量为，的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率； （3）种植园选择哪种方案获利更多． 【答案】（1） （2） （3）选择方案②获利更多 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图可求得抽取的100个芒果质量的平均数； （2）利用分层抽样求得每组所抽取的个数，进而利用古典概型概率公式求解即可； （3）分别求得两种方案种植园的获利情况可得结论. 【小问1详解】 抽取的100个芒果质量的平均数为； 【小问2详解】 因为的频率为，的频率为， 所以分层抽样比例为， 所以所抽取的5个芒果中有2个在内，记为； 有3个在内，记为， 从5个芒果中任取2个，样本空间，共10个样本点， 记“这两个芒果取自同一组”，则，共4个样本点. 所以这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为； 【小问3详解】 因为芒果质量的平均数为255克， 所以按方案①获利为元； 按方案②：质量低于250克的频率为， 质量大于等于250克的频率为， 所以按方案②获利为元， 又因为，所以种植园选择方案②获利更多. 19. 若函数满足且，则称函数为“函数”. （1）试判断是否为“函数”，并说明理由. （2）函数为“函数”，且当时，. ①求当时，函数的解析式； ②求在上的单调递增区间. 【答案】（1）不是“函数”，理由如下： 因为， ， 所以不恒成立， 所以不是“函数”. （2）①；②，. 【解析】 【分析】（1）验证函数是否满足周对称轴条件，即可判断； （2）①利用周期性和对称性，分区间写出函数解析式；②根据函数解析式结合三角函数单调性求指定区间内的增区间． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为，所以的周期. 又因为，所以. 当，时， ，. 当，时， ，； 若，当时，；当时，. 所以. ②由，，. 当时，，，所以在上单调递增， 由，，， 当时，，， 所以在上单调递增. 经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调递增区间为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度秋季学期第一次联考 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级和准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量与垂直，则实数的值为（ ） A. －2 B. C. D. 2 5. 如图，角的终边与单位圆交于点，的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 6. 若直线，的倾斜角分别为，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 设复数，，则（ ） A. 与的实部相等 B. 与互为共轭复数 C. 与的虚部相等 D. 与互为共轭复数 10. 某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分100分），得到如图所示的统计图，则（ ） A. 甲得分的极差大于乙得分的极差 B. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 C. 甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 11. 在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 点到直线的距离是________． 13. 已知两条直线：，：，若，则实数______. 14. 甲、乙两人进行棋类比赛，每局比赛胜者得1个积分，负者得0个积分，记两人积分之差的绝对值为3时比赛结束且积分多者获胜，赛制规定两人最多进行5局棋类比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，则比赛结束时甲获胜的概率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）求边的长度和的面积. 16. 如图，在正三棱柱中，分别为的中点． （1）证明：． （2）证明：平面平面． 17. 已知的三个顶点是，，. （1）求边上的中线所在直线的斜截式方程； （2）求边上的高所在直线的斜截式方程； （3）求边的垂直平分线的斜截式方程 18. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示． 某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商对未摘下的芒果提出以下两种收购方案： 方案①：所有芒果以9元/千克收购； 方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购． （1）求抽取的100个芒果质量的平均数； （2）若按分层随机抽样从质量为，的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率； （3）种植园选择哪种方案获利更多． 19. 若函数满足且，则称函数为“函数”. （1）试判断是否为“函数”，并说明理由. （2）函数为“函数”，且当时，. ①求当时，函数的解析式； ②求在上的单调递增区间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $